數(shù)學(xué)物理方法課件：04第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示

1、第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示,冪級數(shù)與解析函數(shù) 洛朗級數(shù) 單值函數(shù)的孤立奇點,Power series of analytical functions,掌握復(fù)變函數(shù)的泰勒展開和洛朗展開,判斷復(fù)變函數(shù)的奇點種類,作業(yè)：習(xí)題四 2 偶, 5 偶，6 9奇，10, 13 偶,若 收斂，則稱 絕對收斂,在 E 上一致收斂于 f(z)。,4.1 函數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì),1.函數(shù)項級數(shù),稱函數(shù)項級數(shù) (1) 在點集 E 上收斂于函數(shù) f(z)，,對每個 ，有,當(dāng) 可不依賴于 zE 時，稱此函數(shù)項級數(shù),若對每點 zE 及任意0，存在正數(shù),幾何級數(shù),在 |z|1 時發(fā)散；在 |z|1 內(nèi)一致收斂；在 |z|1

2、內(nèi)絕對收斂，但不是一致收斂,對 01/2，不等式,的解為,若 |z|，則,收斂有快有慢,魏爾斯特拉斯 M-判別法：若在 E 上 ，,柯西收斂準則,收斂 (一致收斂) 的充分必要條件：,對zE 及 ，存在,時,推論：絕對收斂的級數(shù)必為收斂級數(shù),為收斂的正項級數(shù) (稱為 的強級數(shù))，,則在 E 上 絕對收斂且一致收斂,2.一致收斂級數(shù)的連續(xù)性和逐項積分,(1) 設(shè) fn(z), n=0,1,2, 在平面點集 E 上連續(xù)，,在 E 上一致收斂于 f(z)。,則和函數(shù) f(z) 在 E 上連續(xù)；,(2) 若 fn(z), n=0,1,2,在逐段光滑的曲線 C,則 f (z) 在 C 上可積，,上連續(xù)，

3、,在 C 上一致收斂于 f(z)，,證明：,對任意0，存在正數(shù) N=N()，,當(dāng) mN 時，對所有,取,連續(xù)性 存在 0，當(dāng) 時,3.魏爾斯特拉斯定理,(1) 和函數(shù) f(z) 在 D 上解析；,在包含于 D 上的任意閉圓盤上一致,若 fn(z), n=0,1,2,在區(qū)域 D 上解析，在包含于 D,(2) 在 D 內(nèi)級數(shù)可逐項求導(dǎo)至任意階，且,的任意閉圓盤上 一致收斂于 f(z)，則：,收斂于,在 E = N(a) 中任取圍線 C,(1) 任取 aD，證明 f(z) 在 a 解析,在閉圓盤 中,莫雷拉定理 f(z) 在 E 上解析,f(z) 在 E 上連續(xù)；,沿 C 逐項積分 ,柯西定理 ,

4、f(z) 在 a 解析,取鄰域 N (a) D,D,一致收斂于 f(z) ,， ,在 上一致收斂于,對圓周 與,(2) 證明,在圓周 上一致收斂于 f(z) + 柯西公式 ,在 上一致收斂于,4.2 冪級數(shù)與解析函數(shù),1.冪級數(shù)的收斂圓,存在 0 R ，使得 在|z-a|R 時收斂，,在 |z-a|R 時發(fā)散。|z-a|=R 稱為冪級數(shù)的收斂圓，R 稱為冪級數(shù)的收斂半徑,以 a 為中心的冪級數(shù)：,則對 0 |z0-a|，該冪級數(shù)在閉圓盤 |z-a| 內(nèi)絕對收斂且一致收斂。,證明：,收斂時，存在 M 0,若 |z-a|，則,收斂,阿貝爾定理：若冪級數(shù) 在 z = z0 收斂，,在 |z-a| 內(nèi)

