第3章運動定理1動量

1、力學(xué)易凡第三章牛頓力學(xué)的運動定理（一）動量3.11.質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量定理= m drp = mv動量的定義dt動量的單位Kg.m/ s量綱式 LMT-1 = ma =d (mv )=dp由牛頓第二定律FdtdtFdt = dp或動量定理（微分形式）意義：力的時間積累效應(yīng)導(dǎo)致動量發(fā)生變化。F=dpdtFdt= dp2.力的沖量（impulse）力的時間積累稱為沖量 dI= Fdt = dp （動量定理的微分形式）元沖量沖量定義（動量定理的積分形式）動量定理的意義：力F作用于質(zhì)點m的時間積累（沖量導(dǎo)致質(zhì)點m的動量變化。tttI= tdI= tFdt = td p =

2、p(t ) - p(t0 )000動量定理的說明動量P和沖量I為矢量，在直角坐標(biāo)系描述為p = pxi+ py j + pzk = mvxi+ mvy j + mvzkI= Ixi+ I y j + Izk= ( px - px 0 )i+ ( py - py0 ) j + ( pz- pz 0 )k其中tIx= tFxdt = mvx - mvx 00tI y =Iz=Fydt = mvy - mvy0Fzdt = mvz - mvz 0t0tt0動量定理的說明上述形式僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量tI= tFdt = m(v - v0 )由沖量定義0沖量是過程量，當(dāng)慣性系

3、選定后，它與參照點選擇無關(guān)。動量定理形式特征：（過程量）=（狀態(tài)量的增量）動量定理常用于碰撞過程。動量定理的說明碰撞一般泛指物體間相互作用時間很短（瞬間）的過程。在這短暫過程中，相互作用力往往很大而且隨時間改變。這種 瞬間過程，也稱作沖擊過程，作用力通常叫做沖力。沖擊過程的特征：相比沖擊力，某些常規(guī)作用力，如重力，摩擦力等可忽略沖擊力對質(zhì)點作用的效果是速度發(fā)生陡變，位移可以不計。p碰撞過程的平均沖擊力：rFdt r It-t0trrrp- p0tF =0t-tt-t00【例3.1】質(zhì)量 m的壘球以速率 v=140g=40m/s沿水平方向飛向擊球手，被擊后以相同速率沿仰角 60o飛出。求棒對壘球

4、的平均打擊力。設(shè)棒和球的接觸時間為Dt=1.2ms。因打擊力很大，所以由碰撞引起的質(zhì)點的動量改變，基本上由打擊力的沖量決定。重力、阻力的沖量可以忽略。 r rrFDt = mv2- mv1 r rrmv2FDt = mv- mvF Dt21v= v= v2160o30o1F= 2mv cos 30mvDtm=140g= 20.1440cos 301.210-3= 8.1103 (N)平均打擊力約為壘球自重的5900倍！在碰撞過程中，物體之間的碰撞沖力是很大的?！纠?.2】一圓錐擺，質(zhì)量為m的小球繞著鉛直軸以轉(zhuǎn)動，擺繩與軸成角。a、b為圓周直徑的兩點。求小球由ab的過程中，繩的張力施于小球的沖量

5、。zbb Tmyootytaaxxmg【解】建立如圖的坐標(biāo)系oxyz 。張力T為Tx TzT = Txi + Ty j + Tzk= -T sinq coswt，Ty = -T sinq sinwt= T cosqp /wp /wIx= 0Tdt =0-T sinq coswtdtp /w= -T sinq 0coswtdt = 0p /wp /wIy = 0Tydt =0-T sinq sin wtdtTwp /wT sinqsin wtdt =sinq (cosp - cos 0)= -0= - 2T sinqwT cosqdt = T cosqp /wp /w00I=T dt =wzzm

