極限的概念-函數(shù)的連續(xù)性-詳解

1、第二章.極限概念 函數(shù)的連續(xù)性對(duì)于函數(shù)的概念，我們總是能夠從日常直觀出發(fā)，就能很好地加以理解，因?yàn)楫吘挂蚬P(guān)系的觀念在我們的意識(shí)當(dāng)中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴(yán)格地理解極限的觀念，就不是那么自然的了。對(duì)于極限的觀念，最為關(guān)鍵的問題是，如何定量地加以描述，并把這種描述作為一般的判別標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)問題實(shí)際上困擾了人們幾百年，一直到19世紀(jì)才加以解決的。數(shù)列的極限描述（數(shù)列存在極限判別定理，定義法、柯西法、子數(shù)列法、夾逼法、單調(diào)有界法）設(shè)存在一個(gè)數(shù)列，也就是一個(gè)數(shù)值的集合，這個(gè)集合的元素可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)出來，同時(shí)每一個(gè)元素都可以加上唯一的標(biāo)志，而自然數(shù)是最為適宜作這件工作的。比如說，把一個(gè)數(shù)列寫成這樣

2、的樣子：，或者簡(jiǎn)單地記成。觀察這個(gè)數(shù)列取值變化， 有的數(shù)列變化具有下面的變化規(guī)律：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)存在一個(gè)確定的常數(shù)a，現(xiàn)在我們考慮變量（顯然這是一個(gè)反映數(shù)列數(shù)值變化的，隨著n而發(fā)生變化的變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€(gè)數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中找到一個(gè)元素，使得在這個(gè)元素后面的所有的數(shù)列元素，都使得相應(yīng)的變量的值小于，換一句話來說，對(duì)于任意的，總是存在一個(gè)N，當(dāng)nN時(shí)，總是有成立這時(shí)我們就把a(bǔ)稱為數(shù)列的極限。并且稱數(shù)列收斂于極限a。我們使用記號(hào)來表示該數(shù)列極限。否則我們就說數(shù)列是發(fā)散的。這就是一個(gè)數(shù)列收斂于一個(gè)極限或者說存在一個(gè)極限的定義。在這個(gè)定義里面，最為

3、關(guān)鍵的地方，也是初學(xué)者最為困難的地方有兩個(gè)：1。數(shù)值是任意的。就是說只要存在一個(gè)的數(shù)值不滿足定義的條件，就不能說數(shù)列收斂于極限a。這里初學(xué)者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對(duì)所有可能的都進(jìn)行檢驗(yàn)，才能得到最后的判斷呢？不是的,在實(shí)際問題中，由于我們的目的是希望知道變量是否越來越小，一般只要取大于0，并且足夠?。ㄎ覀?cè)谟嘘P(guān)極限的定義當(dāng)中，總是先假設(shè)了這點(diǎn)，），當(dāng)然這樣不能減少我們對(duì)的任意取值進(jìn)行驗(yàn)證的任務(wù)，但是我們所處理的數(shù)列，總是按照某種特定的規(guī)律來變化，一般從這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律本身就可以找到由決定的N的值，使得小于，或者是找到反例。從而實(shí)現(xiàn)對(duì)所有可能的們進(jìn)行判斷.不過，我們的課程在這個(gè)

4、方面的要求并不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡(jiǎn)單的例子，而我們的精力應(yīng)該集中在對(duì)于極限思想的理解。 2. 滿足條件的n必須取遍所有大于N的自然數(shù)。初學(xué)者往往會(huì)覺得這是不可能的，實(shí)際上，我們并不需要對(duì)所有大于N的n值進(jìn)行檢驗(yàn)，同樣由于數(shù)列的變化是具有規(guī)律的，從數(shù)列本身的規(guī)律，我們一般總是能夠通過有限的步驟，來得到所需要的判斷。那么數(shù)列的規(guī)律是什么呢？一般說來，一個(gè)數(shù)列的元素總是一個(gè)由變量n決定的函數(shù)，這里變量n取遍自然數(shù)，就生成了數(shù)列的全部項(xiàng)。這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式稱為通項(xiàng)的通項(xiàng)公式。不過通項(xiàng)公式有時(shí)候并非完全只是n的函數(shù)，有時(shí)由變量n和第n項(xiàng)之前的項(xiàng)所決定，這時(shí)，通項(xiàng)公式表現(xiàn)為一個(gè)遞推公式，

