初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)歸納新

1、 函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征： x軸上的點(diǎn)，y為零；y軸上的點(diǎn)，x為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , 0）。4、點(diǎn)的對稱特征：已知點(diǎn)P(m,n),關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n) 縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n) 橫，縱坐標(biāo)都反號5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

2、平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。 第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點(diǎn)P（x,y）的幾何意義：點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為8、兩點(diǎn)之間的距離：X軸上兩點(diǎn)為A、B |AB|Y軸上兩點(diǎn)為C、D |CD|已知A、B AB|=9、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A、B M為AB的中點(diǎn),則：M=( , )10、點(diǎn)的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)

3、點(diǎn)（ x-a，y）；將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x+a ，y）；將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，yb）；將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)（x，yb）。函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量：在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量。 常量：在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時(shí)候，A是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、確定函數(shù)定義域的方

4、法： （1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)； （2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零； （5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。4、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象5.函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。6、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以

5、自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。7、函數(shù)的表示方法:列表法、解析式法、圖象法一次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義：一般地，形如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，稱為正比倒函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式： y=kx+b (k0) 說明： k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實(shí)數(shù)2、解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)3、圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，

6、0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b, 4、增減性（單調(diào)性）： k0，y隨x的增大而增大（單調(diào)增）；k0，y隨x的增大而增大；k0時(shí)直線與y軸交于原點(diǎn)上方（即y軸的正半軸）；當(dāng)b0b0經(jīng)過：第一、二、三象限不經(jīng)過：第四象限經(jīng)過：第一、三、四象限不經(jīng)過：第二象限經(jīng)過：第一、三象限不經(jīng)過：第二、四象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大，單調(diào)增k0，y隨x的增大而減?。▎握{(diào)減）；k0，y隨x增大而增大（單調(diào)增）4、反比例函數(shù)的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲

7、線）（3）反比例函數(shù)（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn)，斷開的兩個(gè)分支（稱為左、右支），延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。（4）比例系數(shù)的幾何含義（右圖）：反比例函數(shù)y (k0)中比例系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線y (k0)上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸垂線，設(shè)垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB的面積(陰影面積)為 .（由y變形可得：k=xy 因?yàn)槊娣e為正數(shù)，所以k取絕對值。）5、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：k的符號oyxk0yxok0圖像的大致位置經(jīng)過象限第 象限第 象限增減性（單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論）在每一象限內(nèi)，從左到右看，y隨x的增大而減小 ；（-，0）U（0，+

8、）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)減 在每一象限內(nèi),從左到右看y隨x的增大而增大 （-，0）U（0，+）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)增 圖像的對稱性中心稱圖形，對稱中心是原點(diǎn)；同時(shí)，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x 和直線y=-x二次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識：1定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域（x的取值范圍）：全體實(shí)數(shù)，R2. 解析式（表達(dá)式）：一般式：（，是常數(shù)）：說明： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充：二次函數(shù)解析式的表示方法（三種

9、）一般式：（，為常數(shù)，）；頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；拋物線的頂點(diǎn)P（h，k） 兩根式（交點(diǎn)式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.僅限于與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中3、二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析

10、式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式4、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo); 然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)

11、）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).3、 二次函數(shù)的圖像：拋物線（1）對稱性：拋物線是軸對稱圖形。對稱軸：直線,對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）（2）拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，當(dāng)=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)= =0時(shí)，P在x軸上。4、 a.b.c與拋物線的關(guān)系（是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)）y=5x2y=x2xy（1）a決定拋物線的開口方向和大小：開口方向：a為正(a0)，開口朝上，有最小值；a為負(fù)(a0)，開口朝下，有最大值；開口大?。篴 的絕對值越大，拋物線的開口越小。（2）a、b共同決定

12、的符號決定對稱軸的位置，分兩種情況：當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab0），對稱軸在y軸右側(cè)。概括的說就是“左同右異” （3）常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c），分三種情況： 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)= 0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。A（x1,0）和B（x2,0）=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。頂點(diǎn)P= 0

13、時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。y=0x0yx0yxABP配圖：開口向上(開口向下，情況類似)7、類比一元二次方程的根的情況：特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 8、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0yxO0圖 象開 口對 稱 軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最 值當(dāng)x 時(shí)，y有最 值，y當(dāng)x 時(shí)，y有最 值，y增減性在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而 y 隨x的增大而 在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而 y隨x的增大而 9. 應(yīng)用：（1）最大面積；（2）最大利潤；（3）其它10、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步