6、gcosqT cosq= mgT=or= p= - 2 mg tanq，I I= 0，ImgwwxyzI= - 2 mg tanq j + pmgkwwmgw4 tan2 q + pI=+ I=222Iyz三質(zhì)點系的動量定理1.由兩個質(zhì)點m1和m2構(gòu)成的質(zhì)點系t0時刻，m1、m2的速度和動量分別為, p10 =m1v10、p20 = m2v20v10、v20t時刻，m1、m2的速度和動量分別為= m2v2v1、v2, p1 =m1v 、 p2在作用過程中外力F1，內(nèi)力 f12外力F2，內(nèi)力 f21m1受力：m2受力：（ m2施予的力）（ m1施予的力）選定參照系（慣性系）對于m 有t+)dt

7、= m v- m v(Ff=p -p111211110110t0t對于m 有+f)dt = m v- m v(F=p-p222122220220t0兩式相加tttt+f)dt +(F+f(F)dt11222100tt=+ F)dt +( f12 +(F1f21 )dt2tt00= (m1v1 + m2v2 ) - (m1v10 + m2v20 )= ( p1 +p2 ) - ( p10 +p20 )令（合外力）（總動量）F= F1 + F2p =p1 +p2、p0 =+p10p20而 - f21+ 0f12f12f21 ttFdt =p -p0得到0 與質(zhì)點的動量定理形式完全一樣2.N個質(zhì)點構(gòu)

8、成的質(zhì)點系N個質(zhì)點m1、m2、mi、mN構(gòu)成的質(zhì)點系外力（externalforce）：系統(tǒng)外部對質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點的作用力內(nèi)力（internalforce）：系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點間的相互作用力特點：成對出現(xiàn)；大小相等方向相反推論：質(zhì)點系的內(nèi)力之和為零。i jfij =02.N個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系由N個質(zhì)點m1、m2、 mi、 mN構(gòu)成的質(zhì)點組考慮第i個質(zhì)點miNfiN= fij受力Fi （外力）+ +（內(nèi)力）fi1fi 2jit0時刻的速度和動量分別為t時刻的速度和動量分別為vi 0、 pi 0vi 、 pi據(jù)動量定理應(yīng)有t(F+ f)dt = m v- miv=p- piijiii 0ii 0t0j將N

9、個質(zhì)點的方程相加，左邊為NNNtt(Fi + fij )dt = ttFi dt + (ttfij )dt =( fij )dti , j j i000j ititjiitt Fi dt + ti=F )dt +fijdt(ttt0000iijiF = Fii令（質(zhì)點系的合外力） fiji, j j ii ( i j )=( fij +f ji ) 0且左邊為tFdtt0NNN(mivii- mivi 0 ) = mivii- mivi 0i右邊NNp = mivii= mivi 0i令p0（質(zhì)點系的總動量）則右邊=p -p0ttFdt =p - p0最后得到0質(zhì)點系的動量定理 （積分形式）：

10、系統(tǒng)總動量的變化等于質(zhì)點系所受到合外力的沖量。n 說明質(zhì)點組的動量定律形式與單質(zhì)點一樣，但式中F是整個質(zhì)點系所受到的合外力，p是系統(tǒng)的總動量。tI=Fdt =p - p0令為合外力對質(zhì)點系的沖量t0上式是質(zhì)點系動量定律的積分形式Fdt=dp質(zhì)點系動量定理的微分形式 質(zhì)點系總動量的時間變化率等于所受合外力動量定理僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量內(nèi)力的沖量不會改變質(zhì)點組的總動量，但會改變質(zhì)點組中各質(zhì)點的動量?；蛘哒f，內(nèi)力將導(dǎo)致各質(zhì)點的動量重新分配動量定理與牛頓定律的關(guān)系：牛頓定律僅適用于單質(zhì)點，動量定理卻適用于質(zhì)點系對一個質(zhì)點來說，牛頓定律說的是力的瞬時效果，而動量定理說的是力對時

11、間的積累效果。孤立體系的動量守恒定律F= Ft= 0I=Fdt = 0p(t0 ) = A若合外力則it0ip(t) -p(t0 ) = 0p(t) =即有或則稱系統(tǒng)的動量守恒F= Fi 0Fx，y，z之一為0若合外力但ipx=px 0，p =p0，p =p0則有 常稱為質(zhì)點系在某個方向的動量不變或“守恒”n 孤立體系的動量守恒定律： 不受外力或所受外力的矢量和為零的體系，系統(tǒng)的總動量不變（恒矢量）。動量守恒定律的幾點說明動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系動量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒當(dāng)外力內(nèi)力且作用時間極短時（如碰撞）可認(rèn)為動量近似