5、這種情況的處理比較復(fù)雜，我們不過多的涉及。利用極限的定義和應(yīng)用不等式（絕對(duì)值不等式.）對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)是否存在極限，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過是證明這個(gè)數(shù)列的極限是否是這個(gè)給出的極限值。 答疑解難。1數(shù)列的極限的定義當(dāng)中，與N的取值是一一對(duì)應(yīng)的嗎？答：不是。初學(xué)者對(duì)于極限的定義的敘述往往理解不夠深入，并且常常產(chǎn)生歧義，這個(gè)問題就是最為典型的。盡管在根據(jù)定義進(jìn)行具體的極限分析時(shí)，常常是由推出N的表達(dá)式，但這并不是意味著這兩個(gè)變量之間具有一定的函數(shù)關(guān)系，這兩個(gè)變量之間確實(shí)是具有一定的關(guān)系，但決不是函數(shù)的關(guān)系，而是一種兩個(gè)區(qū)間的相互影響與決定的關(guān)系，實(shí)際上，我們給出一個(gè)

6、的意思，實(shí)際上是給出了一個(gè)區(qū)間，同樣由此而得到的N，也是一個(gè)區(qū)間的概念，而不是兩個(gè)數(shù)值變量的關(guān)系，因此N的求法是很多形式的，實(shí)際問題當(dāng)中，我們只是選擇了最為方便的形式而已。那么在不知道預(yù)先極限值時(shí)，有沒有方法驗(yàn)證數(shù)列是否有極限，這就是相當(dāng)重要的柯西收斂原理：我們說數(shù)列收斂，它的充要條件是：對(duì)于任意的0，總是存在正整數(shù)N，使得對(duì)于任意的自然數(shù)p和n0，有 成立?？梢钥吹?，在這里對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)與極限的定義當(dāng)中對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)是存在一點(diǎn)差異的，就是在這里對(duì)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，我們并不需要知道這個(gè)數(shù)列的極限a究竟是多少，而通過檢驗(yàn)，我們也只是知道這個(gè)極限是否存在極限，但求不出極限是多少。而在極限的定義

7、當(dāng)中，要對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過是證明這個(gè)數(shù)列的極限是否是這個(gè)給出的極限值?？挛髟硎歉鼮榉奖愕尿?yàn)證是否有極限方法其他判別極限存在定理（1）數(shù)列以a為極限的另一個(gè)說法，或者說一個(gè)充要條件是：對(duì)于數(shù)列的任意一個(gè)子數(shù)列都以a為極限。我們只要能夠在一個(gè)數(shù)列里，構(gòu)造出一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，或者是構(gòu)造出兩個(gè)具有不同收斂極限的子數(shù)列，就可以說明這個(gè)數(shù)列是發(fā)散的。（2）如果數(shù)列的子數(shù)列和都收斂于同一個(gè)極限，那么數(shù)列也收斂于這個(gè)極限。顯然這個(gè)定理比性質(zhì)（1）所需要的條件更弱，但結(jié)論是一樣的，這是因?yàn)槲覀冞x取了特定的子數(shù)列。（3）如果兩個(gè)不同數(shù)列具有相同的極限：，而

8、另外一個(gè)數(shù)列滿足條件：存在一個(gè)確定的自然數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，總是有成立，那么數(shù)列收斂，并且極限為c。這個(gè)性質(zhì)被稱為夾逼定理，常常用來求某個(gè)合適的數(shù)列的極限，前提是已知另外兩個(gè)數(shù)列的極限，并且這三個(gè)數(shù)列具有定理所要求的關(guān)系。（4）如果我們把數(shù)列看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，那么就可以相應(yīng)地定義這個(gè)函數(shù)的有界性和單調(diào)性，這兩個(gè)概念是相當(dāng)直觀的，并且顯然可以知道一個(gè)收斂數(shù)列必然是有界的，因?yàn)榘凑諛O限(收斂)的定義，滿足 的項(xiàng)總是有限的，因此總能夠得到一個(gè)確定的函數(shù)的界。反過來，則還必須加上一個(gè)條件(單調(diào))：?jiǎn)握{(diào)而且有界的數(shù)列必定存在極限。這是一個(gè)相當(dāng)重要的極限存在定理，因?yàn)橥卸ㄒ粋€(gè)數(shù)列的單調(diào)性和有界

