福建師范大學2020年秋作業(yè)《數(shù)學建?！菲谀┛荚嘇卷答案

1、數(shù)學建模期末考試A卷 姓名： 專業(yè)：學號： 學習中心：$一、判斷題（每題3分，共15分）1、 模型具有可轉移性。-（對 ）2、 一個原型，為了不同的目的可以有多種不同的模型。-（對 ）3、 一個理想的數(shù)學模型需滿足模型的適用性和模型的可靠性。-（ 對 ）4、 力學中把質(zhì)量、長度、時間的量綱作為基本量綱。-（ 對）5、 數(shù)學模型是原型的復制品。 - （ 錯 ）二、不定項選擇題（每題3分，共15分）1、下列說法正確的有 AC 。A、評價模型優(yōu)劣的唯一標準是實踐檢驗。B、模型誤差是可以避免的。C、生態(tài)模型屬于按模型的應用領域分的模型。D、白箱模型意味著人們對原型的內(nèi)在機理了解不清楚。2、建模能力包括

2、 ABCD 。 A、理解實際問題的能力 B、抽象分析問題的能力C、運用工具知識的能力 D、試驗調(diào)試的能力3、按照模型的應用領域分的模型有 AE 。A、傳染病模型 B、代數(shù)模型 C、幾何模型 D、微分模型 E、生態(tài)模型4、對黑箱系統(tǒng)一般采用的建模方法是 C 。A、機理分析法 B、幾何法 C、系統(tǒng)辯識法 D、代數(shù)法5、一個理想的數(shù)學模型需滿足 AB 。A、模型的適用性 B、模型的可靠性 C、模型的復雜性 D、模型的美觀性三、用框圖說明數(shù)學建模的過程。（10分）答：概括的說，數(shù)學模型就是一個迭代的過程，其一般建模步驟用框架圖表示如下：四、建模題（每題15分，共60分）1、四條腿長度相等的椅子放在起伏

3、不平的地面上，4條腿能否同時著地？解：4條腿能同時著地（一） 模型假設對椅子和地面都要作一些必要的假設：對于此題，如果不用任何假設很難證明，結果很可能是否定的。因此對這個問題我們假設:(1)地面為連續(xù)曲面(2)長方形桌的四條腿長度相同(3)相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的(4)方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面。（二）模型建立現(xiàn)在，我們來證明:如果上述假設條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、B、C、D的初始位置在與x軸平行，再假設有一條在x軸上的線ab,則ab也

4、與A、B，C、D平行。當方桌繞中心0旋轉時，對角線ab與x軸的夾角記為。容易看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f() 為A、B離地距離之和，g()為C、D離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設(1)，f(), g()均為0的連續(xù)函數(shù)嘆由假設(3),三條腿總能同時著地，故f() g()=0必成立( )。f(), g()均為0的連續(xù)函數(shù)。又由假設(3),三條腿總能同時著地，故f() g()=0必成立()。不妨設f()=0, g()0 (若g(0)也為0,則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉)，于是問題歸結為:已知f(0), g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)

5、=0, g(0) 0且對任意有f() g()=0,求證存在某一0。，使f() g()=0。（三）模型求解證明:當日=時，AB與CD互換位置，故f()0, g()= 0 o作h()= f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h()= f()- g() 0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，0，使得h()=0，即h()= g()。又由于f() g()=0,故必有f()= g()=0,證畢。2、建立模型說明同樣多的面粉，多包幾個餃子能多包餡，還是少包幾個餃子能多包餡？解：在餃子皮相對與餃子餡比較薄的情況下,忽略餃子皮厚度對餃子體積的影響，每個餃子能包的餡y=f(x)=kx1.5 其中x為每個餃子消耗

6、面粉量,k為常數(shù)。所以能包的餡總共有 My/x=Mkx0.5 其中M為總面粉量。顯然這個函數(shù)在0到正無窮上是增函數(shù),所以結論：餃子包越大相同面粉能包的餡越多，少包幾個餃子能多包餡。3、投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百噸需資金200萬元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)一百噸需資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元、場地900平方米，問應做怎么樣的組合投資，可使所獲利潤最多。解:設生產(chǎn)A產(chǎn)品X百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品Y百噸,則最大利潤為Z,則有模型如下：Z=300X+200Y,由題得X、Y需要滿足：200X+300Y140020

7、0X+100Y900畫圖解得X=3.25；Y=2.5時Z最大，且此時Z=300*3.25+200*2.5=1475得出，生產(chǎn)A產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品2.5百噸時獲利最大，最大利潤為1475萬元。4、在某5000個人中有10個人患有一種病，現(xiàn)要通過驗血把這10個病人查出來，若采用逐個人化驗的方法許化驗9999次，（這里所需化驗次數(shù)是指在最壞情況下化驗次數(shù)，如果碰巧，可能首先化驗的10個人全是病人，10次化驗就夠了，下面討論的化驗次數(shù)均指在最壞情況下的化驗次數(shù)）。為了減少化驗次數(shù)，人們采用分組化驗的辦法，即把幾個人的血樣混在一起，先化驗一次，若化驗合格，則這幾個人全部正常，若混合血樣不合格，

8、說明這幾個人中有病人，再對它們重新化驗（逐個化驗或再分組化驗）。試給出一種分組化驗的方法使其化驗次數(shù)盡可能地小，不超過1000次。解：解我們給出如下的方法:從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗。一般地，n個人中有k個病人，令s使2sn/k2s+1,則從n個人中任取25個人一組，當n=1000 , k=10時，25=64若這64人混合血樣合格(化驗是陰性) ,則這64個人正常，可排除，無需再化驗，再從剩下未化驗的人中任取64個人，混合血樣化驗。若這64人混合血樣不合格(化驗呈陽性)，說明這64人中有病人。把這64個人，分為兩組，每組32人。任取一組的混合血化驗，即可確定有病人的一組。(即只需化驗-次，若化驗的這組血樣成陰性，則病人在另- -組。若化驗的這組血樣成陽性，這組有病人，但此時，另-組也可能有病人)。作為最壞的可能情形，我們無法保證另-組的32人中沒有病人，故選定有病。人的一組后，把另一組人退回到未化驗的人群中去。把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16人，重復上述過程。即化驗- -次，確定有病人的一組，把另一組退回到未化驗的人群中。依次下去，直到找到一個病人為止。至此一-共化驗了7次。再從未化驗的人中任取64人