差分方程模型.ppt

1、、差分方程模型 、離散模型 、概率模型,指導老師：林道榮 制作人：裘江娜,制作人：裘江娜 02061218z,指導老師：林道榮,差分方程 市場經濟中的蛛網模型,背景,在自由貿易市場上你注意過這樣的現(xiàn)象嗎： 一個時期以來某種消費品如豬肉的上市量遠大 于需求，由于銷售不暢導致價格下降，生產者 發(fā)現(xiàn)養(yǎng)豬賠錢，于是轉而經營其他農副業(yè)。過一段時間 豬肉上市量就會大減，供不應求將導致價格上漲。 生產者看到有利可圖，又重操舊業(yè)，這樣下一個時期會重現(xiàn)供大于求、價格下降的局面。在沒有外界干預的情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去。同樣，蔬菜、水果也有類似的情況。 用流程圖來表示以上循環(huán)過程就是：,消費品上市量需求量,

2、銷售不暢,價格下降,生產量減少,上市量減少,供不應求,價格上漲,在完全自由競爭的市場經濟中，這種現(xiàn)象通常是不可避免的.因為商品的價格是由消費者的需求關系決定的,商品數(shù)量越多價格越低.而下一時期商品的數(shù)量由生產者的供應關系決定,商品價格越低生產的數(shù)量就越少.這樣的需求和供應關系決定了市場經濟中商品的價格和數(shù)量必然是振蕩的.在現(xiàn)實世界里這樣的振蕩會出現(xiàn)不同的形式,有的振幅漸小趨向平穩(wěn),有的則振幅越來越大,如果沒有外界如政府的干預,將導致經濟崩潰.,本節(jié)先用圖形法對上述現(xiàn)象進行分析，給出市場經濟趨于穩(wěn)定的 條件；再用差分方程建模，對結果進行解釋。,記第k時段商品的數(shù)量為 ,價格為 ,k=1、2、 這

3、里我們把時間離散化為 時段,1個時段相當于商品 的1個生產周期,如蔬菜、 水果是一種種植周期,肉類 是牲畜的飼養(yǎng)周期.,分析,同一時段商品的價格取決于數(shù)量 設 它反映消費者對這種 商品的需求關系,稱需求函數(shù),下一時段商品的數(shù)量 由上一時段價格 決定，所以設為 或 ，,圖中，兩條曲線相交于P0 （x0，y0）點,商品數(shù)量x1給定后,價格 由曲線f上的 點決定,P1,x2,P3,P4,下一時段的數(shù)量 由 曲線g上的 點決定, 又由f上的 點決定,這樣得到一系列的點,我們 可以發(fā)現(xiàn),這些點將按箭頭所示方向趨向P0，表明P0是穩(wěn)定的平衡點,意味著市場經濟將趨向穩(wěn)定,則類似的分析發(fā)現(xiàn),市場經濟將按照 的

4、規(guī)律變化而遠離 ,即 是不穩(wěn)定的平衡點,意味著商品數(shù)量和價格將出現(xiàn)越來越大的振蕩.,圖1和圖2中折線 形似 蛛網,所以這種用需求曲線和供應曲線 分析市場經濟穩(wěn)定性的圖解法在經濟 學中稱蛛網模型.,實際上,需求曲線f和供應曲線g的具體 形式通常是根據(jù)各個時段商品的數(shù)量 和價格的一系列統(tǒng)計資料得到的.一般 地說,f取決與消費者對這種商品的需要 程度和他們的消費水平,g則與生產者的生產能力、經營水平等因素有關. 比如當消費者收入增加時,f會向上移 動;當生產能力提高時,g將向右移動.,P3,但是在實際生活中,并不是所有的供需關系都是趨于 穩(wěn)定的.例如,當需求函數(shù)和供應函數(shù)由圖2的曲線所示,分析,一旦