9、性是比較容易的。數(shù)列存在極限判別方法中，定義法、子數(shù)列法、夾逼法、需要知曉極限然后去驗(yàn)證。單調(diào)有界法、柯西法不需要知曉極限就可以驗(yàn)證極限四則運(yùn)算的理解 如果一個(gè)數(shù)列是由兩個(gè)收斂數(shù)列通過四則運(yùn)算得到的，那么這個(gè)數(shù)列的收斂性質(zhì)就由這兩個(gè)數(shù)列決定，這就是數(shù)列極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：a如果數(shù)列an極限存在（收斂），那么其中k為實(shí)數(shù)；b如果數(shù)列an、bn極限存在（收斂），那么；而數(shù)列的減法則沒有一般的運(yùn)算規(guī)則c如果數(shù)列an、bn極限存在（收斂），那么；d如果數(shù)列an、bn極限存在（收斂），其中，那么，。函數(shù)的極限數(shù)列可以看成是對(duì)于一種最為簡(jiǎn)單的函數(shù)，唯一的差別，就是函數(shù)自變量以及函數(shù)值往往是連續(xù)的，而數(shù)列的

10、變量和數(shù)列的值是離散的。數(shù)列的這種離散取值形式對(duì)于數(shù)列的極限是無關(guān)緊要的。所以我們可以仿照數(shù)列的極限的定義，說明一個(gè)連續(xù)取值函數(shù)的極限的定義。一個(gè)函數(shù)變化過程當(dāng)中極限有兩種？一種類似于數(shù)列的極限過程，函數(shù)自變量趨近任意大時(shí)的函數(shù)值極限過程，另一種是自變量趨近某一個(gè)特定值時(shí)函數(shù)值極限過程。為了說明自變量與某個(gè)特定值的距離任意小這種變化的特定形式，我們定義一個(gè)概念，就是鄰域的概念：對(duì)于確定的一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們定義它的一個(gè)鄰域，是一個(gè)開區(qū)間這個(gè)開區(qū)間的特別之處在于可以看成是一個(gè)變量，并且一般是可以取任意小的變量，所以這個(gè)開區(qū)間的大小是可以任意地小。鄰域這個(gè)概念在下面函數(shù)的極限定義當(dāng)中具有關(guān)鍵的作用，希

11、望同學(xué)們認(rèn)真加以體會(huì)。首先假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，而在點(diǎn)不一定有定義。如果存在一個(gè)確定的點(diǎn)A，而我們?nèi)绻↑c(diǎn)A的任意一個(gè)鄰域，都可以找到相應(yīng)的點(diǎn)的鄰域只要自變量x屬于鄰域里，對(duì)于函數(shù)y=f（x）來說，就有因變量y屬于鄰域，這樣我們就可以說當(dāng)函數(shù)自變量x趨向于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)以A為極限，記成 。我們也可以不使用鄰域是概念，直接使用實(shí)數(shù)之間距離的概念，類似于數(shù)列極限的形式來說明函數(shù)的極限：對(duì)于函數(shù)y=f（x），假設(shè)存在兩個(gè)確定的常數(shù)和A，現(xiàn)在我們分別考慮變量（這個(gè)變量反映了函數(shù)自變量和一個(gè)確定的點(diǎn)之間的距離）和（顯然這是一個(gè)反映函數(shù)數(shù)值變化的，隨著x而發(fā)生變化的距離變量。），如果我們?nèi)我庹业?/p>

12、一個(gè)數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠找到一個(gè)相應(yīng)的數(shù)，當(dāng)變量滿足時(shí)，使得相應(yīng)的變量的數(shù)值小于，換一句話來說，就是對(duì)于任意的，總是存在一個(gè)，當(dāng) 時(shí)，總是有成立，這時(shí)我們就把A稱為函數(shù)f（x）在x趨向于x0時(shí)的極限。我們使用記號(hào)來表示這點(diǎn)極限。否則我們就說函數(shù)f（x）在x趨向于x0時(shí)是發(fā)散的。由于函數(shù)變化的連續(xù)性，使得函數(shù)的極限的概念比數(shù)列的極限的概念要顯得復(fù)雜，因此我們還可以通過圖形的方式來加強(qiáng)理解。如下圖所示，我們可以分別觀察在X軸和Y軸上的取值情況。可以看到，在x的取值向x0接近的過程中，函數(shù)y=f（x）表現(xiàn)出了這么一種現(xiàn)象，就是在Y軸上存在一點(diǎn)A，無論我們?nèi)《嗝葱〉腁的一個(gè)

