第三章 動態(tài)電路.ppt

1、第三章 動態(tài)電路,電阻電路的VAR是用代數方程描述。因此其激勵和響應是瞬時關系，即電阻電路在任一時刻其響應與同一時刻的激勵有關。（與過去的激勵無關，是無記憶的 ）。,動態(tài)電路是由至少包括一個動態(tài)元件的電路。 動態(tài)元件（電感L和電容C）電壓和電流的約束關系是微分與積分的關系，所以描述動態(tài)電路的方程是以電流或電壓為變量的微分方程。,動態(tài)電路在任意時刻的響應都和激勵的過去歷史有關，是有記憶作用的。,1.定義:一個二端元件在任一時刻t所帶電荷q(t)同其兩端電壓u(t)之間可以用 u-q 平面上一條曲線來確定，則該二端元件稱為電容元件,簡稱為電容。,一、電容,3.1 動態(tài)元件,線性非時變電容元件：在u

2、-q平面上的特性曲線是過原點的一條直線，且不隨時間變化。,其所帶電荷與兩端電壓關系是：,式中 ，稱為電容（量） 單位: 法拉 F（微法，皮法）,庫伏特性,2.符號,實際電容元件必須考慮其介質的漏電現象。因此一個實際電容的電路模型通常用一個表示漏電的電阻與理想電容器并聯組成。,實際電容的參數有兩個, 電容量 耐壓值,由于：,所以：,而：,當ic與uc非關聯時：,注：ic與uc為關聯參考方向。,3.電容的伏安關系,ic與uc關聯時：,如果僅考慮某一時刻t0以后的情況：,初始值,t0以后的值,電容電壓的性質, 連續(xù)性質電容電壓不躍變。, 記憶性質記憶電流。, 電容中電流與電壓大小無直接關系，某一時刻

3、電容中電流的大小取決于該時刻電壓的變化率。,如果電壓為直流則電流為零（等于開路）； 所以電容元件有阻直流、通交流作用。,由于iC通常都是有限值，所以uC 不能躍變。,4. 電容的特點, 瞬時功率：,ic與uc為關聯參考方向,5. 電容的功率和能量,p(t)0時,電容吸收功率,處于充電狀態(tài)：|uc(t)|,p(t)0時,電容放出功率,處于放電狀態(tài)：|uc(t)|, 能量：,當uC(-)=0時，電容的貯能為：,無源元件,解：,例：已知C=2F兩端電壓波形如下,求iC(t)=?,二、電感,線性非時變電感：在i- 平面上的特性曲線是過原點的一條直線，且不隨時間的變化。,1.定義：,單位：亨利、毫亨、微

4、亨 H、 mH 、H,L:電感（量）,一個二端元件在任一時刻，通過它的電流i與其磁鏈 可以用i- 平面上一條曲線確定，則稱其為電感元件，簡稱電感。,韋安特性,2.符號,實際電感線圈由于有線繞電阻的存在。因此用一個電阻和理想電感元件串聯的電路來等效。,實際電感線圈的參數除了電感量外還含有額定工作電流，否則電感容易燒毀。,由電磁感應定律可知：電感線圈兩端產生的自感應電壓為：（方向由右手定則確定）,關聯參考方向時,3.電感元件的伏安關系,電感電流的性質, 連續(xù)性質：電感電流不躍變。 記憶性質：記憶電壓。,電感中電壓與電流大小無直接關系，某一時刻電感中電壓取決于該時刻電流的變化率。,如果電感電流為直流

5、則電壓為零（相當于短路）；電感元件有通直流，阻交流作用。,由于uL通常都是有限值，所以iL不能躍變。,4. 電感的特點, 瞬時功率：, 貯存的能量：, 當iL(-)=0時，電感吸收的能量為：,5. 電感元件的功率和能量,iL與uL為關聯參考方向,無源元件,在動態(tài)電路中，常稱電容電壓uC(t)和電感電流iL(t) 為狀態(tài)變量反映動態(tài)電路狀態(tài)的最少數目的變量。 若選初始時刻為t0，稱uC(t0) 和iL(t0)為電路在時刻t0的初始狀態(tài)。,1、電容的串聯,2、電容的并聯,三、電容、電感的串聯和并聯,3、電感的串聯,4、電感的并聯：,電感元件VAR關系 (iL與uL為關聯參考方向)：,小結,電容元件

