泰勒公式例題

1、泰勒公式及其應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用及推廣泰勒公式及其應(yīng)用 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿.作者通過(guò)閱讀大量的參考文獻(xiàn),從中搜集了大量的習(xí)題,通過(guò)認(rèn)真演算,其中少數(shù)難度較大的題目之證明來(lái)自相應(yīng)的參考文獻(xiàn),并對(duì)這些應(yīng)用方法做了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).由于本文的主要內(nèi)容是介紹應(yīng)用,所以,本文會(huì)以大量的例題進(jìn)行講解說(shuō)明. 預(yù)備知識(shí)定義2.1 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）這里為佩亞諾型余項(xiàng),稱(1)f在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林

2、公式.定義2.2 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, （2）這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見(jiàn)函數(shù)的展開式：.定理2.1(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.3 泰勒公式的應(yīng)用3.1 利用泰勒公式求極限為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開式來(lái)代替該項(xiàng),使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)捷地求出.例3.1 求極限.分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和分別用泰勒展開式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解

3、 由,得,于是.例3.2極限 . 分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和sinx, 分別用泰勒展開式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解： 由, 于是例3.3利用泰勒展開式再求極限。解：，【注解】現(xiàn)在，我們可以徹底地說(shuō)清楚下述解法的錯(cuò)誤之處因?yàn)?，從而?dāng)時(shí)，應(yīng)為3.2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡(jiǎn)捷.例3.2 當(dāng)時(shí),證明.證明 取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時(shí),.3.3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化

4、成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.3.3 利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性例3 由于收斂，所以例3.3 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無(wú)法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.解 因?yàn)?所以,所以故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正向級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性例3.4 設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo),且,對(duì), 證明： 在內(nèi)存在唯一實(shí)根.分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將f(x)在a點(diǎn)

5、展開一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用戒指定理證明.證明 因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此xa時(shí),故f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在a點(diǎn)展開一階泰勒公式有由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值例3.5 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則在取得極小值.證明 由條件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有,即在取得極大值.同樣對(duì),可得

6、在取得極小值.3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,通過(guò)加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.例3.6 求的冪級(jí)數(shù)展開式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例3.7 計(jì)算Ln1.2的值,使誤差不超過(guò)0.0001解 先寫出f(x)=Ln(1+x)帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林展開式：,其中（在0與x之間）.令,要使則取即可.因此當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問(wèn)題的最好方法

7、.例3.8 求的近似值,精確到.解 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初級(jí)函數(shù)表達(dá)）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開式中以代替 x得逐項(xiàng)積分,得上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),由其余項(xiàng)的估計(jì)式知3.8 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果f(x)泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例3.9 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù).解 設(shè)x=u+1,則,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒展開式中含的項(xiàng)應(yīng)為,從g(u)的展開式知的項(xiàng)為,因此,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f(x

8、),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n階行列式 D= （1）解 記,按泰勒公式在z處展開：, （2）易知 （3）由（3）得,.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.4 總結(jié)本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個(gè)應(yīng)用,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí).,只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧. 無(wú)窮小 極限的簡(jiǎn)單計(jì)算【教學(xué)目的】1、理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念； 2、掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較 會(huì)用等價(jià)

9、無(wú)窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、無(wú)窮小與無(wú)窮大；2、無(wú)窮小的比較； 3、幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小 等價(jià)無(wú)窮小替換； 4、求極限的方法。【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)是掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較 用等價(jià)無(wú)窮小求極限。難點(diǎn)是未定式的極限的求法?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】首先介紹無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生重點(diǎn)掌握用等價(jià)無(wú)窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）?！臼谡n內(nèi)容】一、無(wú)窮小與無(wú)窮大1.定義前面我們研究了數(shù)列的極限、（、）函數(shù)的極限、（、）函數(shù)的極限這七種趨近方式。下面我們用表示

10、上述七種的某一種趨近方式，即定義：當(dāng)在給定的下，以零為極限，則稱是下的無(wú)窮小，即。例如, 【注意】不能把無(wú)窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無(wú)窮小。定義： 當(dāng)在給定的下，無(wú)限增大，則稱是下的無(wú)窮大，即。顯然，時(shí)，都是無(wú)窮大量，【注意】不能把無(wú)窮大與很大的數(shù)混淆；無(wú)窮大是極限不存在的情形之一。無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)的，在不同的極限形式下，同一個(gè)函數(shù)可能是無(wú)窮小也可能是無(wú)窮大，如 ， ，所以當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小，當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮大。2無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。环粗?，如果為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大。小結(jié)：無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的概念是反映

