高一數(shù)學(xué)不等式解法經(jīng)典例題

1、典型例題一例1 解不等式：（1）；（2）分析：如果多項(xiàng)式可分解為個(gè)一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況解：（1）原不等式可化為把方程的三個(gè)根順次標(biāo)上數(shù)軸然后從右上開(kāi)始畫(huà)線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為（2）原不等式等價(jià)于原不等式解集為說(shuō)明：用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中的系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖典型例題二例2 解下列分式不等式：（1）； （2）分析：當(dāng)分式不等式化為時(shí)，要注意它的等價(jià)變形（1）解：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集

2、為。（2）解法一：原不等式等價(jià)于 原不等式解集為。解法二：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集為典型例題三例3 解不等式分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：或，因此本題有如下兩種解法解法一：原不等式即或故原不等式的解集為解法二：原不等式等價(jià)于 即 典型例題四例4 解不等式分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于二次式的商，由商的符號(hào)法則，它等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組：或所以，原不等式的解集是上面兩個(gè)不等式級(jí)的解集的并集也可用數(shù)軸標(biāo)根法求解解法一：原不等式等價(jià)下面兩個(gè)不等式級(jí)的并集：或或或或或原不等式解集是解法二：原不等式化為畫(huà)數(shù)

3、軸，找因式根，分區(qū)間，定符號(hào)符號(hào)原不等式解集是說(shuō)明：解法一要注意求兩個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每組兩個(gè)不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會(huì)產(chǎn)生誤解解法二中，“定符號(hào)”是關(guān)鍵當(dāng)每個(gè)因式的系數(shù)為正值時(shí)，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)相間；也可以先決定含的區(qū)間符號(hào)，其他各區(qū)間正負(fù)相間在解題時(shí)要正確運(yùn)用典型例題五例5 解不等式分析：不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解解：移項(xiàng)整理，將原不等式化為由恒成立，知原不等式等價(jià)于解之，得原不等式的解集為說(shuō)明：此題易出現(xiàn)去分母得的錯(cuò)誤解法避免誤解的方法是移項(xiàng)使一邊為再解另外，在解題過(guò)程中，對(duì)出現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根

4、，以便分析不等式是否有解，從而使求解過(guò)程科學(xué)合理典型例題六例6 設(shè)，解關(guān)于的不等式分析：進(jìn)行分類討論求解解：當(dāng)時(shí)，因一定成立，故原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式化為；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為說(shuō)明：解不等式時(shí)，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，原不等式化為，此時(shí)不等式的解集為，所以解題時(shí)應(yīng)分與兩種情況來(lái)討論在解出的兩根為，后，認(rèn)為，這也是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤之處這時(shí)也應(yīng)分情況來(lái)討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，典型例題七例7 解關(guān)于的不等式分析：先按無(wú)理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類討論求解解：原不等式或由，得：由判別式，故不等式的解是當(dāng)時(shí)，不等式

5、組(1)的解是，不等式組(2)的解是當(dāng)時(shí)，不等式組(1)無(wú)解，(2)的解是綜上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是說(shuō)明：本題分類討論標(biāo)準(zhǔn)“，”是依據(jù)“已知及(1)中，(2)中，”確定的解含有參數(shù)的不等式是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)一般地，分類討論標(biāo)準(zhǔn)（解不等式）大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對(duì)應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)”去確定本題易誤把原不等式等價(jià)于不等式糾正錯(cuò)誤的辦法是熟練掌握無(wú)理不等式基本類型的解法典型例題八例8 解不等式分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，再找它的等價(jià)組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可解答：去掉絕對(duì)值號(hào)得，原不等式等價(jià)于不等式組原不等式的解集為說(shuō)明：

6、解含絕對(duì)值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對(duì)值的不等式，然后把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解典型例題九例9 解關(guān)于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分類討論但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫(xiě)出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：原不等式可化為(1)當(dāng)（即或）時(shí)，不等式的解集為：；(2)當(dāng)（即）時(shí)，不等式的解集為：；(3)當(dāng)（即或1）時(shí)，不等式的解集為：說(shuō)明：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開(kāi)始就對(duì)參數(shù)加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大

7、于大根但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況典型例題十例10 已知不等式的解集是求不等式的解集分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)的正負(fù)，然后求出方程的兩根即可解之解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說(shuō)明而，即，即又，的解集為(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，又的解集是，說(shuō)明而，對(duì)方程兩邊同除以得令，該方程即為，它的兩根為，方程的兩根為，不等式的解集是說(shuō)明：(1)萬(wàn)變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，求出相應(yīng)的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達(dá)定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系數(shù)，的關(guān)系也用，表示出來(lái)；(3)注意解

8、法2中用“變換”的方法求方程的根典型例題十二例12 若不等式的解為，求、的值分析：不等式本身比較復(fù)雜，要先對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于、式子解：，原不等式化為依題意， 說(shuō)明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)解典型例題十三例13 不等式的解集為，求與的值分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，解法一：設(shè)的兩根為，由韋達(dá)定理得：由題意：，此時(shí)滿足，解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故需滿足：，說(shuō)明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時(shí)還考查逆向思維的能力

9、對(duì)有關(guān)字母抽象問(wèn)題，同學(xué)往往掌握得不好典型例題十四例14 解關(guān)于的不等式分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所以還考查分類思想解：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋海?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，式變?yōu)?，不等式的解為或?dāng)時(shí)，式變?yōu)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)的解為當(dāng)時(shí)，此時(shí)的解為說(shuō)明：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時(shí)，解一元二次不等式應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解典型例題十五例15 解不等式分析：無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根