5、絕對收斂且一致收斂,(發(fā)散點),上極限：對實數(shù)序列 xn ，若去掉前 n 項后的子序列最小上界為 pn，則,柯西-阿達瑪公式：若存在極限 或,則極限值為 的收斂半徑。,普適公式：,(上極限),對,收斂半徑為 ,另解： 收斂半徑為 2 ,例1： 的收斂半徑,對級數(shù) (1)，不存在極限,級數(shù) (2), (3) 收斂半徑都為 1。,在收斂圓上：,級數(shù) (1) 處處發(fā)散，級數(shù) (3) 處處絕對收斂；,級數(shù) (2) 在 z=1 處發(fā)散，在其余點處收斂。,冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析,冪級數(shù) 的和函數(shù) f(z) 在收斂圓 |z-a|=R,的內(nèi)部解析，可逐項求導(dǎo)、逐項積分：,魏爾斯特拉斯定理 + 阿貝爾定理

6、 ,若 0R，則收斂圓 |z-a|=R 上必有 f(z) 的奇點,2.解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開,泰勒定理：若函數(shù) f(z) 在圓盤 D：|z-a| 上解析，則在此圓盤上 f(z) 能展開為冪級數(shù) (泰勒展開),f(z) 在 a 處有泰勒展開,f(z) 在 a 處解析,(展開方式唯一),與實變函數(shù)的 泰勒展開對比：,收斂半徑 = min |b-a|：b為 f(z) 的奇點或 ,證明：對 zD 作圓, 此級數(shù)在圓 上一致收斂，可逐項積分：,出發(fā)點：柯西公式,在 上該級數(shù)有強級數(shù),冪級數(shù)的運算：,除法運算：,設(shè) ，則,遞推關(guān)系：,計算低階項的技巧：,(保留到 z3 項),常見函數(shù)在原點的

7、Taylor 展開,基礎(chǔ)：,導(dǎo)出：,微分 m 次,n=m+k,一般情形,規(guī)定,在 z=0 處,例2：求 在 z=0 和 z=3 處的泰勒展開,冪級數(shù)相乘：,在 z=3 處,收斂半徑 = 1,收斂半徑 = 2,例3：求 在 z=0 處泰勒展開前四項,方法 1：,方法 3：,方法 2：直接求導(dǎo),3.解析函數(shù)零點的孤立性,稱函數(shù) f(z) 的解析點 a 為 m 階零點 (m0)，,若,其中 在 a 處解析，,f(z) 的解析點 a 為 m 階零點,不恒為零的解析函數(shù)不存在 階零點 (證明見后),可對每個零點作鄰域，這些鄰域彼此無交集,不恒為零的解析函數(shù)零點的孤立性：,若 f(z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析

8、，在 a D 的所有階導(dǎo)數(shù) 為零，則在 D 內(nèi) f(z) 為常數(shù),D,泰勒展開：,(1) 證明 D 為圓盤時結(jié)論成立,(2) D 為一般區(qū)域時，只需證,f(z) 在從 a 出發(fā)、 D 的任意線段上為常數(shù),該線段可用有限個 D 的圓盤覆蓋,若 f1(z), f2(z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，, 解析函數(shù)的唯一性：,證明：h(z) = f1(z) -f2(z) 有非孤立零點 a，必0, 解析延拓原理：若 f1(z), f2(z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析， 在 D 內(nèi)某弧段上相等，則它們在 D 內(nèi)恒等,則在 D 內(nèi) f1(z) f2(z),任意閉圓盤上，雙邊冪級數(shù)絕對收斂且一致收斂，和函數(shù)解析，可逐項求導(dǎo)

9、、逐項積分,設(shè)冪級數(shù) 和 的收斂半徑分別,為 R 和 1/r (r R),4.3 洛朗 (Laurant) 級數(shù),1.雙邊冪級數(shù),在收斂圓環(huán) r |za| R 內(nèi)的,H,R,a,r,2.圓環(huán)上解析函數(shù)的洛朗展開,洛朗定理：若 f(z) 在圓環(huán) H：r |z-a| R 上解析，則在此區(qū)域上 f(z) 能展開為洛朗級數(shù) (洛朗展開),r R。展開系數(shù) cn 由 f(z) 和圓環(huán) H 唯一決定,說明：若 f(z) 在圓盤 |z a| R 上解析，則 cn0 =0，f(z) 在圓環(huán) H 上的洛朗展開 = 在 a 處的泰勒展開；,其它情形下，洛朗展開的系數(shù),對 zH，作圓,。復(fù)圍線的柯西公式,在圓 上一