13、鄰域，我們都總能至少找到x0的一個(gè)鄰域，使得在這個(gè)鄰域內(nèi)的所有函數(shù)值都處于我們?nèi)《说腁的那個(gè)鄰域內(nèi)，這就說明了函數(shù)在x趨向x0時(shí)，存在一個(gè)極限A。假如在x0的這個(gè)鄰域內(nèi)存在一點(diǎn)，使得函數(shù)值超出了A的那個(gè)鄰域，比如函數(shù)的圖形如圖中虛線所示，突出一個(gè)峰B點(diǎn)，那么我們還可以在繼續(xù)向x0接近的過程中，找到更小的鄰域使函數(shù)值在A鄰域內(nèi)。另外在圖中，我們也可以看到，極限的存在并不要求函數(shù)在x0是有定義的，只要函數(shù)能夠無限地接近這點(diǎn)就可以了。從圖形當(dāng)中我們可以體會(huì)到，函數(shù)在某點(diǎn)存在極限，反映的是函數(shù)在這點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，函數(shù)在這點(diǎn)是否具有這個(gè)極限性質(zhì)，是分析函數(shù)在這點(diǎn)的行為的一個(gè)強(qiáng)大工具。后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，

14、我們能夠進(jìn)一步體會(huì)到，判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否具有極限，是表示函數(shù)在這點(diǎn)行為的重要特征。函數(shù)的單側(cè)極限，左右極限，函數(shù)的分段點(diǎn)處的極限。在前面的圖形說明當(dāng)中，我們可以看到，函數(shù)自變量的取值趨向某個(gè)特定的點(diǎn)，還可以取特定的方向，比方說只從左邊或者只從右邊接近特定的點(diǎn)，這就自然地得到了單側(cè)極限的概念。根據(jù)自變量趨向某點(diǎn)的方向的左右，可以把單側(cè)極限分成兩種，即左極限與右極限。顧名思義，左極限就是在X軸上，自變量總是從左邊趨向特定的點(diǎn)，右極限就是在X軸上，自變量總是從右邊趨向特定的點(diǎn)，引入這個(gè)概念，首先在理論上具有重要的作用，這體現(xiàn)在如下的定理當(dāng)中：一個(gè)函數(shù)在自變量趨向某點(diǎn)時(shí)具有極限A，這件事的另一個(gè)

15、說法，或者說它的一個(gè)充要條件就是函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在，并且都是A。這個(gè)定理可以應(yīng)用于對(duì)很多函數(shù)在特定點(diǎn)的極限性質(zhì)的判斷，當(dāng)然一般是應(yīng)用于否定性的判斷，即通過計(jì)算出函數(shù)在這個(gè)特定點(diǎn)的左右極限，由于它們不相等，從而得到函數(shù)在這點(diǎn)不存在極限的結(jié)論。這個(gè)定理還具有另外一個(gè)方面的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，就是用于分析分段函數(shù)。我們知道分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì)是分段函數(shù)最為關(guān)鍵的地方，而對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限性質(zhì)，就只有通過分別地考慮函數(shù)在分段點(diǎn)處的左右極限來得到。1函數(shù)的極限的定義當(dāng)中，與是取值是一一對(duì)應(yīng)的嗎？答：不對(duì)。這里的原因與數(shù)列的情形是類似的。這兩個(gè)變量同樣是意味著兩個(gè)區(qū)域，而并不是兩個(gè)數(shù)值變量