5、需求曲線和供應曲線被確定下來,商品數(shù) 量和價格是否趨向穩(wěn)定,就完全由這兩條曲線在平 衡點P0附近的形狀決定。,當 時 點是穩(wěn)定的(圖1),當 時 點是不穩(wěn)定的(圖2),由此可見, 需求曲線越平, 供應曲線越陡, 越有利于經濟 穩(wěn)定,為了進一步分析這種現(xiàn)象,下面給出蛛網 模型的另一種表達形式-差分方程,分析圖1和圖2我們可以發(fā)現(xiàn):,在 附近,圖1的f比g平緩, 而圖2的f比g陡峭,記f在 點斜率的絕對值為 ,g在 點斜率為 ,圖形的直觀 告訴我們：,分析,差分方程模型,因為在 點附近曲線f和g的斜率變化不大,為方便計算可以用直線來近似代替曲線,得以下線性關系:,容易看出來,當 時 即 點穩(wěn)定的條

6、件是 或 當 時 即 點不穩(wěn)定的條件是 或 其中,建立模型與平衡點穩(wěn)定的條件,模型解釋,表示商品供應量減少1個單位時價格的上漲 幅度, 表示價格上漲1個單位時商品供應的 增加量.所以 的數(shù)值反映消費者對商品需求 的敏感程度, 的數(shù)值反映生產經營者對商品價 格的敏感程度.當供應函數(shù)g即 固定時, 越小, 需求曲線越平,表明消費者對商品需求的敏感程 度越小,有利于經濟穩(wěn)定;當需求函數(shù)f即 固定 時, 越小,供應曲線越陡,表明生產者對價格的 敏感程度越小,有利于經濟穩(wěn)定.反之,當 較大,表明消費者對商品的需求和生產者對商品 的價格都很敏感,則經濟不穩(wěn)定.,概率模型,-報童的訣竅,指導老師：林道榮,制

7、作人：裘江娜,背景,“啦啦啦，啦啦啦，我是賣報的小 行家，大風大雨去賣報，一面跑 一面叫，今天的新聞真正好，七個 銅板就買兩份報”,這首賣報歌在舊上海幾乎家戶喻曉，耳熟能詳。它從側面反映了舊上海窮苦人家的孩子， 學齡時期，沒有書讀，沒有兒提時應有的幸福，只能去當童工。不論刮風下雨，都得為 謀生計而買街叫賣。,提出問題,報童每天清晨從報社購進報紙零 售,晚上將沒有賣掉的報紙退回.如果 報童每天購進的報紙?zhí)?不夠賣,將 會少賺錢;如果購進的太多,賣不完, 將要賠錢.,那么,報童應該如何確定每天購進報紙的數(shù)量才能獲得最大的收入?,建模準備,設每份報紙的購進價為b，零售價為a， 退回價為c；abc,

8、設每天報紙的需求量為R份的概率是 f(r) (r=0,1,2,3.),設每天購進報紙n份,日平均收入G(n),假定報童已經通過自己的經驗或其他的渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律,因為需求量r是隨機的,r可以小于n,等于n或大于n,致使報童每天的收入也是隨機的,所以作為優(yōu)化模型的目標函數(shù),不能是報童每天的收入,而應該是他長期賣報的日平均收入,即售出一份賺a-b,退回一份賠b-c,建立模型,若這天的需求量rn，則他把n份全部賣出，但少賺錢， 當天收入為： (a-b)nf（r） 所以，我們可以得到,模型為:求n,使G(n)最大,通常需求量R的取值和購進量n都相大，將R視為連續(xù)變量更便于分析和計算，,模型求

9、解,這時概率f(r) 轉化為概率密度函數(shù)p(r) 即：,最大購進量n應滿足此式！,由p(r)確定n的圖解法:,記,取n,使:,模型解釋,a-b售出一份賺的錢 b-c退回一份賠的錢,當購進n份報紙時,是需求量r不超過n的概率 即賣不完的概率,是需求量r超過n的概率 即賣完的概率,所以,報童每天賺錢與賠錢之比越大時, 報童購進的份數(shù)就應該越多!,離散模型,-層次分析模型,指導老師：林道榮,制作人：裘江娜,背景,在日常生活中我們常常會碰到許多決策問題：如買一件襯衫，要 在棉的、絲的、滌綸的及花的、白的、方格的之中作出抉擇; 請朋友吃飯,要籌劃是辦家宴或去飯店,是吃中餐還是吃西餐或自助 餐;假期旅游,

