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1、第三節(jié) 柯西積分公式,一、解析函數(shù)的柯西積分公式 二、解析函數(shù)的任意階可導(dǎo)性與莫勒拉定理三、柯西不等式與劉維爾定理 四、調(diào)和函數(shù),一、解析函數(shù)的柯西積分公式,1. 問(wèn)題的提出,根據(jù)多連通區(qū)域上的柯西積分定理得,該積分值不隨閉曲線 L 的變化而改變。,如何求這個(gè)值？,2. 柯西積分公式,引理3.3.1,證,根據(jù)多連通區(qū)域上的柯西積分定理得,定理3.3.1(柯西積分公式),證,例1,解,由柯西積分公式,例2,解,例2,解,例2,解,根據(jù)多連通區(qū)域上的柯西積分定理得,例3,解,二、解析函數(shù)的任意階可導(dǎo)性和莫勒拉定理,1. 問(wèn)題的提出,問(wèn)題:,(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?,(2) 若有高階導(dǎo)數(shù),

2、其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?,回答:,(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).,(2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示, 這與實(shí)變函數(shù)完全不同.,解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?,定理3.3.2,證,2. 解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得,推論3.3.1,證,注,例4,解,例5,解,例6,解,定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理),證,3. 莫勒拉定理,三、柯西不等式與劉維爾定理,1. 整函數(shù),定義3.3.1,如：,2. 柯西不等式,定理3.3.4(柯西不等式),證,3. 劉維爾定理,定理3.3.5(劉維爾定理),證,例7,解,例8,解,四、調(diào)和函數(shù),1. 調(diào)和函數(shù),定義3.3.2,調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中有很重要的應(yīng)用.,2. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,3. 共軛調(diào)和函數(shù),區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).,定理3.3.6,4. 共軛調(diào)和函數(shù)的求法偏積分法,如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi.

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