量子力學(xué)§3.2一維方勢阱

1、3.2一維方勢阱,求解 S 方程 分四步： （1）列出各勢域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標準條件定解 （4）定歸一化系數(shù),一、一維無限深方勢阱,粒子在阱內(nèi)自由運動 不能到阱外,勢函數(shù),阱外,定態(tài)薛定諤方程 阱外：,阱內(nèi)：,根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 阱外,阱內(nèi),(為了方便將波函數(shù)腳標去掉),令,將方程寫成,通解,式中 A 和 B 是待定系數(shù),由波函數(shù)標準條件和邊界條件定特解 通解是,解的形式,解的形式為,能量取值,波函數(shù)的連續(xù)性。,B已經(jīng)為零了 A不能再為零了 即 A0,只能sin ka 等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,本征函數(shù)系,由歸一化條件確定常數(shù) A,本征函數(shù),考慮到振

2、動因子,定態(tài)波函數(shù),薛定諤方程的一般解：.,1、能量,每個可能的值叫能量本征值，束縛態(tài)粒子能量取值分立 (能級概念)。 能量量子化。,體系最低能量的態(tài)稱為基態(tài)。其他態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。 基態(tài)能量不為零量子效應(yīng)，,（1）、能量量子化,（2）、當n 趨于無窮時,能量趨于連續(xù)（對應(yīng)原理）。,2、波函數(shù),（1）駐波解。,波函數(shù)與橫軸相交次數(shù)（不含兩端）稱為節(jié)點數(shù)，顯然為n-1,（2）、一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度,o,a,a,o,量子經(jīng)典,符合玻爾對應(yīng)原理,平均效應(yīng)明顯,3、若勢阱為,對于不同的量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的概率是不同的。,當 為偶數(shù)時， ，即 具有奇宇稱。 當 為奇數(shù)時

3、， ，即 具有偶宇稱。,本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱： 而導(dǎo)致的。,由定態(tài)薛定諤方程求能量本征值和本征函數(shù)的步驟：,第一、確定粒子勢能表達式（有的問題直接給出）；,第二、寫出定態(tài)薛定諤方程，引入?yún)?shù)，把方程化為標準的微分方程，寫出通解；,第三、利用波函數(shù)滿足的標準條件（單值、有限、連續(xù)），求能量本征值和本征函數(shù)。,第四、利用波函數(shù)的歸一化條件，將波函數(shù)歸一化。,二、一維有限深方勢阱,勢的特點：空間反射對稱,寫出分區(qū)定態(tài)方程,在阱外(經(jīng)典禁介區(qū)),在阱內(nèi)(經(jīng)典允許區(qū)),令,方程(1)、（2）變?yōu)?有限性：,A2=0，C1=0。,令,V0時，結(jié)果與無限深勢阱的偶宇稱態(tài)能量一致。,V0時，結(jié)果與無限深勢阱的奇宇稱態(tài)能量一致。,三