高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)教學(xué)案例

1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算案例分析尉氏縣第三高級中學(xué)姚翠玲一、案例背景1、教材分析本節(jié)課是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算的第二課時，是四則運算的重點，也是本章的重點復(fù)數(shù)的乘法法則是規(guī)定的，其合理性表現(xiàn)在：這種規(guī)定與實數(shù)乘法的法則是一致的，而且實數(shù)乘法的有關(guān)運算律在這里仍然成立由除法是乘法的逆運算的這種規(guī)定，可以得到復(fù)數(shù)除法的運算法則教材在內(nèi)容編排上使用問題探究式的方法，引導(dǎo)學(xué)生能夠自己探究新知，發(fā)現(xiàn)新知，理解新知學(xué)生不僅學(xué)到了知識，而且培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性2、學(xué)情分析高二的學(xué)生3、教學(xué)目標設(shè)計：知識與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算過程與方法：理

2、解并掌握復(fù)數(shù)的除法運算實質(zhì)是分母實數(shù)化類問題情感、態(tài)度與價值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時，我們采用講解或體驗已學(xué)過的數(shù)集的擴充的，讓學(xué)生體會到這是生產(chǎn)實踐的需要從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識體系。教材內(nèi)容及重點、難點分析 教學(xué)重點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算。教學(xué)難點：對復(fù)數(shù)除法法則的運用。教學(xué)設(shè)想：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小4、教學(xué)思路本節(jié)課的教學(xué)以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，以學(xué)生為中心，以問題為出發(fā)點，使課堂教學(xué)過程

3、成為學(xué)生自主地進行信息加工、知識意義構(gòu)建、創(chuàng)新能力發(fā)展的。教師在教學(xué)過程中則適時介入，引導(dǎo)、啟發(fā)、組織、幫助、促進。設(shè)計創(chuàng)造性思維問題。所謂創(chuàng)造性思維問題即是指利于學(xué)生創(chuàng)造性思維發(fā)展的問題。創(chuàng)造性思維問題的設(shè)計應(yīng)遵循這樣幾個原則：題型具有開放性、解題富有挑戰(zhàn)性。5、教學(xué)手段互動法：老師提出問題，由學(xué)生回答，并從知識中獲得啟迪，從而解決問題。任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法：將所要學(xué)習(xí)的新知識隱含在一個或向個問題之中，學(xué)生通過對所提的任務(wù)進行分析、討論，并在老師的指導(dǎo)、幫助下找出解決問題的方法，最后通過任務(wù)的完成而實現(xiàn)對所學(xué)知識的意義建構(gòu)。二、案例描述1、新課導(dǎo)入提出問題：試計算5(2i)活動設(shè)計：先由學(xué)生獨立思

4、考，然后交流看法學(xué)情預(yù)測：學(xué)生可能類比單項式與多項式的乘法來計算活動成果：(板書)5(2i)(2i)(2i)(2i)(2i)(2i)105i.2、講解新課設(shè)計意圖通過比較分別運用實數(shù)集中乘法的意義和復(fù)數(shù)的加法法則計算所得的結(jié)果，得到結(jié)論：m(abi)mambi，其中m，a，bR.引出新課兩個復(fù)數(shù)相乘又該如何計算？ 提出問題：如何計算(2i)(32i)?活動設(shè)計：先讓學(xué)生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學(xué)生交流學(xué)情預(yù)測：學(xué)生可能類比兩個多項式的乘法來計算活動成果：(板書)(1)規(guī)定，復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積：(abi)(cdi)acbci

5、adibdi2(acbd)(adbc)i.(2)(2i)(32i)63i4i2i247i.設(shè)計意圖遇到問題就得解決問題，但是復(fù)數(shù)又是一個全新的知識，它是實數(shù)集的擴充，所以在不違背原有知識的基礎(chǔ)上規(guī)定了復(fù)數(shù)的乘法法則，使學(xué)生體會知識的創(chuàng)新與發(fā)展的過程 提出問題1：怎樣理解復(fù)數(shù)的乘法法則？它可能滿足哪些運算律？活動設(shè)計：學(xué)生獨立思考，然后同學(xué)間交流學(xué)情預(yù)測：學(xué)生可以獨立理解復(fù)數(shù)的乘法法則，并寫出它滿足的運算律活動成果：(1)可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并即可兩個復(fù)數(shù)的積是一個確定的復(fù)數(shù)(2)實數(shù)集上的乘法滿足的運算律，可以直接