6、VAR關系 (ic與uc為關聯參考方向)：,電容電壓與電感電流的記憶性質和連續(xù)性質。,在動態(tài)電路中，常稱電容電壓uC(t)和電感電流iL(t) 為狀態(tài)變量反映動態(tài)電路狀態(tài)的最少數目的變量。 若選初始時刻為t0，稱uC(t0) 和iL(t0)為電路在時刻t0的初始狀態(tài)。,一、電路方程,描述動態(tài)電路電壓、電流關系的是一組微分方程，通?？梢酝ㄟ^KVL、KCL和元件的VAR來建立。,直流激勵下動態(tài)過程的產生： 換路-通過開關作用，使電路或元件參數發(fā)生突然變化。,如果電路中只有一個動態(tài)元件，則所得的是一階微分方程，相應的電路稱為一階電路（如果電路中含有n個動態(tài)元件，則稱為n階電路，其所得的方程為n階微分

7、方程）。,3.2 動態(tài)電路的方程及其解,例1 在下面RC電路，t=0 時將開關閉合,電路將進入充電過程：,t0時，由KCL得：,取時間常數：=RC ，則方程可以寫成：,+,任意只含有一個C的一階動態(tài)電路，均可以將C以外的部分通過諾頓等效，簡化成上圖形式，故此微分方程，以及=RC 具有一般性。,其中R為換路后，電路從動態(tài)元件C兩端斷開，剩余部分電路的等效電阻。,其中R為換路后，電路從動態(tài)元件L兩端斷開，剩余部分電路的等效電阻。,例2 在RL電路中，激勵為uS，開關在t=0時閉合， t0時可以按KVL列出方程：,則方程可以寫成：,取時間常數：,任意只含有一個L的一階動態(tài)電路，均可以將L以外的部分通

8、過戴維南等效，簡化成上圖形式，故此微分方程，以及=L/R 具有一般性。,建立動態(tài)電路方程的基本步驟為：,1、根據電路建立KCL、KVL方程。,2、寫出各元件VAR表達式。,3、將KCL、KVL方程整理成所需變量的微分方程。,4、求解該成微分方程。,一階線性時不變動態(tài)電路的微分方程為：,齊次解,該方程的解為：,特解,二、固有響應和強迫響應 暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應,齊次解：,待定常數,特解：,與激勵相似,t0時，有微分方程：,其中=RC,特征方程為：,特征根：,齊次解：,特解：,將特解帶入微分方程：,全解為：,續(xù)例1 如圖RC電路，t=0 時將開關閉合，直流激勵，,根據t0時的初始條件確定常數K：,u

9、C(0+)=K+RIS,K=U0-RIS,設 uC(0+) = U0，則有：,=U0,強迫響應,（穩(wěn)態(tài)響應）,（暫態(tài)響應）,固有響應,穩(wěn)態(tài),暫態(tài),全響應,得全解：,uC從U0變化到RIS的過程稱為過渡過程（暫態(tài)過程）。,假設：0U0RIS,小結,全響應=固有響應+強迫響應； 全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應；,建立動態(tài)電路方程：,1、根據電路建立KCL、KVL方程。,2、寫出個動態(tài)元件VAR表達式。,3、將KCL、KVL方程整理成微分方程。,求解微分方程(一階)。,一階動態(tài)電路微分方程中，時間常數 =RC =L/R,其中R為換路后，電路從動態(tài)元件兩端斷開，剩余部分電路的等效電阻。,按照 規(guī)律變換,解

10、：換路后，由KVL得：,例3 已知電容初始電壓uC(0)=U0，t=0時開關閉合，求當t0時uC(t)=？,代入：,Ri+uC=US,得：,取=RC，整理得：,特征方程：,特征根：,齊次解：,特解：,將特解帶入微分方程：,全解為：,代入初始條件：,uC(0)=K+US,K=U0-US,=U0,全解為：,全解:,畫出波形圖:,分析動態(tài)電路: （1）根據電路的KCL，KVL，VAR建立描述電路動態(tài)過程的線性 n 階常微分方程; （2）求微分方程時，必須由初始條件確定初始值。,3.3 電路的初始值,換路前的狀態(tài) （舊穩(wěn)態(tài)）,t0-,t0+,過渡過程,換路后新穩(wěn)態(tài),通?？稍跁r間上對動態(tài)電路響應做如下規(guī)