12、守恒動量守恒定律雖然由牛頓第三定律導(dǎo)出，但它比牛頓第三定律適用范圍更廣。在牛頓第三定律不成立時，只要計及場的動量，動量守恒定律仍然成立。動量守恒定律可以直接從空間的平移不變性（一種時空對稱性）導(dǎo)出。時空對稱性原理是比牛頓定律更高層次的定律， 動量守恒定律比牛頓定律更普遍更基本，在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。例3.3長為L，質(zhì)量為m的軟繩盤放在水平臺上。用手抓住繩的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時受的拉力。Txv0xo【解】以軟繩為質(zhì)點系。p = m xvt時刻：繩提起高度x ，動量0Lp = m ( x + dx)vt+dt時刻：繩提起高度 x+x ，動量0L繩受力：重力mg，手拉力T

13、，地面彈力N。應(yīng)用動量定理(T + N - mg)dt =p - p =m ( x + dx)v- m xv= m v dx000LLL即m vdx= m v2 ; dx(T + N - mg) = v dt000LdtLN=m (L - x) gLT + m (L - x) g - mg =m v2 0LL T=x mg + m v2 最后得0LLT= m v2當(dāng)x = 0,0LT= mg + m v2x = L, 0L例3.4質(zhì)量密度為的鏈條從光滑的桌面上由靜止開始下滑，求鏈條下滑運動規(guī)律。ox【解】以鏈條為質(zhì)點系，以桌面為參照系。t時刻，鏈條下滑長x ，動量p = l xvtdt時刻，鏈

14、條下滑長xdx ，動量p = l( x + dx)(v + dv) = l xv + lvdx + l xdv + ldxdv據(jù)動量定理Fdt = dp =p -p =lvdx + l xdv + ldxdvFdt = lvdx + l xdv忽略二階小量，則有F= l ( x + dx) gFdt = l ( x + dx) gdt = l xgdt得到即l xgdt = lvdx + l xdvx dv + v dx - xg = 0dtdtdx而得到微分方程= vdtx dv + v2 - gx = 0dt1 dv2dvdvdxdv解微分方程= v=dtdxdtdx2dx dv= 2(

15、gx - v)22x dv2方程為+v- gx = 022dxdxxdv2= 2( gx - v2 ) =2v2即有2g -dxxxy = 2 gx - v2令則3dv22v2dy= 22g -3=g - 2 g +3=dxdx= -x2v2- 42232 yg +xg - v) = -2(3xxxdy = - 2dx即解得yxln y = -ln x2 + cyx2 = c ln yx2 = cort = 0, x = 0即得c = 0初始條件 2 xg - v2 x = 0所以 323= 0 dx 223或即= =v2xgxg - v2 dtdx2gdt即= 2dx=3xg t + c =

16、x6因為所以t = 0, x = 0c = 0gtg t2最后得到x =x =66四 .質(zhì)心運動定理和質(zhì)心參考系1.質(zhì)心F = dp= d p由質(zhì)點系動量定理的微分形式：dtdti它在形式上相同與牛頓定律的動量表示式相同，但其含義并不相同。F =ma牛頓第二定律是對質(zhì)點而言，等價于而質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的運動情況各不相同，加速度也不相同，不能簡單等效于： F= ma（m是質(zhì)點系的總質(zhì)量）1.質(zhì)心F= maC但對質(zhì)點系而言，確實存在一個特殊點C，而使成立，這里ac是該特殊點的加速度。定義該特殊點為質(zhì)心，并認(rèn)為體系的總質(zhì)量都集中在質(zhì)心處。2.質(zhì)心的位置由N個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系mi;i= 1,2, ,。N在

