應(yīng)用兩點間線段最短的公理求最值

1、幾何最值問題解法探討在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。一、應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1. （2012山東濟南3分）如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，

2、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【 】ABC5D例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是 。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。例4. （2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 練習題：1. （2011湖北

3、荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 _ 二、應(yīng)用

4、垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. （2012山東萊蕪4分）在ABC中，ABAC5，BC6若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是 例2.（2012浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1 例3.（2012江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，

5、請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由 例4.（2012四川廣元3分） 如圖，點A的坐標為（-1，0），點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為【 】A.（0，0）

6、B.（，） C.（，） D.（，）例1、【答案】A?！究键c】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值為：。故選A。例2.【答案】4。【考點】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN ，EBM=NBM，B

7、M=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值。BC=，ABC=45，CE的最小值為sin450=4。CM+MN的最小值是4。例3. 【答案】?！究键c】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長、高組成直角三角形。由周長公式，底面圓周長為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線最短為。例4. 【答案】1AD4。【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。【分析】延長AD至E，使DE=AD，連接CE根據(jù)SAS證

8、明ABDECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解：延長AD至E，使DE=AD，連接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。練習題：1. （2011湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓

9、柱體的表面爬行到點P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 _ 二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題： 【答案】?！究键c】動點問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BPAC時，BP取得最小值。 設(shè)AP=x，則由ABAC5得CP=5x， 又BC6，在RtAB P和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得 。，即，解得。，即BP的最小值是。例2.【答案】B。【考點】菱形的性質(zhì)，線段中垂

10、線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯?（1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關(guān)于BD的對稱點P1，連接P1Q，交BD于點K1。 由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此時的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點P，Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P關(guān)于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。 因此，根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中

11、垂直線段最短的性質(zhì)，得，當P1QAB時P1Q最短。 過點A作AQ1DC于點Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例3. 【答案】解：問題1：對角線PQ與DC不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC2。設(shè)PBx，則AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡得x22x30，(2)241380，方程無解。不存在PBx，使DPC90。對角線PQ與DC不可能相等。問題2：存

12、在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，則G是DC的中點。過點Q作QHBC，交BC的延長線于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當PQAB時，PQ的長最小，即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定點。作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。當PQAB時，PQ的長最小，即為5。問題4：如圖3，設(shè)P

13、Q與AB相交于點G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定點。作QHPE，交CB的延長線于H，過點C作CKCD，交QH的延長線于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。過點D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。KCH45。CKCHcos45 (n4)，當PQCD時，PQ的長最小，最小值為 (n4)?！究键c】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥繂栴}1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PBx，可得方程x232(2x)218，由判別式0，可知此方程無實數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等。 問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，