11、定：,t0=0,t,t0+時刻電路響應的值就叫做電路的初始值。,通常把 uC(t0+) 和 iL(t0+) 稱為獨立初始值，其余的電路變量稱為非獨立初始值。,由于：,若在t0-到 t0+的瞬間iC為有限值，則：,電容元件兩端電壓不發(fā)生躍變。,一、 獨立初始值,若在t0-到 t0+的瞬間 uL為有限值,則：,同樣：,電感元件兩端電流不發(fā)生躍變。,求解非獨立初始值（如ic.uL.uR.iR等)時，可根據換路定律畫出t0+時等效電路，然后在t0+時等效電路中求解。,二、 非獨立初始值,根據以上原則可以很方便地畫出t0+時的等效電路，其中無動態(tài)元件，即為電阻電路。,電壓源U0, uc(t0+)=uc(

12、t0-)=U0 ,電流源I0,iL(t0+)=iL(t0-)=I0 ,例：換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。 試求圖示電路中各個電壓和電流的初始值。,解：,由換路定律：,(2) 由t = 0+電路求 iC(0+)、uL (0+),uc (0+),iL (0+),由圖可列出,帶入數據：,解之得：,并可求出：,計算結果：,小結,求解初始值的一般步驟： （1）根據t0-時，電路處于穩(wěn)態(tài)的等效電路， 求出uC(t0-)和iL(t0-)； 獨立初始值： （2）根據換路定理，uC(t0+)=uC(t0-)，iL(t0+)=iL(t0-)； 非獨立初始值： （3）畫出t0+時等效電路： 電容C用uC(t0+)電壓源替代，

13、 電感L用iL(t0+)電流源替代。 （4）在t0+時刻等效電路中，求解非獨立初始值。,例 t0時，電容電壓均為零，當t=0時開關K閉合，求電容電壓的初始值uC1(0+)、 uC2(0+)。,q1 (t) =C1uC1(t) q2 (t) =C2uC2(t),t=0-時,有：q1 (0-) = q2 (0-)=0,而C1的負極和C2的正極在同一點A，故該點總電荷為：,-q1 (0-) +q2 (0-)=0,當開關閉合后，在t=0+時：,A點：,-q1 (0+) +q2 (0+)=0,-C1uC1(0+)+C2uC2(0+)=0,uC1(0+)+uC2(0+)=US,另外:在t=0+時根據KVL

14、：,計算，得：,解：,結論：,通常“強迫躍變”發(fā)生于兩種情況：,（1）如果電路中存在有全部由電容元件組成的回路或由電容元件與理想電壓源組成的回路，當發(fā)生換路時，電容電壓可能發(fā)生躍變。,（2）如果電路中存在某節(jié)點連接的全部支路都含有電感元件或理想電流源，當電路發(fā)生換路時，電感電流可能發(fā)生躍變。,在電路發(fā)生“強迫躍變”的情況下，可根據電荷守恒和磁鏈守恒的原理確定有關初始值。,零輸入響應,零狀態(tài)響應,y(t)=yx(t)+yf(t),3.4 動態(tài)電路的響應,yx(t)：沒有外加輸入時，僅靠電路中初始狀態(tài)所產生的響應。,yf(t)：初始狀態(tài)為零,僅由外加激勵產生的響應，只與輸入有關。,初始狀態(tài)：uC(

15、t0+)，iL(t0+),一、 一階 RC電路的零輸入響應,零輸入響應: 無外施激勵, 僅由儲能元件的初始儲能所產生的響應。,實質：RC電路的放電過程。,換路前電路已處穩(wěn)態(tài),電容C 經電阻R 放電,t =0時開關,1. 電容電壓 uC 的變化規(guī)律(t 0),(1) 構建方程,由KVL得：,由：,一階線性常系數 齊次微分方程,齊次微分方程的通解：,由初始值確定積分常數 A,根據換路定律，,則，,電容電壓 uC 從初始值按指數規(guī)律衰減，衰減的快慢由RC 決定。,(2) 電容電壓 uC 的變化規(guī)律,2. 電流及電阻電壓的變化規(guī)律,電阻電壓：,電流：,電容電壓：,3. 、 、 變化曲線,4. 時間常數