16、的關(guān)系。因此在作具體問題時(shí)，可以靈活地選擇最為方便的途徑來求出它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2函數(shù)的極限的定義當(dāng)中，不等式里面大于0是必要的嗎？答：是。初學(xué)者往往忽略了這點(diǎn)，因?yàn)樵跀?shù)列的極限的定義當(dāng)中不存在這個(gè)問題。這里的意思其實(shí)就是取x0的去心鄰域。因?yàn)楹瘮?shù)可以對(duì)某點(diǎn)取極限，而同時(shí)函數(shù)不一定需要在該點(diǎn)有定義，這種情況在實(shí)際問題當(dāng)中是有必要考慮的，因此為了照顧到這種情況，就在定義當(dāng)中加入了這點(diǎn)要求，而同時(shí)不會(huì)損害極限的定義本身。3求極限的主要方法有哪些？答：在求極限之前，要注意觀察，通過觀察來判斷需要應(yīng)用什么樣的途徑與方法，而不是盲目嘗試，一般的方法有如下的幾種，其中有些方法是基于后面的知識(shí)，我們也列出，以

17、供參考：（1） 對(duì)于函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的極限，直接代入即可；（2） 運(yùn)用消去零因子的方法；（3） 通過一定的變形，利用兩個(gè)重要的極限；（4） 在某些特殊情況下，需要通過左右極限來判斷函數(shù)在某點(diǎn)的極限；（5） 運(yùn)用等價(jià)無窮小或者無窮大的性質(zhì)；（6） 運(yùn)用單調(diào)有界性質(zhì)；（7） 運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則；（8） 通過變量代換；（9） 對(duì)于未定式，必要的話可以考慮運(yùn)用羅必塔法則；（10） 對(duì)于數(shù)列，可以先嘗試計(jì)算出有限和，再取其極限；（11） 運(yùn)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件；（12） 通過運(yùn)用定積分的定義來得到；（13） 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義；（14） 運(yùn)用微分中值定理。無窮小量，無窮大量，無窮小量的階。在微積分的歷史上，一種具有重

18、要意義的極限過程，即無窮小量充當(dāng)了很關(guān)鍵的角色。而在理論的角度來看，這種極限過程也是非常有用的。所謂無窮小量就是這樣一種函數(shù)的極限過程，即當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個(gè)特定的值時(shí)，函數(shù)值本身趨向于0，直觀地說，也就是函數(shù)值要多小就有多小。更清楚地說明這點(diǎn)，就是：對(duì)于任意的，總是存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時(shí)，就是無窮小量。正如一個(gè)函數(shù)的極限和這個(gè)函數(shù)在這點(diǎn)的取值不能混為一談一樣，無窮小量和0不能混為一談。無窮小量是一種極限過程，可以理解為是“運(yùn)動(dòng)物體”，而任何一個(gè)確定的數(shù)值，總是一個(gè)“靜止物體”。一個(gè)無窮小量可以無限地接近而總是不能取值為0，因?yàn)闃O限過程畢竟表達(dá)的是一個(gè)

19、函數(shù)值的變化過程。把無窮小量看成是以0為極限值的函數(shù)，則同樣可以對(duì)它進(jìn)行四則運(yùn)算，我們可以得到如下定理：（1） 有限個(gè)無窮小量的和仍然是無窮小量。（2） 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。（3） 常數(shù)和無窮小量的乘積是無窮小量。（4） 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。既然以0為極限的函數(shù)具有特定的研究?jī)r(jià)值，那么反過來，比方說無窮小量的倒數(shù)，是趨向于無窮大的，也是具有一點(diǎn)價(jià)值的研究對(duì)象。這就是所謂無窮大量。類似地，我們可以定義無窮大量為當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個(gè)特定的值時(shí)，函數(shù)值本身趨向于無窮大，直觀地說，也就是函數(shù)值要多大就有多大。我們更清楚地說明這點(diǎn)，就是：對(duì)于任意的，總是存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，

20、總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時(shí)，就是無窮大量。無窮小量最為重要的研究?jī)r(jià)值，體現(xiàn)在我們可以對(duì)它的趨向于0的“速度”進(jìn)行比較。這種比較的結(jié)果，就得到了階的概念。設(shè)在同一個(gè)極限過程當(dāng)中，和都是無窮小量，如果（1），那么關(guān)于就是高階無窮小量，反過來關(guān)于就是低階無窮小量。寫成。（2），那么和就是等階無窮小量，寫成。并且稱和互為主要部分。如果，則有和。反過來也成立。這個(gè)定理則是進(jìn)行近似計(jì)算的基本定理，即用主要部分代替一個(gè)變量，誤差為一個(gè)高階無窮小。（3），那么和就是同階無窮小量，寫成a。 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 無窮小量無窮大量之間的關(guān)系求極限首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這