17、確定的參照系中，各質(zhì)點的位矢為 ri定義：對于確定的質(zhì)點系，其質(zhì)心的位置用質(zhì)心位矢rc表示：Nmi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12NN2.質(zhì)心的位置mi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12N說明質(zhì)心位矢rc是矢量，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)心的坐標(biāo)為：NNNmi ximimi zi i =1mii =1yixc=yc=zc= i =1, i =1,NNNmii =1mii =1推廣至連續(xù)質(zhì)量分布的質(zhì)點系111M M M x=y=xdm,ydm,zzdmccc( M = dm)質(zhì)心的位

18、矢并不是各質(zhì)點位矢的算術(shù)平均值，而是以質(zhì)量為權(quán)重的加權(quán)平均。選擇不同坐標(biāo)系，質(zhì)心位矢rc表達式不同。但質(zhì)心與各質(zhì)點 間的相對位置僅與質(zhì)點系的質(zhì)量分布有關(guān)，與參照系的選擇z無關(guān)。mNrmjrcNm1rjr1miyrior2m2x3.質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度vc d m r m rm vdt iiiiiidr d v=icdt iM iMcdt M質(zhì)心的動量Pcpc = Mvc= mivi= pi = pii 質(zhì)心動量的意義：質(zhì)點系的各質(zhì)點全部集中在質(zhì)心上，以vc速度運動。 質(zhì)心的動量 Pc 等于質(zhì)點系的總動量P；質(zhì)心運動定理由質(zhì)點系動量定理的微分形式Ni=1NNdp= d ddt ddrF=pi=

19、mivi= =miidtdtdt dti=1i=1Nd 2 mi rid 2d 2rNNmi rimi i=1 = M= c dt 2dt 22Ndt i=1 i=1mii=1d 2rF= Fii=M=Mac c dt 2d 2rM = mi ,i=ac c dt 2n 質(zhì)心運動定理：體系質(zhì)心的加速度等于質(zhì)量為體系總質(zhì)量的質(zhì)點在合外力作用下的加速度質(zhì)心運動定理描述了物體質(zhì)心的運動。體系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動。質(zhì)心的動量定理由質(zhì)點系動量定理的微分形式dpdpcF=Fdt = dpcdtdtttFdt = Mvc- Mvc 00n 上式即是質(zhì)心的動量定理外力對體系的沖量等于質(zhì)心動量的增量例3.5用

20、質(zhì)心概念求解例3.3m x xx2質(zhì)心坐標(biāo)= L2=xcm2L質(zhì)點系外力：拉力T，彈力N，重力mgd 2 x= T + N - mg應(yīng)有m c dt22xv0x=xx =x =x;( x = v)c02LLLv2vx=x = 0L 0 Lcm v2mx= T + N- mgcL0N=1 (L - x)mgLT=x mg + m v20LL與例3.3的結(jié)果一樣4.質(zhì)心參照系（質(zhì)心系）定義：某坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點在質(zhì)心處，坐標(biāo)軸與固定系的坐標(biāo)軸始終保持平行， 這樣的坐標(biāo)系即稱為質(zhì)心坐標(biāo)系，簡稱質(zhì)心系。zmiSriczriocxrcSyyori = ric+ rcx（1）各質(zhì)點的運動視為兩部分運動的疊

21、加質(zhì)點mi的位矢相對慣性系（靜系s） 相對質(zhì)心系（動系s）riric= r + rr應(yīng)有icic 質(zhì)心系的特點r= r + rv= v + v速度即iicciicc各質(zhì)點隨質(zhì)心一起作平移運動（相對質(zhì)心靜止）質(zhì)心系不一定是慣性系，也可能不是慣性系?。?）質(zhì)心系是零動量系v= v + vm v= m v + m v證明即由iicciiiicicm vm v+ m v=對全部質(zhì)點m 求和iiiiciciiiii= m v- m vm v即iiciiiciimivii= pi = pi，mivc = Mvc = pc = pim v 0iici（3）在質(zhì)心系，可不考慮平動慣性力的影響Fii= F =

