數(shù)學(xué)物理方法課件：09第9章 拉普拉斯方程狄利克雷問題的傅里葉解

1、第九章 拉普拉斯方程的傅里葉解,拉普拉斯方程定解問題 圓域邊值問題的解法 狄拉克函數(shù),拉普拉斯方程圓域邊值問題的解法,作業(yè)：習(xí)題九 3, 4, 6, 7,函數(shù)的基本性質(zhì),問題描述,介電常數(shù)為的電介質(zhì)中放置電荷密度為(x,y,z)的帶電體，求電勢分布,靜電場的基本方程：,高斯定理,環(huán)路定理,輔助方程,9.0 泊松方程與拉普拉斯方程,靜電場的泊松方程,穩(wěn)態(tài)熱分布：各點溫度不隨時間變化,泊松方程,彈性體的靜平衡：,泊松方程,沒有熱源、外力、靜電荷，泊松方程 ,拉普拉斯方程,(介電常數(shù)均勻),矩形域上的邊值問題,例1：散熱片的橫截面為矩形 0xa, 0yb， 它的一邊 y=b 處于較高的溫度 U，其它

2、三邊 保持零度。求橫截面上穩(wěn)恒的溫度分布。,解：定解問題,齊次邊界條件 (3) ,拉普拉斯算符的極坐標(biāo)形式,o,x,二維梯度算符沿徑向和橫向的分量：,沿徑向和橫向的單位矢量記為,極坐標(biāo)系下的梯度算符,極坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符,9.1 圓的狄利克雷問題,問題：一個半徑為 a 的薄圓盤，上下兩面絕熱， 圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù) f ()， 求穩(wěn)恒狀態(tài)時圓盤內(nèi)的溫度分布,周期邊界條件,原點約束條件,圓內(nèi)的 Dirichlet 問題,步驟一：求滿足齊次方程 (1) 和邊界條件 (3)、 變量分離形式的特解,R(r) 滿足,帶入泛定方程 (1)：,滿足,周期本征方程,兩個本征函數(shù)！,步驟二：求解周期

3、本征方程,解為,解為,通解,通解,步驟三：將待求解展開為特解的線性疊加,邊界條件,特解的形式：,解的約化Poisson 積分公式,調(diào)和函數(shù)可在圓內(nèi)任意點處展開為泰勒級數(shù),與解析函數(shù)的聯(lián)系,設(shè) 在閉區(qū)域 |z| a 上解析,(柯西積分公式),取實部 Poisson 積分公式,其中,例2：求解泊松方程 (P226 第 8 題),解法一： 化為齊次方程,物理圖像：接地導(dǎo)體柱面內(nèi)有電荷分布,求解,解的形式,(2) ,比較兩邊的展開系數(shù) 非零系數(shù),解法二： 極坐標(biāo)，本征函數(shù)展開,u(r, ) 是 的周期函數(shù)，有傅里葉級數(shù)展開,常數(shù)變易法 ,二維拉普拉斯方程2u=0 的解,圓環(huán)區(qū)域：,圓內(nèi)區(qū)域：,圓外區(qū)域

4、：,(u|r=0 有限),(u|r= 有限),9.2 狄拉克函數(shù),1.函數(shù)的引入,例：單位質(zhì)量均勻分布的線密度,總質(zhì)量 m =1，集中在 x = 0 處 (一維質(zhì)點),物理模型：質(zhì)點、點電荷、點熱源、瞬時力 ,函數(shù)的定義,定義：,總質(zhì)量 m 集中放在直線上的 x = a 點，質(zhì)量線密度,等價定義：若對任何連續(xù)函數(shù) ，函數(shù)(x),則稱(x) 為函數(shù),滿足,函數(shù)是廣義函數(shù)(數(shù)學(xué))、點源函數(shù)(物理),2.函數(shù)的性質(zhì),連續(xù),(1),(2),(3),(4),f(x) 可導(dǎo)且只有一階零點,(5),連續(xù),判斷(廣義)函數(shù)相等的積分方法,設(shè) f(x) 和 g(x) 是定義在區(qū)間 (a,b) 上的函數(shù)，,若對

5、(a,b) 上的任意絕對可積的光滑函數(shù) ，,則必有,證明 (5)：,例3：(1)計算,(2)計算,解：(1),在區(qū)間 1,5中,(2),例4：瞬時力,解：對運動方程積分 ,再次積分 質(zhì)點的運動,物理：質(zhì)點在瞬時力作用下獲得初速度,對運動方程兩邊作積分取極限,例5：求解熱傳導(dǎo)混合問題的格林函數(shù),(P300),即，由 時刻、 x=處的瞬時點源產(chǎn)生的溫度分布,對方程 (1) 兩邊作積分,解：,中值定理，,取極限0+：,t 時，G(x, t) 滿足,分離變量法得出解的一般形式,(理解齊次化原理),定解問題,的解為,零時刻的瞬時熱源與持續(xù)熱源共同產(chǎn)生的溫度分布,持續(xù)熱源可看作若干前后相繼的瞬時熱源的疊加：,驗證它滿足初值條件和泛定方程：,t 0 時,若函數(shù)序列 滿足,，則 fn(x) 弱收斂于,稱區(qū)間 (a,b) 上的函數(shù)序列 fn(x) 弱收斂于函數(shù),3.弱收斂,若對任何光滑函數(shù) ，都有,記為,例6：以下函數(shù)序列弱收斂于,From wiki,第 j 個坐標(biāo)位于,n 維空間的點,4.高維函數(shù),：坐標(biāo)為,