21、一方法在求極限時(shí)常常用到;再者利用等價(jià)無窮量。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無窮小量可以用它的等價(jià)無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。例1：求的值解：因?yàn)槭菬o窮小量，而是有界變量，所以 還是無窮小量，即 利用等價(jià)無窮小量代換來求極限所謂等價(jià)無窮小量即稱與是時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有1.若則2.若則證明： 可類似證明，在此就不在詳細(xì)證明了！ 由該定理就可利用等價(jià)無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例1：求的極限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。另注

22、：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別注意無窮小等價(jià)替換,無窮小等價(jià)替換可以很好的簡(jiǎn)化解題。函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則。在研究數(shù)列的極限時(shí)，我們已經(jīng)討論了數(shù)列極限的四則運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)的極限，具有同樣的性質(zhì)，因?yàn)檫@種運(yùn)算性質(zhì)只涉及到極限過程本身，與是數(shù)列還是函數(shù)無關(guān)。我們列出如下：首先假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）都在自變量x趨向于x0時(shí)存在有限的極限，那么就有下面的運(yùn)算規(guī)則，（我們簡(jiǎn)寫了極限符號(hào)，都是表示）：a如果

23、f（x）極限存在，那么其中k為實(shí)數(shù)；b如果f（x）、g（x）極限存在，那么；c如果f（x）、g（x）極限存在，那么；d如果f（x）、g（x）極限存在，其中那么，。注意這里函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則里面包括了減法，而數(shù)列的減法則沒有一般的運(yùn)算規(guī)則。函數(shù)除了通過四則運(yùn)算進(jìn)行構(gòu)造以外，另一個(gè)重要的函數(shù)構(gòu)造途徑就是函數(shù)的復(fù)合，那么復(fù)合函數(shù)的極限與其組成函數(shù)的極限有什么關(guān)系呢？（1）設(shè)，；（2）設(shè)存在x0的一個(gè)去心鄰域。對(duì)于在這個(gè)鄰域內(nèi)的所有x都有，也就是說，在x趨向于x0的過程當(dāng)中，g（x）不會(huì)取值u0；在這兩個(gè)條件下，我們有這個(gè)法則對(duì)于我們求函數(shù)的極限是非常有用的，因?yàn)槌３Ｐ枰M(jìn)行變量代換，使得復(fù)雜函數(shù)變換為比

24、較簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而得到所需要的極限。函數(shù)極限存在的判別定理類似于數(shù)列極限的夾逼定理，同樣存在函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)兩個(gè)函數(shù)g（x）和h（x）在時(shí)，存在同一個(gè)極限A，而在x0的去心鄰域里，存在另一個(gè)函數(shù)f（x）滿足以下條件：，那么在時(shí)，f（x）也存在極限A。在有關(guān)函數(shù)極限的問題當(dāng)中，記住重要的一點(diǎn)，就是函數(shù)的自變量只需要考慮在它所趨向的點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的有定義即可。這個(gè)定理在某些條件下，可以應(yīng)用于求函數(shù)在某點(diǎn)的極限，即如果已知g（x）和h（x）具有簡(jiǎn)單極限性質(zhì)，和要考慮的函數(shù)f（x）具有上面不等式所要求的性質(zhì)，則可以直接得到f（x）函數(shù)的極限性質(zhì)。利用這個(gè)定理，可以得到重要的兩種形式的函數(shù)的極限。

25、兩個(gè)重要極限。對(duì)于這兩個(gè)極限，重要的是抓住它們的結(jié)構(gòu)特征：（1）。這個(gè)極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：，也就是說，括號(hào)里的部分是無窮小量。這個(gè)極限可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。（2）這個(gè)極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：也就是說，括號(hào)里的部分是無窮大量。這個(gè)極限同樣可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。我們?cè)诤竺娴木毩?xí)當(dāng)中，會(huì)遇到很多的例子。函數(shù)的連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)性。我們已經(jīng)提到過實(shí)數(shù)的連續(xù)性，不過實(shí)數(shù)的連續(xù)性是比較困難的概念，我們不要求掌握，至于函數(shù)的連續(xù)性，則是另外一個(gè)概念，利用極限作為工具，可以說明函數(shù)的連續(xù)。我們說函數(shù)在某點(diǎn)是連續(xù)的，意思是說（1） 函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義；（2） 函數(shù)在這點(diǎn)存在極限；（3