10、是去風光綺麗的蘇杭,還是去迷人的北戴河海濱,或者 去山水甲天下的桂林.,如果以為這些日常小事不必作為決策問題認真對待的話，那么當你面臨報考學校、挑選專業(yè)、或者選擇工作崗位的時候，就要慎重考慮、反復比較，盡可能地作出滿意的決策了,從事各種職業(yè)的人也經常面對決策：如一個廠長要決定購買哪種 設備，上什么產品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難病 癥確定治療方案；經理要從若干應試者中選拔秘書；各地區(qū)各部 門的官員則要對人口、交通、經濟、環(huán)境等領域的發(fā)展規(guī)劃作出 抉擇。,人們在處理這些決策問題的時候，要考慮的因素有多有少， 有大有小，但是有一個共同的特點是它們通常都涉及到經濟、 社會、人文等方面的因素

11、。在作比較、判斷、評價、決策時， 這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難于量化，人的 主觀選擇會起著相當主要的作用，這就給用一般的數(shù)學方法解 決問題帶來本質上的困難。,那么，是否有方法將定性分析與定量計算結合起來，給出決策結果呢？,T.L.Saaty等人在20世紀70 年代提出了一種能有效處理這 樣一類問題的實用方法，稱為 層次分析法。,由于它在處理復雜的決策問 題上的實用性和有效性，很快就 在世界范圍內得到普遍的重視和 廣泛的應用，三十多年來它的應 用已遍及經濟計劃和管理、能源 政策和分配、行為科學、軍事指 揮、運輸、農業(yè)、教育、人才、 醫(yī)療、環(huán)境等等領域。,1、建立層次結構模型 2、構

12、造成對比較陣 3、計算權向量 4、一致性檢驗,本節(jié)課將主要介紹層次分析法的基本步驟,層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、 判斷過程大體上是一樣的。,不妨以旅游問題為例,最后，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合、在P1、P2、P3中確 定哪個作為最佳地點.,選擇旅游地,你會根據(jù)諸如景色、費 用和居住、飲食、旅途條件等一些準則去反復比較那3個候選地點,首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經 濟寬綽、醉心旅游，自然特別看重景色條件，而平素儉樸或手頭 拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食條 件等寄以較大關注.,其次，你就會每一個準則將3個地點進行對比

13、，譬如P1景色最好， P2次之；P2費用最低，P3次之；P3居住條件較好等等.,假如有P1，P2，P33個旅游勝地供你選擇，,這個思維過程可以加工整理成以下幾個步驟： 1、將決策問題分解為3個層次，,各層次的聯(lián)系用相連的直線表示,2、通過相互比較確定各準則對于目標的權重，及各方案對每一層的權重.這些權重在人的思維過程中通常是定性的,而在層次分析法中則要給出得到權重的定量方法. 3、將方案層對準則層的權重及準則層對目標層的權重進行綜合最終確定方案層對目標層的權重.,那么,我們怎樣來比較同一層各因素對上 一層各因素的影響(或在其中的重要性)呢?,目標層,準則層,方案層,假設要比較某一層n個因素C1

14、,C2,Cn 對上一層因素O的影響,如旅游決策問題 中比較景色等5個準則在選擇旅游地這個 目標中的重要性.每次取2個因素Ci和Cj, 用aij表示Ci和Cj對O的影響之比,全部比較 結果用成對比較矩陣 表示,從A式的特點看,我們也稱它為正互反矩陣,某人用C1,C2,C5依次表示景色、費用、 居住、飲食、旅途5個準則，得到：,C1 C2 C3 C4 C5,表示景色C1與費用C2對選擇旅游地這個目標O 的重要性之比為1：2,表示景色C1與居住條件C3之比為4：1,但是，為什么費用C2與居住條件C3之比是7：1，而不是8：1呢？,Saaty等人給出了在 成對比較不一致的 情況下計算各因素 C1，C2，,Cn對 因素O的權重的方法,可以看出此人在選擇 旅游地時，費用因素 最重，景色次之，居 住條件再次,首先，我們來考慮成對比較完全一致的情況： 設想把一塊單位重量的大石頭O 砸成n塊小石頭C1C2Cn 如果精確的稱出它們的重量為w1,wn,令aij=wi/wj得到:,這些比較顯然是一致的.n塊小石頭 對大石頭的權重可用向量 來表示,且,A滿足aij*ajk=aik,i,j,k=1,2,n,稱A 為一致性矩陣,簡稱一致陣 可以證明n