11、變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無(wú)窮大量，任何非零常量都不是無(wú)窮小，談及無(wú)窮大量、無(wú)窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢(shì)。3.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1 其中是自變量在同一變化過(guò)程（或）中的無(wú)窮小.證：（必要性）設(shè)令則有（充分性）設(shè)其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，則 【意義】（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);（2）3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理2 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.【注意】無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. 定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.如：，推論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限

12、個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的比較例如，觀察各極限：不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1定義: 設(shè)是自變量在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且 例1 證：例2 解2常用等價(jià)無(wú)窮小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如3等價(jià)無(wú)窮小替換定理：證：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原極限= 8（2）原極限=例4 錯(cuò)解: =0正解: 故原極限【注意】和、差形式一般不能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換，只有因子乘積形式才可以進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換。例5 解: 原式三、極限的簡(jiǎn)單計(jì)算1. 代入法：直接將的代入所求

13、極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，例如；若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來(lái)求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無(wú)窮大為無(wú)窮小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無(wú)窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用無(wú)窮小量性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限例如，（無(wú)窮小量乘以有界量）。又如，解：商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得再如，等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限的例子見(jiàn)本節(jié)例3例5。6. 利用兩個(gè)重要極限求極限（例題參

14、見(jiàn)1.4例3例5）7. 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限例如，解: 左右極限存在且相等, 【啟發(fā)與討論】思考題1：解： 無(wú)界， 不是無(wú)窮大結(jié)論：無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.思考題2：若，且，問(wèn)：能否保證有的結(jié)論？試舉例說(shuō)明.解：不能保證. 例 思考題3：任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？解：不能例如當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大，故當(dāng)時(shí)和不能比較.【課堂練習(xí)】求下列函數(shù)的極限（1）；解：原極限=（2）求【分析】 “”型，拆項(xiàng)。解：原極限=（3） ； 【分析】“抓大頭法”，用于型解：原極限=，或原極限（4）；【分析】分子有理化解：原極限=（5）【分析】型，是不定型，四則運(yùn)算法

15、則無(wú)法應(yīng)用，需先通分，后計(jì)算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四則運(yùn)算法則失效，使用分母有理化消零因子。 解：原極限=6（7）解: 先變形再求極限.【內(nèi)容小結(jié)】一、無(wú)窮小（大）的概念無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.1、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:(1) 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2） 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.二、無(wú)窮小的比較:1.反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較。高(低)階無(wú)窮小; 等價(jià)無(wú)窮小; 無(wú)窮小的階。2.等價(jià)

16、無(wú)窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.三、極限求法（不同類型的未定式的不同解法）;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用及推廣前言 設(shè)f在某內(nèi)有定義，若 則稱f為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量設(shè)當(dāng)時(shí)，f于g均為無(wú)窮小量若 則稱f于g是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量。記作一 、等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 1求函數(shù)的極限技巧很強(qiáng)，可利用無(wú)窮小等價(jià)的關(guān)系，簡(jiǎn)化了求某些 型的極限的計(jì)算引理 設(shè)函數(shù)（x），（x）滿足下列條件：在a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)均有非零導(dǎo)數(shù)（1） Limf（

17、x）=0，；（2） 則，（3）當(dāng)f（x），0時(shí), =1證明 由洛比塔法則;=,證畢定理1 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)及,滿足下列條件:（1）在a的某去心鄰域內(nèi)均有導(dǎo)數(shù) （2）在xa時(shí),均為無(wú)窮小量,于是;(1) 若(2) 若f(x), 0，且,則證明 由引理(1) 故(2) 故如果我們能熟記一些符合定理?xiàng)l件的一些無(wú)窮小量,則在求某些型的極限時(shí)將很方便. 如時(shí), 等,均為無(wú)窮小量,且例1 求下列函數(shù)的極限(1) 解 (1)原式=(2)原式=(3)原式=（4）原式=（5）原式=例2 求下列函數(shù)的極限解 （1） 原式=（其中，）（2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=（其中）所謂等

