12第十二章 平穩(wěn)隨機過程

1、第十二章 平穩(wěn)隨機過程1 基本概念定義1：已給s.p，若，即T中任意的與，維r.v與有相同的維d.f。即 則稱s.p是一個嚴(yán)（強，狹義）平穩(wěn)過程。當(dāng)維d.l時，則有若取=1，則有，特別，當(dāng)，可取則有。此時平穩(wěn)過程的一維d.l與（時間）無關(guān)。于是即的均值是一個與時間無關(guān)的常數(shù)。其方差 也與時間t無關(guān)的常數(shù)。 而且的二維d.l也只依賴于即當(dāng)時，有所以與之間自相關(guān)為它只依賴于類似地之間協(xié)方差為 并且 一般來說，實際應(yīng)用中的s.p是很難達到如此嚴(yán)平穩(wěn)的要求的，故而求其次，即有如下的定義2：已給s.p若且滿足1（常數(shù)）（又記）2 （又記）則稱是一個寬（弱、廣義）平穩(wěn)s.p.簡稱為平穩(wěn)s.p。當(dāng)取復(fù)值時，

2、則稱復(fù)平穩(wěn)s.p.定義3：已給兩平穩(wěn)s.p ，若滿足則稱是聯(lián)合平穩(wěn)的或平穩(wěn)相關(guān)的。例1例3見書上，當(dāng)T取離散值時，稱平穩(wěn)序列。例4：已給s.p,其中為常數(shù)，r.v，試證是平穩(wěn)s.p.事實上，顯然。 （或）=0.及 故由定義2知是一個平穩(wěn)s.p. 2 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）先令給二階矩s.p.在T上均方積分定義，考察a,b上一組分劃 記若存在一個r.v 使即 則稱在a,b上均方可積，并記理論上已證明：二階矩s.p在T=a,b上均方可積的充分條件是 并且 再引入時間均值與時間相關(guān)函數(shù)。時間均值定義為 是r.v時間相關(guān)定義為 是r.v 先看一例例1見書。 定義：設(shè)是平穩(wěn)s.p1若則稱的均值具有多態(tài)歷經(jīng)

3、性。2若實數(shù)有 則稱的自相關(guān)函數(shù)具有多態(tài)歷經(jīng)性。若稱得均方值具有多態(tài)歷經(jīng)性。3當(dāng)?shù)木蹬c相關(guān)函數(shù)都具有多態(tài)歷經(jīng)性時，則稱是多態(tài)歷經(jīng)的（又稱遍歷或ergodicity）.Th1. 平穩(wěn)s.p的均值具有多態(tài)歷經(jīng)性 想法（思路）。任一r.v ,現(xiàn)在故 （*）證：先求再求 下面計算 令， 則，從而 代入（*）式即得證明。推論：若極限，則均值具有各態(tài)歷經(jīng)性，極限均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性。定理2：平穩(wěn)s.p相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性， 而 。定理3：平穩(wěn)s.p， 。定理4：s.p（平穩(wěn)）， 。3 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)和是平穩(wěn)相關(guān)的s.p。即有：， ，它們具有性質(zhì)：12，即是的偶函數(shù). .3由許瓦茲不等式知： 同理有：

4、 稱 和 各為標(biāo)準(zhǔn)自協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)，故有，. 由第4章3知，當(dāng)且僅當(dāng)時，與互不相關(guān).4是非負(fù)定的，即中及實函數(shù)有： 反之，理論上已證明：若是連續(xù)的非負(fù)定函數(shù)，則它必定是某平穩(wěn)s.p的自相關(guān)。5若平穩(wěn)s.p滿足條件即稱是周期為的平穩(wěn)s.p. 平穩(wěn)，故，利用r.v ,.于是由許瓦茲不等式就有即此時周期平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)也是周期為的函數(shù)。 4 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度（一） 平穩(wěn)隨機過程功率譜密度回憶，設(shè)普通函數(shù)滿足（能量有限），則有Fourier變換Parseval公式為，作截尾函數(shù)此時，故對有F變換。 此時，Parseval公式為 等式兩邊乘以，就有令如極限存在，得到，稱，為x(

5、t)的平均功率譜密度。 接著考察平穩(wěn)隨機過程，則有,稱故有（二） 譜密度性質(zhì)：也是w的實非負(fù)偶函數(shù)。事實上 令 完全與2一樣. ()例1. 2見書書上表12.1 例2 所以沖激函數(shù)的性質(zhì)：若f(t)在處連續(xù)，則 及例3 白噪聲：設(shè)X(t)是平穩(wěn)隨機過程且EX(t)=0,則稱X（t）是白噪聲。此時若平穩(wěn)過程功率譜密度為則稱是帶限（低通）白噪聲，此時,(三)互譜密度及其性質(zhì)：設(shè)X(t),Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的，定義為X(t),Y(t)的互譜密度，例1 設(shè)是實正交增量隨機過程EY(t)=0,求X(t)自相關(guān)函數(shù)，討論其平穩(wěn)性，若平穩(wěn)，求功率譜密度。解：由題設(shè)知與t無關(guān)，因此X(t)是平穩(wěn)隨機過程，并且

6、功率譜密度為例2 設(shè)是n個實隨機變量，是n個實數(shù)，試問之間應(yīng)滿足什么條件才能使是一個復(fù)平穩(wěn)隨機過程。解：由平穩(wěn)隨機過程的定義，首先要求而與t 無關(guān)，只有令=0,或其次，要求僅依賴于s-t,只要令此時，有由上可見，當(dāng)時X（t）成為一個復(fù)平穩(wěn)隨機過程。例3，設(shè)是均值為零的平穩(wěn)序列，試證仍是一平穩(wěn)序列，其中A，B為常數(shù)，m為一正整數(shù)。證：因為=僅依賴于L而與n無關(guān)，故由定義知為平穩(wěn)序列。例4設(shè)是兩個相互獨立的平穩(wěn)過程，試證也是平穩(wěn)過程。證：（常數(shù)）又由的相互獨立，平穩(wěn)性，就有=僅依賴于而與t無關(guān)，故由定義知為平穩(wěn)過程。例5 設(shè)是兩平穩(wěn)相關(guān)過程，且有試證：的譜密度為試用他們及的互譜密度表示的譜密度。解：因為=由此知X(t)是平穩(wěn)隨機過程，且習(xí)題6，則因=