22、0ac = 0則質(zhì)心系為慣性系若Fi= F 0ac 0若i則質(zhì)心系為非慣性系，各質(zhì)點有平動慣性力= -miacFioFo= Fio= -miac = (-mi )ac= -F合慣性力iiiFo + F 0則在質(zhì)心系下，質(zhì)點系的合外力被慣性力抵消，所以質(zhì)心系是零動量系。例3.6在光滑平面上，m1和m2以v1和v2碰撞后合為一體（完全非彈性碰撞）。求碰撞后二者的共同速度v。在質(zhì)心參考系觀察，碰撞前后二者的運動如 何？在慣性系中觀察= m1v1 +m1v2vc碰撞前質(zhì)心速度：m1 +m2無外力，質(zhì)心速度不變。碰撞后二者共同速度為質(zhì)心速度= m1v1 +m1v2v = vcm1 +m2n 在質(zhì)心系中觀

23、察五經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題1. 經(jīng)典力學(xué)中討論的變質(zhì)量體系的特征所研究的體系質(zhì)量不為常數(shù)，而是隨時間變化。這種變化是由于外部不斷有新質(zhì)量進入體系，或體系內(nèi)部不斷有質(zhì)量輸送給外部；變化部分的質(zhì)量無限小，可視為質(zhì)量元dm；體系中所有質(zhì)點運動狀態(tài)相同，因而可用一個質(zhì)點來描寫體系的運動這樣的“變質(zhì)量體系”，質(zhì)量發(fā)生變化， dm 0dt稱之為“經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題”。幾點注意體系中的總質(zhì)量（質(zhì)量主體與質(zhì)量附體）不變；變化的是質(zhì)量主體研究質(zhì)量元不斷的加入或離去對質(zhì)量主體運動狀態(tài)的影響，實質(zhì)是質(zhì)量元與質(zhì)量主體的碰撞問題；變質(zhì)量問題（模型）有：軟繩下落、火箭升空、流星對地球的撞擊、冰的融化等等；2.變質(zhì)量體

24、系的運動方程ttdtdmvvdvvdvu質(zhì)量離去 dm0方程推導(dǎo)的出發(fā)點非變化的主要質(zhì)量部分為質(zhì)量主體，變化的（將進入或離去）的質(zhì)量元為質(zhì)量附體體系總質(zhì)量主體質(zhì)量附體質(zhì)量將質(zhì)點組的動量定理的微分形式應(yīng)用該問題中m+dmmn 方程推導(dǎo)（設(shè)質(zhì)量減少，dm0） t時刻，體系質(zhì)量：m（主體附體） 速度：v動量： p = mv t+dt時刻，主體質(zhì)量： m + dm(dm 0)，附體質(zhì)量 dmv + dvv + dv + u 主體速度： 動量：， 附體速度：p = (m + dm)(v + dv ) - dm(v + dv + u)= mv + mdv + vdm + dmdv - vdm - dmdv

25、 - udm= mv + mdv - udm u是附體脫離主體瞬間，它相對于主體的速度在相互作用瞬間，體系的動量變化dp =p - p = mv + mdv - udm - mv dp = mdv - udmFdt = dp = mdv - udm由可得= m dv- dm uFdtdt即 上式為變質(zhì)量體系的運動方程m dv= F+dm u dtdt方程說明F是作用于質(zhì)量主體上的外力設(shè)F= F+ FDmm在主體與附體的相互作用（碰撞）瞬間，通常外力與質(zhì)量成正比（如重力）此時DmFDm當(dāng)Dt 0,Dm 0, 0FDm所以F= Fm方程說明u是質(zhì)量元dm相對質(zhì)量主體m的速度m與時間有關(guān)質(zhì)量元dm，若是離開主體dm0反作用力Fpm dv= dm u設(shè)外力F=0，則有dtdt=dm um dv若令即有= FFppdtdtFp定義為反作用力，它源于質(zhì)量元dm對質(zhì)量主體m的作用，即碰撞。附體離開主體時：dm0F= dm u 0若u與v反方向，F(xiàn)p為推力dt附體加入主體時：dm0F= dm u 0若 u 與 v 同方向，F(xiàn)為推力ppdt反