6、推廣到復(fù)數(shù)集上的乘法運算中：對于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.設(shè)計意圖準確地把握法則及其滿足的運算律，為正確熟練地運用打下良好的基礎(chǔ) 提出問題2：計算i5，i6，i7，i8的值，你能推測in(nN*)的值有什么規(guī)律嗎？活動設(shè)計：學(xué)生獨立思考，然后同學(xué)間交流結(jié)果，教師巡視指導(dǎo)學(xué)情預(yù)測：學(xué)生能夠計算出四個值，并說出周期性活動成果：i5i，i61，i7i，i81，推測i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41(nN*)設(shè)計意圖了解i的冪的周期性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和歸納能力 例1計算：(1)(1i)2；(2)(12i)

7、(34i)(12i)思路分析：第(1)題可以用復(fù)數(shù)的乘法法則計算，也可以用實數(shù)系中的乘法公式計算；第(2)題可以按從左到右的運算順序計算，也可以結(jié)合運算律來計算解：(1)解法一：(1i)2(1i)(1i)1iii22i；解法二：(1i)212ii22i.(2)解法一：(12i)(34i)(12i)(34i6i8i2)(12i)(112i)(12i)(114)(222)i1520i；解法二：(12i)(34i)(12i)(12i)(12i)(34i)5(34i)1520i.點評：此題主要是鞏固復(fù)數(shù)乘法法則及運算律，以及乘法公式的推廣應(yīng)用特別要提醒其中(2i)4i8，而不是8.提出問題1：在例1中

8、12i與12i的積恰好是一個實數(shù)，觀察這兩個復(fù)數(shù)之間有何聯(lián)系？活動設(shè)計：學(xué)生獨立思考，然后交流學(xué)情預(yù)測：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠得出兩個復(fù)數(shù)的異同活動成果：一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部為0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù)注意：z的共軛復(fù)數(shù)常用表示即：若zabi，則abi.設(shè)計意圖例1(2)為引出共軛復(fù)數(shù)的概念提供了實例支持，從而得出共軛復(fù)數(shù)的定義，使學(xué)生對知識的接受變得自然 提出問題2：類比實數(shù)的除法，聯(lián)系復(fù)數(shù)減法法則的引入過程，探求復(fù)數(shù)除法的法則活動設(shè)計：引導(dǎo)學(xué)生運用乘法法則以及復(fù)數(shù)相等的概念來得到除法法則活動成果：(1)規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運

9、算，即把滿足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的復(fù)數(shù)xyi，叫做復(fù)數(shù)abi除以cdi的商(2)經(jīng)計算可得(cxdy)(dxcy)iabi.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有cxdya，dxcyb.由此得x，y.于是得到復(fù)數(shù)除法的法則是：(abi)(cdi)i.由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù)提出問題1：若z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，那么(1)在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點有怎樣的位置關(guān)系？(2)z1z2是一個怎樣的數(shù)？(3)若z1是實數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)是怎樣的數(shù)？活動設(shè)計：學(xué)生獨立探究，然后再小組交流教師巡視指導(dǎo)學(xué)情預(yù)測：學(xué)生通過獨立思考，然后與同學(xué)交流看法，最后能夠得出正確的結(jié)論

10、活動成果：(1)兩個共軛復(fù)數(shù)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱；(2)z1z2|z1|2|z2|2；(即z|z|2|2)(3)z1的共軛復(fù)數(shù)仍是z1，即實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身設(shè)計意圖使學(xué)生加深對共軛復(fù)數(shù)概念的了解 提出問題2：在實際進行復(fù)數(shù)運算時，每次都按照乘法逆運算的辦法來求商，這是十分麻煩的如何簡化求商的過程？這種簡化的求商過程與實數(shù)系中作何種運算的過程相類似？活動設(shè)計：起初學(xué)生會無從下手，可以提示他們觀察商的實部和虛部的分母與除數(shù)的關(guān)系，從而得解學(xué)情預(yù)測：學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，基本上能發(fā)現(xiàn)規(guī)律活動結(jié)果：(1)在進行復(fù)數(shù)除法運算時，通常先把(abi)(cdi)寫成的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)

11、cdi，化簡整理后即可(2)這種求商過程與作根式除法時的處理是很類似的在作根式除法時，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，從而使分母“有理化”這里分子和分母都乘以分母的“實數(shù)化因式”(共軛復(fù)數(shù))，從而使分母“實數(shù)化”設(shè)計意圖簡化求解過程，有利于熟練運用法則 例2計算(12i)(34i)思路分析：先把(12i)(34i)寫成的形式，然后分子、分母都乘以34i，計算整理即可解：(12i)(34i)i.點評：例2是復(fù)數(shù)除法的計算題，目的是讓學(xué)生熟練操作上述作除法的簡便過程鞏固練習(xí)計算：(1)；(2)(i)(i)；(3).解：(1)1i；(2)(i)(i)(i)2()22i23235；(3)13i.

