物理奧賽3（靜力學）

1、1,奧賽典型例題,分析(靜力學),2,靜 力 學,1.如圖1所示，長為2m的勻質桿AB的A端用細線AD拉住，固定于墻上D處，桿的B端擱于光滑墻壁上，DB1m，若桿能平衡，試求細線AD的長度.,3,2.如圖2所示，放在水平地面上的兩個圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半徑分別為R和r，大圓柱體上纏有繩子，現通過繩子對大圓柱體施加一水平力F，設各接觸處的靜摩擦因數都是，為使大圓柱體能翻過小圓柱體，問應滿足什么條件？,4,3.如圖3所示，三個完全一樣的小球，重量均為G，半徑為 R10cm，勻質木板AB長為l=100cm，重量為2G，板端A用光滑鉸鏈固定在墻壁上，板B端用水平細線BC拉住，設各接觸處均無摩擦

2、，試求水平細線中的張力.,5,4.如圖4所示，一長為L的輕梯靠在墻上，梯與豎直墻壁的夾角為，梯與地面，梯與墻壁之間的摩擦系數都是，一重為G的人沿梯而上，問這人離梯下端的距離d最大是多少時梯仍能保持平衡？,6,7,6. 半徑為r，質量為m 的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一個高為1.5r 的圓柱形圓筒（上下均無底）將此三個球套在筒內，圓筒的半徑取適當的值，使得各球間以及球與圓筒壁之間均保持無形變接觸. 現取一質量也為m、半徑為R的第四個球，放在三球的上方正中，設第四個球的表面、圓筒的內壁表面均由相同的材料構成，其相互之間的最大靜摩擦因數為，問R取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能

3、將四個球也一起提起來？,8,7. 如圖6所示，邊長為a的均勻立方體對稱地放在一個半徑為r的半圓柱面頂部，假設靜摩擦力足夠大，足以阻止立方體下滑，試證明這立方體穩(wěn)定平衡的條件是:,9,8. 如圖7所示，質量一樣的兩個小木塊由一根不可伸長的輕繩相連放在傾角為的斜面上，兩木塊與斜面之間的靜摩擦系數分別為1和2，且12 , tan ，求繩子與斜面上最大傾斜線AB之間的夾角應滿足什么條件，兩木塊才能在斜面保持靜止？,10,9. 長方形風箏如圖8所示，其寬度a40cm,長度b40cm,質量M200g（其中包括以細繩吊掛的紙球“尾巴”的質量M20g，紙球可當作質點），AO、BO、CO為三根綁繩，AO=BO，

4、C為底邊的中點，綁繩以及放風箏的牽繩均不可伸縮，質量不計，放風箏時，設地面的風速為零，牽繩保持水平拉緊狀態(tài)，且放風箏者以速度v持牽繩奔跑，風箏單位面積可受空氣作用力垂直于風箏表面，量值為pkvsin，k=8Ns/m3,為風箏平面與水平面的夾角，風箏表面為光滑平面，各處所受空氣作用力近似認為相等，取g= 10m/s2，放飛場地為足夠大的水平地面，試求：,(1)放風箏者至少應以多大的速度持牽繩奔跑，風箏才能作水平飛行？這時風箏面與水平面的夾角應為何值？假設通過調整綁繩長度可使風箏面與水平面成任意角度 . (2)若放風箏者持牽繩奔跑速度為v=3m/s，調整綁繩CO的長度等于b，為使風箏能水平穩(wěn)定飛行

5、，AO與BO的長度應等于多少？,11,10. 有一半徑為R的圓柱體A，靜止在水平地面上，并與豎直墻壁相接觸，現有另一質量與A相同、半徑為r的較細圓柱體B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與豎直墻壁接觸，如圖10所示，然后放手.已知圓柱A與地面的摩擦系數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數為0.30，若放手后兩圓柱能保持圖示的平衡，問圓柱B與墻壁的靜摩擦系數和圓柱B的半徑r的值各應滿足什么條件？,12,例1 解：,以桿為研究對象，作出其受力圖（如圖）.,由于桿處于平衡狀態(tài)，所以它所受的三個力的作用線必相交于AD線上的同一點O.,由幾何關系得,13,例2 解：,系統(tǒng)的受力情況如圖所示.,(1

6、)由于小圓柱既不滑動，也不滾動，而大圓柱在小圓柱上作無滑滾動，故B、C兩處都必定有靜摩擦力作用.,(2)大圓柱剛離開地面時，它受三個力作用：拉力F，重力G1，小圓柱對它的作用力R1.由于這三個力平衡，所以它們的作用線必相交于一點,這點就是A點.角不大于最大摩擦角,(3)由于小圓柱受力平衡，所以它所受的三個力作用：重力G2，大圓柱對它的作用力R1，地面對它的作用力R2必組成一個閉合三角形.,即有,14,如圖2所示，同樣應該有,所以由上面三式得,由圖2 知,由圖1得,所以,于是,15,例3 解：,由平衡條件得,對O2軸：,由以上三式可解得,16,AB板受力情況如圖3所示，,17,對A軸有,可解得,

7、18,例4 解：,臨界平衡時，在BCD和ACD中利用正弦定理可得,19,即,又,由以上三式可解得,有關爬梯子的問題,一架均勻的梯子，重為 ，長為 ，上端靠于光滑的墻上，下端置于粗糙的地面上，梯與地面的摩察系數為 ，有一體重 的人攀登到距梯下端 的地方，求梯子不動的條件 。,20,解答(一),解:受力如圖示。水平和鉛直兩個力平衡方程為 選 和 的交點為參考點，力矩平衡方程為 聯立解得,21,解答(二),梯子不滑的條件 ，即 對一定的傾角 ，人能攀登的高度為 角越大，允許人攀登得越高； 越大，允許人攀登得也越高 。,22,解答(三),如果要求攀登到一定高度 ，則要求梯子的傾角 愈小，允許 愈小；

