第五章相交線與平行線知識點整理

1、相交線與平行線知識點整理5.1相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：12圖形邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角1與21的兩邊與2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即1=2鄰補角34 3與43與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線。鄰補角互補3+4=180注意點：對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；如果是對頂角，那么一定有；反之如果，那么不一定是對頂角；如果互為鄰補角，則一定有；反之如果，則不一定是鄰補角。兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。2、垂線ABCDO定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直

2、角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。符號語言記作： 如圖所示：ABCD，垂足為O垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。3、垂線的畫法：直線，垂足，直角記號PABO一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫直線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進行記憶。如圖，POAB，同P到直線

3、AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條?，F(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念 垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì)) 兩點間距離與點到直線的距離 區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。 線段與距離 距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能

4、等同。 5.2平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作，讀作：a平行于b。2、兩條直線的位置關(guān)系 ： 在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行。因此當我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）3、平行公理平行線的存在性與惟一性 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推

5、論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，12345678注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。如圖，直線被直線所截1與5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）5與3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯）5與4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。三線八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。6、兩直線平行的判定方法判定方法1兩條直線被第

6、三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行ABCDEF1234簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 幾何符號語言： 解：32 ABCD（同位角相等，兩直線平行） 12 ABCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 42180 ABCD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）注意：注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行。平行線的判定是寫角相等或互補，然后寫平行。典型例題：判斷下列說法是否正確，如果

7、不正確，請給予改正：不相交的兩條直線必定平行線。在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交。過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項重要條件，不能遺漏。正確不正確，正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。ABEDFC123典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？解答：2B ， ABDE（同位角相等，兩直線平行。）1D ， ACDF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行。）3F180，ACDF（同旁內(nèi)角互

8、補，兩直線平行。）ABCDEF12345.3平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；幾何符號語言：解 ：ABCD 12（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ABCD32（兩直線平行，同位角相等） ABCD 42180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。2、命題：命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題的組成：每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果，那么”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。注意：命題的題設(shè)（條件）部

9、分，有時也可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時也可用“求證”或“則”等形式表述。3、平行線的性質(zhì)與判定 平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行 同位角相等；兩直線平行 內(nèi)錯角相等；兩直線平行 同旁內(nèi)角互補。其中，由角的相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。ADEBC12典型例題：已知1B，求證：2C證明：1B（已知）DEBC（同位角相等，兩直線平行）2C（兩直線平行，同位角相等）注意：在了DEBC，不需要再寫一次了，得到了DEBC，這可以把它當作條件來用了。典型例

10、題：如圖，ABDF，DEBC，165，求2、3的度數(shù)ADFBEC123解答：DEBC（已知）2165（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）3180218065115 5.4平移1、平移變換把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等2、平移的特征：經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。經(jīng)過平移后，對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。ADBE