12、變練演編1已知：_12i，則橫線上可以填的條件是什么？(可以多寫幾種)2計算：；并自己編制一道類似的題目答案：1.112i，34i或5,12i等等(先寫出被除數(shù)或除數(shù)中的一個，然后求另一個)2解法一：i；解法二：i.編制的題目：，(編制的原則設(shè)分子是z1abi，則分母為z2bai，即分母與i的乘積就是分子，可直接約分，從而達到分母實數(shù)化)設(shè)計意圖第一個題目的設(shè)計不僅是為了訓(xùn)練學(xué)生靈活處理問題，熟練運用知識的能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維與集中思維的能力，還可以考查學(xué)生對知識、問題理解的深刻性和思維的深刻性、全面性題型的新穎性、開放性更是不言而喻第二個題的目的是使學(xué)生更深刻理解復(fù)數(shù)的除法就是分母

13、的實數(shù)化 3、拓展延伸1復(fù)數(shù)abi與cdi的積是實數(shù)的充要條件是()Aadbc0 Bacbd0 Cacbd Dadbc2已知(12i)43i，求z.3計算()2 010.解析：1.若(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i是實數(shù)，則只需虛部adbc0.故答案為A.2由已知可得2i，所以z2i.3.()2 010()21 005i()1 005ii1 005ii42511ii2i.4、高考連線復(fù)數(shù)在高考中占有很重要的地位。高考中多以選擇題形式出現(xiàn)，屬易得分題型，要求學(xué)生必須掌握。5、課堂小結(jié)對給定的三個復(fù)數(shù)z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，你能研究些什么？用什么樣的方法來研究

14、？(數(shù)系的擴充，當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為0時，復(fù)數(shù)也就是特殊的實數(shù)；復(fù)數(shù)的分類；復(fù)數(shù)相等的概念；復(fù)數(shù)的幾何意義；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運算；復(fù)數(shù)的運算律；任一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及性質(zhì)等本章所學(xué)的所有知識用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、化虛為實等思想方法來研究)6、布置作業(yè)習(xí)題3.2 A組4、5題7、補充練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)復(fù)數(shù)(158i)(12i)的值為_已知復(fù)數(shù)z134i，z2ti，且z1是實數(shù)，則實數(shù)t等于()A. B. C D復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限若z1a2i，z234i且為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_已知z1510i，z234i，求z.答案：1.138i2.A3

15、.A4.5.5i.拓展練習(xí)已知2i3是關(guān)于x的方程2x2pxq0的一個根，求實數(shù)p，q的值思路分析：2i3是方程的根，代入方程后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，化虛為實，即可求得解：由已知得：2(2i3)2p(2i3)q0，從而(103pq)(2p24)i0.于是，有解得p12，q26.點評：解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，復(fù)數(shù)相等就是實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的很好的工具三、案例反思本節(jié)課是本章的重點內(nèi)容，同時復(fù)數(shù)乘、除法的法則的理解更是難點故在本節(jié)課的設(shè)計上多次采取類比的方法，使知識在不失其本質(zhì)的情況下，更易于理解同時這種處理方法可以使新知識與所學(xué)知識建立聯(lián)系性，有利于知識的網(wǎng)絡(luò)化和系統(tǒng)化在整個設(shè)計上突

16、出了問題驅(qū)動式的教學(xué)方法，以問題為主線，以學(xué)生為主體，隨著問題的提出與解決，教學(xué)內(nèi)容也被隨之很好地學(xué)習(xí)與理解在例題和習(xí)題的設(shè)計環(huán)節(jié)上，力求突出本節(jié)課的重點：熟練掌握復(fù)數(shù)的乘除法運算以及數(shù)學(xué)思維方式與技能形成的培養(yǎng)例題的選題目的有三：一是鞏固所學(xué)法則及運算律；二是通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力；三是培養(yǎng)計算能力，以形成技能變練演編的第1題考查學(xué)生靈活運用知識、發(fā)散思維及逆向思維的能力；第2題則是使學(xué)生更加深刻地體會復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)就是“分母實數(shù)化”，培養(yǎng)學(xué)生問題理解的深刻性、全面性為了進一步鞏固所學(xué)，又設(shè)計了鞏固練習(xí)、達標檢測和補充練習(xí)等環(huán)節(jié)在補充練習(xí)中為學(xué)有余力的同學(xué)安排了拓展練習(xí)，增加思維量的同時也開闊了視野我們知道，對于實系數(shù)一元二次方程ax2bxc0，如果b24ac0，那么它在實數(shù)集R內(nèi)沒有實根現(xiàn)在把實數(shù)集R擴充為復(fù)數(shù)集C，再來考察這一問題經(jīng)過變形，原方程可以化為x2x，x22x()2()2，(x)2，(x)2由于是正實數(shù)，我們可以得到x.所以當(dāng)b24ac0時，實系數(shù)一元二次方程ax2bxc0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且只有兩個根顯然，它們是一對共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法法則是：(a+bi)(c+di)=