26、） 函數(shù)在這點(diǎn)的極限等于函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值。精確地說，就是：我們說函數(shù)在某點(diǎn)處是連續(xù)的，意思是說（1） 函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義；（2） 對(duì)于任意給定的，總是存在某個(gè)，使得只要，就可以得到相應(yīng)的，注意與極限定義相比，這里沒有要求大于0，而是存在等于0的情況。我們可以看到極限與連續(xù)存在緊密聯(lián)系，比照單側(cè)極限的可以用單側(cè)極限來定義單側(cè)連續(xù)。函數(shù)在某點(diǎn)存在左極限，并且左極限值等于函數(shù)在這點(diǎn)的因變量值，這稱函數(shù)在這點(diǎn)左連續(xù)；函數(shù)在某點(diǎn)存在右極限，并且右極限值等于函數(shù)在這點(diǎn)的因變量值，這稱函數(shù)在這點(diǎn)右連續(xù)。顯然函數(shù)在這點(diǎn)連續(xù)的一個(gè)充要條件就是函數(shù)在這點(diǎn)同時(shí)左連續(xù)與右連續(xù)，左右極限值都同時(shí)等于函數(shù)在這

27、點(diǎn)的因變量值。同樣這種單側(cè)連續(xù)概念可以應(yīng)用于研究分段函數(shù)。最后，我們可以看到，函數(shù)極限性質(zhì)是函數(shù)一種局部性質(zhì)，函數(shù)連續(xù)性同樣是函數(shù)在一點(diǎn)的局部性質(zhì)，都要求函數(shù)在這點(diǎn)的某個(gè)鄰域有定義。鄰域概念本身就是一個(gè)表達(dá)一點(diǎn)的局部范圍的概念。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它在定義域的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在它的定義域上都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。（連續(xù)性運(yùn)算）非常類似于極限的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于連續(xù)性，由于它的極限本質(zhì)，同樣存在相應(yīng)的四則運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合性質(zhì)：1設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在x0處連續(xù)，則函數(shù)（1），其中a，b為任意常數(shù)；（2）；（3），其中g(shù)（x）不能等于0。都在x0處連續(xù)。2設(shè)函數(shù)u=

28、g（x）在x0處連續(xù)，函數(shù)y=f（u）在u0處連續(xù)，g（x0）= u0，那么函數(shù)y=fg（x）在x0處連續(xù)。有了這兩個(gè)基本定理，我們從基本初等函數(shù)的連續(xù)性開始，可以一步一步地得到初等函數(shù)的連續(xù)性，即任意初等函數(shù)在其定義域上的每一點(diǎn)處都是連續(xù)的。這個(gè)結(jié)論具有極其重要的價(jià)值。后面我們可以看到，初等函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)使得我們對(duì)它們的處理大大簡(jiǎn)化了。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，中值，最值。所謂區(qū)間的連續(xù)性，直觀地看，就是實(shí)數(shù)軸X上面的一個(gè)線段區(qū)間，而函數(shù)的連續(xù)性，就是把X軸上面的一個(gè)連續(xù)線段區(qū)間，變換為Y軸上面的一個(gè)連續(xù)線段區(qū)間。對(duì)于所謂實(shí)數(shù)區(qū)間的連續(xù)性，我們只能從直觀的角度來把握，而不能作更進(jìn)一步的理論探討，因?yàn)檫@超出了本課程的范圍。對(duì)于連續(xù)函數(shù)來說，實(shí)數(shù)軸上面的閉區(qū)間具有非常重要的意義，首先我們給出一個(gè)基本定理：定義在有限閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)的值域也是有限閉區(qū)間。定義域是閉區(qū)間函數(shù)的值域也是閉區(qū)間從這個(gè)基本定理出發(fā)，我們可以從下面的幾個(gè)定理體會(huì)到閉區(qū)間對(duì)于連續(xù)函數(shù)的意義之所在：（1） 定義在一個(gè)閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)，必定存在函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上面的最大值與最小值。這就是所謂最值定理。（2） 定義在