高中數(shù)學函數(shù)與導數(shù)?？碱}型整理歸納

1、高中數(shù)學函數(shù)與導數(shù)常考題型整理歸納題型一:利用導數(shù)研究函數(shù)的性質利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值是高考的熱點問題之一，每年必考，一般考查兩類題型：(1)討論函數(shù)的單調性、極值、最值，(2)利用單調性、極值、最值求參數(shù)的取值范圍.【例1】已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調遞增.若a0，則當x時，f(x)0；當x時，f(x)0，所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，知當a0時，f(x)在(0，

2、)上單調遞增；當a0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減.(2)由(1)知，當a0時，f(x)在(0，)上無最大值；當a0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln aln aa1.因此f2a2等價于ln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調遞增，g(1)0.于是，當0a1時，g(a)0；當a1時，g(a)0.因此，實數(shù)a的取值范圍是(0，1).【類題通法】(1)研究函數(shù)的性質通常轉化為對函數(shù)單調性的討論，討論單調性要先求函數(shù)定義域，再討論導數(shù)在定義域內的符號來判斷函數(shù)的單調性.(2)由函數(shù)的性質求參數(shù)的取值范圍，通常根據(jù)函數(shù)的性質得到參數(shù)的不等式，再解出參數(shù)的范圍

3、.若不等式是初等的一次、二次、指數(shù)或對數(shù)不等式，則可以直接解不等式得參數(shù)的取值范圍；若不等式是一個不能直接解出的超越型不等式時，如求解ln aa10，即(x22)ex0，因為ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0對x(1，1)都成立，即a(x1)對x(1，1)都成立.令y(x1)，則y10.所以y(x1)在(1，1)上單調遞增，所以y0時，解不等式f(x)0；(2)當a0時，求整數(shù)t的所有值，使方程f(x)x2在t，t1上有解.解(1)因為ex0，(ax2x)ex0.ax2x0.又因為a0，所以不等式化為x0.所以不等式f(x)0的解集為.(2)當a0時，方程即為xexx2，由

4、于ex0，所以x0不是方程的解，所以原方程等價于ex10.令h(x)ex1，因為h(x)ex0對于x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)內是單調遞增函數(shù)，又h(1)e30，h(3)e30，所以方程f(x)x2有且只有兩個實數(shù)根且分別在區(qū)間1，2和3，2上，所以整數(shù)t的所有值為3，1.題型三:利用導數(shù)研究不等式問題導數(shù)在不等式中的應用是高考的熱點，常以解答題的形式考查，以中高檔題為主，突出轉化思想、函數(shù)思想的考查，常見的命題角度：(1)證明簡單的不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題.【例3】設函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x

5、)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a0時，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x0).當a0時，f(x)0，f(x)沒有零點.當a0時，設u(x)e2x，v(x)，因為u(x)e2x在(0，)上單調遞增，v(x)在(0，)上單調遞增，所以f(x)在(0，)上單調遞增.又f(a)0，當b滿足0b且b時，f(b)0(討論a1或a1來檢驗)，故當a0時，f(x)存在唯一零點.(2)證明由(1)，可設f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)0；當x(x0，)時，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞

6、增，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故當a0時，f(x)2aaln.【類題通法】1.討論零點個數(shù)的答題模板第一步：求函數(shù)的定義域；第二步：分類討論函數(shù)的單調性、極值；第三步：根據(jù)零點存在性定理，結合函數(shù)圖象確定各分類情況的零點個數(shù).2.證明不等式的答題模板第一步：根據(jù)不等式合理構造函數(shù)；第二步：求函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)最值證明不等式.【變式訓練】 已知函數(shù)f(x)axln x(aR).(1)若a2，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)求f(x)的單調區(qū)間；(3)設g(x)x22x2，若對任意x1(0，)，均存在x20，1使得f(x1)0)，所以f(1)213，所以斜率k3.又切點為(1，2)，所以切線方程為y23(x1)，即3xy10，故曲線yf(x)在x1處的切線方程為3xy10.(2)f(x)a(x0)，當a0時，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的單調增區(qū)間為(0，).當a0，在區(qū)間上，f(x)0，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(3)由已知得所求可轉化為f(x)maxg(x)