10、致收斂,逐項積分,證明：,若有展開 ，則,圍線變形原理 ,系數(shù),在圓 上一致收斂，逐項積分 ,孤立奇點,若 z=a 為函數(shù) f(z) 的奇點， f(z) 在某個去心鄰域0 |za| 內(nèi)解析，則稱 a 為 f(z) 的孤立奇點。,例：函數(shù) 有孤立奇點,和非孤立奇點 z = 0,函數(shù)在孤立奇點的某去心鄰域有洛朗展開，在 解析點的某鄰域有泰勒展開；在它解析的任何 圓環(huán)上有洛朗展開；展開式依賴于圓環(huán)的位置,方法：冪級數(shù)的代數(shù)運算、代換 ,例4：將函數(shù) 在內(nèi)作洛朗展開,目標：將f(z), g(z)寫成 z=0 處的雙邊冪級數(shù),手段：泰勒展開,結(jié)果：,例5：將函數(shù) 在下列圓環(huán)上作洛朗展開：,解：f(z)

11、有兩個孤立奇點 z =1, 2,在任何不包含 z=1, 2 的圓環(huán)上 f(z) 可作洛朗展開,1),3),4),2),在 2)-4) 中,(合并同類項),f(z) 在圓環(huán) r |z-a| R 上的洛朗展開收斂范圍為,r1 = min |c-a|：c 為 f(z) 的奇點或， |c-a|R ,r2 = max |b-a|：b 為 f(z) 的奇點或 a， |b-a|r ,4.4 單值函數(shù)的孤立奇點,孤立奇點的三種類型,函數(shù) f(z) 在孤立奇點 z=a 的某去心鄰域有洛朗展開,正則部分,主要部分,定義：若 f(z) 在 z=a 處的主要部分 (i) =0，(ii) 最高項為 (za)-m (m0

12、)，(iii) 有無限多項，則稱 a 為f(z) 的可去奇點，m 階極點，本性奇點,(系數(shù)非零的項),在可去奇點 a 附近，,補充規(guī)定, 則 f(z) 在 z=a 處解析,1. 可去奇點可看作解析點,例：,在 z=3 處泰勒展開收斂半徑 =？,泰勒展式的收斂半徑 = 展開點與最近的非可去奇點之間的距離,負冪項系數(shù) = 0,在 a 附近 f(z) 有界,反過來，設(shè)在 a 的去心-鄰域內(nèi) |f(z)| M。,洛朗展開,a 為可去奇點,f(z) 在 a 附近有界,證明：,2. 零點與極點,f1(z), f2(z) 在 a 點解析，,常見情形：,在 a 附近分別為 m1 階、m2 階無窮小,泰勒展開,

13、m1 m2 時，a 為 f(z) 的 m1-m2 階零點；,m1 m2 時，a 為 f(z) 的 m2-m1 階極點,a 為 f(z) 的 m 階極點,1/f(z) 以 a 為 m 階零點,洛朗展開,證明：,k=m+n,記,g(z) 以 a 為可去奇點,洛朗展開,3. 本性奇點,a 為本性奇點,不存在,Picard 定理：對任意復(fù)數(shù) A，方程 f(z) = A 在本性奇點的任一鄰域內(nèi)有無窮多個解，最多有一個例外,f(z) = A 的解,例：,4.解析函數(shù)在 的性質(zhì),定義：若 f(z) 在的某個鄰域 R|z| 上解析，則稱 為 f(z) 的孤立奇點。,主要部分,正則部分,可去奇點，,本性奇點，,m 階極點，,稱 z=為 為 f(z) 的,洛朗展式,若= 0 為 f(-1) 的,可去奇點,本性奇點,m 階極點,(1) a 為可去奇點,設(shè) a 為 f(z) 的孤立奇點。,f(z) 在 a 的某個鄰域內(nèi)有界,(4) a 為 m 階極點,奇點類型判斷,極點的階,(5) 為 m 階極點,孤立奇點(包括)類型的判斷,(1),(2),在 z0, z 均不存在極限, 0, 為本性奇點, 0 為 1 階極點, , 2, 為 2 階極點 為非孤立奇點,例6：找出以下函數(shù)的