16、,令:,單位: S,時間常數 決定電路瞬態(tài)過程變化的快慢.,(1) 物理意義,當 時,U,越大，曲線變化越慢， 達到穩(wěn)態(tài)所需要的時間越長。,(2) 瞬態(tài)持續(xù)時間,理論上認為 、 電路達穩(wěn)態(tài),工程上認為 、 電容放電基本結束。,當 t =5 時，過渡過程基本結束，uC達到穩(wěn)態(tài)值。,隨時間而衰減,二、 RC電路的零狀態(tài)響應,零狀態(tài)響應: 儲能元件的初始能量為零， 僅由電源激勵所產生的電路的響應。,實質：RC電路的充電過程,分析：t = 0時，合上開關S。,1. uC的變化規(guī)律,(1) 構建方程,由KVL得：,由VCR得：,一階線性常系數 非齊次微分方程,微分方程的通解為:,確定積分常數A,根據換路

17、定律在 t=0+時，,則：,(3) 電容電壓 uC 的變化規(guī)律,瞬態(tài)分量,穩(wěn)態(tài)分量,電路達到 穩(wěn)定狀態(tài) 時的電壓,僅存在 于瞬態(tài) 過程中,2. 電流 iC 的變化規(guī)律,3. 時間常數 的物理意義,當 t = 時, 表示電容電壓 uC 從初始值上升到 穩(wěn)態(tài)值的 63.2% 時所需的時間。,三、 RC電路的全響應,全響應: 既有外加激勵、儲能元件又有初始儲能作用產生的響應。,根據疊加定理 全響應 = 零輸入響應 + 零狀態(tài)響應,結論1： 全響應 = 零輸入響應 + 零狀態(tài)響應,零輸入響應,零狀態(tài)響應,全響應,穩(wěn)態(tài)分量,瞬態(tài)分量,穩(wěn)態(tài)值,初始值,結論2： 全響應 = 穩(wěn)態(tài)分量 +瞬態(tài)分量,3.5 一

18、階電路的三要素法,僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路, 且由一階微分方程描述，稱為一階線性電路。,穩(wěn)態(tài)解,初始值,據經典法推導結果,全響應,一階電路的三要素法,在直流激勵的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達式：,：代表一階電路中任一電壓、電流函數,式中,利用求三要素的方法求解瞬態(tài)過程，稱為三要素法。,1、0的情況：,穩(wěn)態(tài)值,2、0的情況：,虛平衡值,此時電路是不穩(wěn)定的，不存在穩(wěn)態(tài)響應。,一階電路都可以應用三要素法求解，在求得 、 和 的基礎上,可直接寫出電路的響應。,響應中“三要素”的確定,(1) 初始值 的計算,(2) 穩(wěn)態(tài)值 的計算,(3) 時間常數 的計算,對于一階R

19、C電路,R0 : 換路后的電路，將獨立源置零后，從儲能元件兩端看進去的無源二端網絡的等效電阻（戴維南等效電阻）。,若初始時刻t=t0,則三要素公式為,例1：,電路如圖，t=0時合上開關S，合S前電路已處于 穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓 和電流 、 。,(1)確定初始值,由t=0-電路可求得,由換路定律,(2) 確定穩(wěn)態(tài)值,由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值,(3) 由換路后電路求時間常數 ,代入三要素公式：,uC 的變化曲線如圖,用三要素法求,例3 電路如圖(a), t=0時開關S閉合，已知uC(0+)= -2V.受控源的控制系數為g. (1)若g=0.5S,求uC；(2) 若g=2S,求uC.,解：,得,(1)當g=0.5S時，,得,(2)當g=2S時，,得,本節(jié)重點： 直流激勵下一階動態(tài)電路的響應：三要素公式,三要素的計算,利用三要素公式分別求解零輸入響應和零狀態(tài)響應,一、單位階躍函數,延時階躍函數,(t-t0),K(t-t0),一般的