2020年高考理科數(shù)學(xué)：《基本初等函數(shù)》題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)：基本初等函數(shù)題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算例1 已知函數(shù)則f(f(1)f的值是()A.5 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】由題意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f+1213，所以f(f(1)f5.【易錯(cuò)點(diǎn)】確定的范圍再代入.【思維點(diǎn)撥】本題較簡(jiǎn)單，分段函數(shù)計(jì)算題代入時(shí)要先確定范圍，再代入函數(shù).例2 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2 019)()A1 B0 C1 D2【答案】D【解析】2 01963373，f(2 019)f(3)log2(13)2.故選D.【易錯(cuò)點(diǎn)】轉(zhuǎn)化過(guò)程【思維點(diǎn)撥】x6時(shí)可以將函數(shù)看作周

2、期函數(shù)，得到f(2 019)f(3)，然后再帶入3，得出f(3)f(3).題型二 指對(duì)冪函數(shù)的圖象與簡(jiǎn)單性質(zhì)例1 函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.【易錯(cuò)點(diǎn)】注意b的符號(hào)【思維點(diǎn)撥】(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除；(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖

3、象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論例2 已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.abc B.cabC.acb D.cba【答案】B【解析】由函數(shù)f(x)2|xm|1為偶函數(shù)，得m0，所以f(x)2|x|1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，log0.53log23，log25|log23|0，bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故選B.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)稱性的條件轉(zhuǎn)化；利用單調(diào)性或圖象轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間比較大小.

4、【思維點(diǎn)撥】函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；指對(duì)冪函數(shù)比較大小時(shí)像本題中a,b一樣可以換成同底數(shù)的數(shù)，可以化為一樣的底數(shù)利用單調(diào)性比較大小. 題型三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1 已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】（，0）【解析】由于f(x)x2mx1mx(x21)，可視f(x)為關(guān)于m的一次函數(shù)，故根據(jù)題意有解得m0.【思維點(diǎn)撥】恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.例2 已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值【答案】a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱軸為直線x.當(dāng)1，即a1時(shí)，f(x)ax22x的圖象的對(duì)稱軸在0，1內(nèi)

5、，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增f(x)min.當(dāng)1，即0a1時(shí)，f(x)ax22x的圖象的對(duì)稱軸在0，1的右側(cè)，f(x)在0，1上單調(diào)遞減f(x)minf(1)a2.當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱軸x0)在區(qū)間m，n上的最大或最小值如下：(1)當(dāng)m，n，即對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí)，f(x)的最小值在對(duì)稱軸處取得，其最小值是；若，f(x)的最大值為f(n)；若，f(x)的最大值為f(m)(2)當(dāng)m，n，即給定的區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)時(shí)，f(x)在m，n上是單調(diào)函數(shù)若m，f(x)在m，n上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n0,排除D；當(dāng)x趨近于正無(wú)

6、窮大時(shí)，f(x)趨近于正無(wú)窮大,故選B.【易錯(cuò)點(diǎn)】忽略正無(wú)窮大時(shí)的函數(shù)值【思維點(diǎn)撥】判斷函數(shù)奇偶性根據(jù)選項(xiàng)代入特殊值判斷函數(shù)值正負(fù)根據(jù)極限判斷趨近值.題型五 復(fù)合函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)例1 設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)0的x的取值范圍是_.【答案】(1，0).【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lg，定義域?yàn)?1，1).由f(x)0，可得01，1x0.【易錯(cuò)點(diǎn)】奇偶性判斷【思維點(diǎn)撥】含對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)如果為奇函數(shù)，代入-x時(shí)真數(shù)部分與原真數(shù)部分互為倒數(shù).可記住常見(jiàn)具有奇偶性的復(fù)合函數(shù).常見(jiàn)奇函數(shù)：或；或常見(jiàn)偶函數(shù)：（如）、（如）例2 若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的取值范圍.【答案】【

7、解析】令，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上遞減，且滿足，解得，所以，的取值范圍為.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域【思維點(diǎn)撥】利用復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)得出參數(shù)需滿足的不等式組.題型六 函數(shù)性質(zhì)綜合例1 設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象與y2xa的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，且f(2)f(4)1，則a()A1 B1C2 D4【答案】C.【解析】設(shè)(x，y)是函數(shù)yf(x)圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，由yf(x)的圖象與y2xa的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，可知(y，x)在y2xa的圖象上，即x2ya，解得ylog2(x)a，所以f(2)f(4)log22alog24a1，解得a2，選C.【易錯(cuò)點(diǎn)】關(guān)于直線