8、愈大，允許 愈小,23,靜不定問題,若考慮墻與梯子的摩擦，則多出一個未知數，平衡方程一樣，解不出確定解。叫靜不定問題（static indeterminate problem）。 實質是：靜摩擦的大小與運動趨勢有關。 有兩個以上的摩擦力參與物體平衡時，各自承擔多少，與達到平衡的過程有關，結論不是唯一的。 運動趨勢：接觸的地方有微小形變。，剛體模型不適用。,24,25,例5 解：,因為W0的作用點O1是AB的中點，故必有 ，而A端不滑動的條件是,即,(2)桿平衡時，再在AB間掛上重物W，靜摩擦角 必發(fā)生變化，若W掛在O1點與B點之間，W+W0的作用點在O1點的右側，此時 角減少，平衡不會受破壞.

9、,26,當WW0時，W+W0W，這時W+W0的作用點P可以認為就是W的作用點 .要使桿仍能保持平衡，必須滿足,由圖2可見,由以上兩式可解得,27,例6 解：,由圖1可見，,圖2為球1的受力圖.,當豎直向上提起圓筒時，能把4個球一起提起，下面兩式應得到滿足,否則上、下球之間及球與筒壁之間會發(fā)生相對滑動.,以球1為研究對象，取O1為軸，由力矩平衡條件易得,28,以圖2中的A為軸，可得,由此式易知，N1 N2 ,所以只要(2)式得到滿足，(1)式就自然得到滿足.,又以圖2中的B為軸，可得,再以4個球為整體作為研究對象，有,29,由(3)、(5)、(6)式可得,再結合(2)式可得,兩邊平方，整理后可得

10、,30,由此可解得,（另一解 舍去）,設 Rnr ,由圖2的幾何關系可得,所以,31,故,又為使第4個球不至于從下面三個球中間掉下，因此須,結合上面兩式可知第4個球的半徑必須滿足下式,32,例7 解：,方法1（回復力矩法）,如圖1所示，當立方體偏離一個很小的角度時，它沿圓柱體無滑滾動地使接觸點從B移到D，如圖可見,故,顯然，當重心C在過D點的豎直線的左方時，重力矩會使立方體恢復到原來位置.此時應有,(對頂角相等),所以,33,所以,于是據(1)式可得,34,方法2（能量法）,如圖2所示，C是立方體的重心，立方體在圓柱體上偏離了一個很小的角度.,由圖2易得,原來重心C（離圓柱體頂點）的高度為a/

11、2,偏離后重心C 的高度為h：,因為,故,即,35,于是,那么,要使立方體處于穩(wěn)定平衡，必須滿足后來的勢能大于原來的勢能，即,即,由此得,36,例8 解：,則表明木塊1可以單獨在斜面上保持靜止，而木塊2不能單獨在斜面上保持靜止.現兩木塊用輕繩連接，當木塊1在高處且繩子平行AB時，因最大靜摩擦力,這表明系統(tǒng)能在斜面保持靜止 . 當繩子與AB線的夾角為且系統(tǒng)能靜止，為使最大，應有木塊1所受靜摩擦力不大于其最大靜摩擦力.設此時繩子的拉力為T，木塊1、木塊2的受力情況如圖2所示.,37,由于木塊2處于平衡，所以它所受的三個力組成一個閉合三角形.故,要使T有實數解，應有,因為,由以上兩式可解得,38,方

12、程(1)的解為,（本來方程有兩個解，但結合木塊1的力三角形及f11Gcos,可知只能取根號前是負號的這一個解）,由于tan2,所以G sin2Gcos,由圖3易知，當T2Gcos時，取最大值.,此時,39,由圖3易得木塊1所受的靜摩擦力為,為了木塊1能靜止，f1必須滿足,由以上三式可得,這表明當 時， 的最大值可取,40,但當 時， 的最大值不能取上述值. 即此時T與 不垂直，為使此時 取最大值，木塊1和木塊2均應受最大靜摩擦力.,對木塊1，由平衡條件得（注意：此時圖3中的f1取最大靜摩擦力， 取最大值 m）,對木塊2，由平衡條件得,由這兩式可解得,41,綜上所述得,當 時， 的最大值為,當

13、時， 的最大值為,( 或 ),42,例9 解：,其豎直分量Fy應與風箏重力平衡,即,當45時， 有極大值1/2，此時v0取極小值v0min.,43,(2),所以,故,于是,因為風箏在水平方向受力平衡，所以風箏所受總的水平拉力為,44,分別代入,得,自O點至AB的中點D，連接一輕繩OD，替代AO和BO，如圖3所示.,則牽繩拉力T和紙球重力對風箏紙面中心 產生的力矩平衡：,分別代入 值可得,45,所以，O與C的豎直高度差為,由圖3可見,分別代入、r、b值可得,因為COD是等腰三角形，所以,46,代入b、值得,又由 可得,或,47,例10 解：,圓柱體A、B的受力情況如圖2所示.,據平衡條件可列出如下平衡方程：,對圓柱體A有：,（對O1軸）,對圓柱體B有：,（對O2軸）,48,式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)是平衡時所需要的力.N1、N2、N3沒有問題，但F1、F2、F3卻不一定能達到要求，因為要受到該處摩擦系數的制約.這三個力只要有一個達不到所要求的值，該處就要發(fā)生滑動而不能平衡.,49,首先討論圓柱體B與墻壁的接觸點，不發(fā)生滑