18、價(jià)無(wú)窮小，是指在同種變化趨勢(shì)下，和 都是無(wú)窮小，且0，如果，那么和是等價(jià)無(wú)窮小，記。這意味著在這一極限過(guò)程中，和趨近于零的速度基本相同。例如因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，都是等價(jià)無(wú)窮小，即。常見(jiàn)的等價(jià)形式有：時(shí)，,2 對(duì)不定式極限型的計(jì)算定理2 若在同一極限過(guò)程中，a，b是無(wú)窮小且則該定理表明，對(duì)型未定式可以施行等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)計(jì)算極限。但是這種替換只限于整個(gè)分子（分母）及其乘積因子，當(dāng)分子或分母為代數(shù)和時(shí)，對(duì)其中的項(xiàng)卻不能隨意作等價(jià)無(wú)窮小替換。例如：求極限時(shí)，sinxx，tanxx對(duì)原式作無(wú)窮小替換將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果：原式=（正確結(jié)果為）例3 因?yàn)楫?dāng)時(shí)解 原式=例4解 使用等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)時(shí)上式=例5 求解

19、它是型，按以前的求極限方法，它是不能用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，用洛必達(dá)法則計(jì)算 原式= 很顯然，這個(gè)題目直接用洛比達(dá)法則求解太繁，我們考慮函數(shù)中使用等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行化簡(jiǎn)。注意到：當(dāng)時(shí)，有原極限= 可見(jiàn)，對(duì)一些無(wú)法直接使用等價(jià)無(wú)窮小的極限式直接使用洛比達(dá)法則，會(huì)造成計(jì)算量大而且通過(guò)對(duì)函數(shù)式的構(gòu)造變換，再使用等價(jià)無(wú)窮小，就很容易求得答案了。3 數(shù)列極限的若干計(jì)算法（1）極限的四則運(yùn)算法則若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，其有例6 求解 由得 （2） 利用重要極限求數(shù)列的極限兩個(gè)重極限分別為例7 求解 （3）單調(diào)有界數(shù)列法這一方法是利用極限理論基本定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，其方法為:(1)判定數(shù)列是單調(diào)

20、有界的，從而可設(shè)其極限為A。（2）建立數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系式。（3）在關(guān)系式兩端取極限，得以關(guān)于A的方程，若能解出A，問(wèn)題得解。例8求數(shù)列其中（a0）極限解: 設(shè)，則是單調(diào)有界數(shù)列，它必有極限，設(shè)其極限為A在兩邊取極限得即所以，因?yàn)锳0所以即（4）利用定積分計(jì)算計(jì)算項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多的無(wú)窮小量之和，有時(shí)可設(shè)法把問(wèn)題化為某一函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限問(wèn)題，從而利用定積分求解。有時(shí)問(wèn)題呈現(xiàn)乘積的形式，也可試用本方法，只式要先取對(duì)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的形式。例9 計(jì)算解 、先考慮，從而有因此（5）變上限積分的極限常用的變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小有： 其中上述等式可以用洛比塔法則直接證明，證明中我們可以看到被

21、積函數(shù)之間是等價(jià)無(wú)窮小，由此可得將被積函數(shù)用等價(jià)無(wú)窮小代換后的變上限積分仍是等價(jià)無(wú)窮小，即是:定理3 若當(dāng)存在，則。證明：由此定理還可以得出如下結(jié)論，例如：例10 求解 原式=例 11 求解 原式=（6）冪指數(shù)數(shù)激增和Taylor公式使用定理4 設(shè)，且證明 例12 求 解 因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，所以原式=例13 求 解 ：因此，原式=綜上所述，我們看到等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用非常廣泛，但還是要具體情況具體分析，同時(shí)結(jié)合洛比達(dá)法則，選擇合理恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解二、 等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限過(guò)程中的推廣定理5 若在同一極限過(guò)程中，有等價(jià)無(wú)窮小則 當(dāng)時(shí)，（存在或?yàn)闊o(wú)窮大）當(dāng)時(shí)，（存在或?yàn)闊o(wú)窮大）證明 僅證（1），同理可證（2）因得。又因得再由定理，可知（存在或?yàn)闊o(wú)窮大）例14 解 因時(shí)，且 故由定理有原式=例15 解 因時(shí)，故由定理有原式=定理6 若在同一極限過(guò)程中，有等價(jià)無(wú)窮小，則（存在或?yàn)闊o(wú)窮大）證明 定理3 若在同一極限過(guò)程中，有等價(jià)無(wú)窮小則=A 證明 例16 解 因時(shí)，故由定理有 原式=附：常用積分公式1、 kdx=x+c2、 dxx=lnx+c3、 xndx=xn+1n+1dx+c4、 sinxdx=-cosx+c5、 cosxdx=sinx