8、對(duì)稱的函數(shù)求法例2 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)1x，則：2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；當(dāng)x(3,4)時(shí)，f(x)x3.其中所有正確命題的序號(hào)是_【答案】【解析】由已知條件：f(x2)f(x)，則yf(x)是以2為周期的周期函數(shù)，正確；當(dāng)1x0時(shí)，0x1，f(x)f(x)1x，函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示：當(dāng)3x4時(shí)，1x41時(shí)，a，b，c的大小關(guān)系是()A.cab B.cbaC.abc D.ac1時(shí)，所以cab.3. 當(dāng)0x時(shí)，4xlo

9、gax，則a的取值范圍是()A. B. C(1，) D(，2)【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)0a1時(shí)，要使得4xlogax，即當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)y4x的圖象在函數(shù)ylogax圖象的下方又當(dāng)x時(shí)，2，即函數(shù)y4x的圖象過(guò)點(diǎn).把點(diǎn)代入函數(shù)ylogax，得a.若函數(shù)y4x的圖象在函數(shù)ylogax圖象的下方，則需a1時(shí)，不符合題意，舍去所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題型三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.若時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】分離參數(shù)a,可得則當(dāng)時(shí)，令所以f(x)在時(shí)單調(diào)遞增，所以也可利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論.2.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)

10、數(shù)m的取值范圍是()A. B2，)C(，02，) D0,2【答案】D【解析】二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，又因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.a0也可利用f(x)ax22axc=a(x22x)c=a(x1)2ac在對(duì)稱軸左邊遞減得到.3.已知函數(shù)f(x)x22ax5(a1)(1)若f(x)的定義域和值域均是1，a，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】

11、（1）a2；（2）2,3【解析】(1)f(x)(xa)25a2(a1)，f(x)在1，a上是減函數(shù)又定義域和值域均為1，a解得a2.(2)f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.對(duì)任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,3題型四 函數(shù)圖象的綜合考查1.函數(shù)的圖象大致是（ ）【答案】D【解析】 從奇偶性可排除B，且易知當(dāng)x1時(shí)，原函數(shù)大于0，排除A，當(dāng)x0時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)單調(diào)性可排除C.故選D.2.函數(shù)f(x

12、)ln的圖象是()【答案】B.【解析】自變量x滿足，當(dāng)x0時(shí)，可得x1，當(dāng)x0時(shí)，可得1x0，即函數(shù)f(x)的定義域是(1,0)(1，)，據(jù)此排除選項(xiàng)A、D；函數(shù)y單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)ln()在(1,0)，(1，)上單調(diào)遞增，故選B.3.函數(shù)y在2,2的圖象大致為()【答案】D.【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y在0,2上的圖象，利用排除法求解f(x)|，x2,2是偶函數(shù)，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.設(shè)g(x)，則g(x)4xex.又g(0)0，g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，f(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C.故選D.題型五 復(fù)合函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)1.已知函數(shù)為

13、奇函數(shù)則實(shí)數(shù)的值為 【答案】1.【解析】由奇函數(shù)得：,因?yàn)?所以2.若函數(shù)f(x)loga(x2ax5)(a0，且a1)滿足對(duì)任意的x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，f(x2)f(x1)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】(1,2).【解析】 當(dāng)x1x2時(shí)，f(x2)f(x1)0，即函數(shù)在區(qū)間(，上為減函數(shù)，設(shè)g(x)x2ax5，則，解得1a2.3.函數(shù)的值域?yàn)?)A(0，) B(1，)C1，) D(，)【答案】B【解析】令2xt，則函數(shù)可化為yt22t1(t1)2(t0)函數(shù)y(t1)2在(0，)上遞增，y1.所求值域?yàn)?1，)故選B.題型六 函數(shù)性質(zhì)綜合1.設(shè)方程的根分別為x1，x2，則()A0x1

14、x21 Bx1x21C1x1x22 Dx1x22【答案】A.【解析】方程的根分別為x1，x2，所以，可得x2，令f(x)，則f(2)f(1)0，所以1x12，所以x1x21，即0x1x21.故選A.2.若函數(shù)的值域是4，)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】【解析】當(dāng)x2時(shí)，f(x)x6，f(x)在(，2上為減函數(shù)，f(x)4，)當(dāng)x2時(shí)，若a(0,1)，則f(x)3logax在(2，)上為減函數(shù)，f(x)(，3loga2)，顯然不滿足題意，a1，此時(shí)f(x)在(2，)上為增函數(shù)，f(x)(3loga2，)，由題意可知(3loga2，)4，)，則3loga24，即loga21，1a2.3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)(1)求a，b的