14、驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移？ 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）綜合練習(xí)（1）下列函數(shù)， . . ；其中是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的有：_。（2）函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是（） A1 B2 C2 D2或2（3）如果是的反比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，那么是的（ ） A反比例函數(shù) B正比例函數(shù) C一次函數(shù) D反比例或正比例函數(shù)（4）如果是的正比例函數(shù)，是的反比

15、例函數(shù)，那么是的（ ）（5）如果是的正比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，那么是的（ ）（6）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（2，5）和（， ），求（1）的值；（2）判斷點(diǎn)B（，）是否在這個(gè)函數(shù)圖象上，并說明理由（7）已知函數(shù)，其中與成正比例, 與成反比例，且當(dāng)1時(shí)，1；3時(shí)，5求：（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)2時(shí)，的值（8）若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的值是（ ）A、 1或1; B、小于的任意實(shí)數(shù); C、1; 、不能確定（9）已知，函數(shù)和函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ）(10)、如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB軸于點(diǎn)B，連結(jié)BC則ABC的面積等于（）A1B2C4

16、D隨的取值改變而改變11、已知函數(shù)，其中成正比例,成反比例,且當(dāng)12、（8分）已知,正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù),反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)的增大而減小,一次函數(shù)過點(diǎn).（1）求的值.（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.二次函數(shù)提高題:1 是二次函數(shù)，則的值為（ ）A0或3B0或3C0D32已知二次函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)A（2，0），則值為（ ）A2B1C2或1D任何實(shí)數(shù)3與形狀相同的拋物線解析式為（ ）ABCD4關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中正確的是（ ）A若，則隨增大而增大B時(shí)，隨增大而增大。C時(shí)，隨增大而增大D若，則有最小值5函數(shù)經(jīng)過的象限是（ ）A第一、二、三象限 B第一、二象限

17、C第三、四象限 D第一、二、四象限6已知拋物線，當(dāng)時(shí)，它的圖象經(jīng)過（）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第一、二、三、四象限7對的敘述正確的是（ ）A當(dāng)1時(shí)，最大值2B當(dāng)1時(shí)，最大值8C當(dāng)1時(shí)，最大值8D當(dāng)1時(shí)，最大值28二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，0）、（0，3），對稱軸1求函數(shù)解析式；5、 圖象與軸交于A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，求四邊形ABCD的面積9、拋物線與的形狀相同，而開口方向相反，則=（ ）（A） （B） （C） （D）10把二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式為（ ）AB CD11函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）AB C D12、若拋物線的開

18、口向下，頂點(diǎn)是（1，3），隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） (D)13拋物線過第二、三、四象限，則 0， 0， 014拋物線可由拋物線向 平移 個(gè)單位得到15頂點(diǎn)為（2，5）且過點(diǎn)（1，14）的拋物線的解析式為 16對稱軸是軸且過點(diǎn)A（1，3）、點(diǎn)B（2，6）的拋物線的解析式為 17已知拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸的正半軸交于B、C兩點(diǎn)，且BC=2，SABC=3，則= ，= 18、已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（-5，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。對稱軸、頂點(diǎn)、平移：1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 3.拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則這

19、個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是4.二次函數(shù)的最小值是 5.已知二次函數(shù)的對稱軸和軸相交于點(diǎn)，則的值為_6.拋物線的對稱軸是直線 7.將拋物向左平移1個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是 8.把拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式是，則有a、b、c的值分別是 圖像交點(diǎn)、判別式：9.已知拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，且線段，則的值為 10.已知二次函數(shù)不經(jīng)過第一象限，且與軸相交于不同的兩點(diǎn)，請寫出一個(gè)滿足上述條件的二次函數(shù)解析式 11.若拋物線的頂點(diǎn)在軸的下方，則的取值范圍是（）12.已知二次函數(shù)，且，則一定有（ ）A. B. C. D. 0利用圖像：1若直線ym（m為常數(shù)）與函數(shù)y的圖像恒有三個(gè)不同的交點(diǎn)， m的取值范圍是。2.下列圖形：其中，陰影部分的面積相等的是（）3.若為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（ ）4.二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的對應(yīng)值如下表：012346006則使的的取值范圍為5.二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）O6.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則直線的圖象不經(jīng)過（）第一象限 第二象限 第三象限第四象限7.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次