研究生課件應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2線性空間

1、1,第一章集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 2.線性空間 一、線性空間的概念 二、線性空間的基、坐標(biāo)和維數(shù) （一）線性表示與向量組的線性相關(guān)性 （二）線性空間的基、坐標(biāo)、維數(shù) （三）基變換與坐標(biāo)變換 三、子空間,2,四、維數(shù)定理 五、子空間的直和 六、線性空間的線性同構(gòu),3,一、線性空間的概念,線性空間的定義 線性空間的例： R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的線性空間. C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空間. Ca,b,Cnx 線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì),4,在線性代數(shù)中，大家已熟悉了具體的線性空間Rn 和Cn。 這里要在一般集合上建立線性結(jié)構(gòu)，即加法 運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，使集合上有了代數(shù)結(jié)構(gòu)。 線性空間上首先有了向

2、量組的線性相關(guān)性的概 念，接著建立線性空間上基、坐標(biāo)、維數(shù)的概念。 這樣，可以象在Rn上那樣研究一般的線性空間。,5,一、線性空間的概念 設(shè)C是復(fù)數(shù)集合，K是C的一個(gè)非空集合，它含有 0和1，且其中任意兩數(shù)的和、差、積、商 （除數(shù)不為零）仍屬于該集合，則稱(chēng)K是一個(gè)數(shù) 域。 顯然，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。 分別稱(chēng)為有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域。 今后用F代表數(shù)域（實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C）。,6,定義2.1 設(shè)V是一個(gè)非空集合,F是一個(gè)數(shù)域 (實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C),在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說(shuō)，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素x與y，在V中都有唯一的一個(gè)元素

3、z與它們對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為x與y的和，記為z=x+y。在數(shù)域F與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域中任一數(shù)k與V中任一元素x，在V中都有唯一的一個(gè)元素y與它們對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為k與x的數(shù)量乘積，記為y=kx。如果加法與數(shù)量乘法滿(mǎn)足下述規(guī)則，那么稱(chēng)V為數(shù)域F上的線性空間。,7,(1) 加法滿(mǎn)足下面四條規(guī)則：x,y,zV,有 x+y=y+x; x+(y+z)=(x+y)+z; 零元素V,使x+=x=+x; x的唯一負(fù)元素-xV,使x+(-x)=. (2) 數(shù)乘滿(mǎn)足下面兩條規(guī)則： x,yV,F,有 (x)=()x; 1x=x.,8,(3)數(shù)乘相對(duì)于V上加法和F上的加法相對(duì)于 數(shù)乘有分

4、配律: (+)x=x+x; (x+y)=x+y. 則稱(chēng)V為數(shù)域F上的線性空間, 其中元素稱(chēng)為向量, 所以線性空間也叫向量空間. R,Rn,Rnn,Rnx都是R上的線性空間. C,Cn,Cnn,Cnx都是C上向量空間.,9,例2.1 Rn=x=(x1,x2,xn)T|xiR,1in 是R上的線性空間。 證明：只要定義： x=(x1,x2, ,xn)T ， y=(y1,y2, ,yn)TRn,kR, x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)TRn kx=(kx1,kx2, ,kxn)TRn 滿(mǎn)足：x=(x1,x2, ,xn)T,y=(y1,y2, ,yn)T, z=(z1,z2, ,zn

5、)TRn,k,lR （1）x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =(y1+x1,y2+x2, ,yn+xn)T =y+x,10,(2)(x+y)+z =(x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2, ,(xn+yn)+zn)T =(x1+(y1+z1),x2+(y2+z2), ,xn+(yn+zn)T =x+(y+z) (3)存在零向量=（0，0，0）T，使 x+ = +x=x (4)-x= (-x1,-x2, ,-xn)T ,使 x+(-x)=(-x)+x= (5) k(lx)=k (lx1,lx2, ,lxn)T =(kl)(x1,x2, ,xn)T =(kl) x,11,(

6、6)1x=1 (x1,x2, ,xn)T = (1x1,1x2, ,1xn)T = (x1,x2, ,xn)T =x (7)(k+l)x=(k+l)x1,(k+l)x2, ,(k+l)xn)T =k(x1,x2, ,xn)T +l (x1,x2, ,xn)T =kx+lx (8)k(x+y)=k (x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)T =kx+ky,12,例2.2 考慮Ca,b,x,yCa,b,kR, 定義加法和數(shù)乘: (x+y)(t)=x(t)+y(t) (kx)(t)=kx(t) 由于兩個(gè)連續(xù)函數(shù)之和仍為連續(xù)函數(shù), 連續(xù)函數(shù)與常數(shù)相乘仍是連續(xù)函數(shù), 由此易知,Ca,b是R上的線性空間

7、. 例2.3 次數(shù)不超過(guò)n的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式集合 Cnx=p(x)=a0 xn+a1xn-1+an|aiC,0in 按通常多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)的乘法，構(gòu)成復(fù) 數(shù)域C上的向量空間。,13,例2.4 元素屬于復(fù)數(shù)域C的mn矩陣集合 Cmn=A=(aij)mn|aijC 按矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成C上向量空間。 例2.5 給定ACmn,記 R（A）=yCm|y=Ax,xCn N(A)=xCn|Ax=0 按向量的加法和數(shù)乘，是C上線性空間。 證明：設(shè)y1,y2R(A),則存在x1,x2Cn,使 y1=Ax1,y2=Ax2, y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) R(A) kC,ky1=kAx1=A(k

8、x1) R(A) x1,x2N(A),則Ax1=0,Ax2=0,14,A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0 x1+x2N(A), kC,A(kx1)=kAx1=k0=0,所以，kx1N(A). 例2.6 設(shè)ACmn,V=xCn|Ax=b,b0按向 量的加法和數(shù)乘不是線性空間。 這是因?yàn)?，x,yV,Ax=b,Ay=b, A(x+y)=Ax+Ay=b+bb 即x+yV,15,線性空間有以下簡(jiǎn)單性質(zhì)： （1）線性空間V（F）有唯一的零元;xV(F), 有唯一的負(fù)元-x. 實(shí)際上，若有兩個(gè)零向量和，則 += xV(F),若有兩個(gè)負(fù)向量y1和y2,滿(mǎn)足 x+y1=x+y2= 于是， y1-y2=

9、,即y1=y2 (2)設(shè)xV(F),kF,則有 0 x=,k=,(-1)x=-x,16,二、線性空間的基、坐標(biāo)與維數(shù),線性表示與向量組的線性相關(guān)性 線性空間的基與維數(shù)、向量的坐標(biāo) 基變換與坐標(biāo)變換公式,17,二、線性空間的基、坐標(biāo)和維數(shù) （一）線性表示與向量組的線性相關(guān)性 定義2.2 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間, x,x1,x2,xmV是V中一向量組, 如果存在一組數(shù)k1,k2,kmF,使 x=k1x1+k2x2+kmxm 則稱(chēng)x是x1,x2,xm的線性組合, 或稱(chēng)x可由x1,x2,xm線性表示. 例如， 1=（2,-1,3,1)T,2=(4,-2,5,4)T, 3=(2,-1,4,-1)T 3

10、=31-2 即3可由1,2線性表示.,18,又如,由于,19,定義2.3 設(shè)x1,x2,xmV是一組向量, 如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,kmF使 k1x1+k2x2+kmxm=, 則稱(chēng)向量組x1,x2,xm線性相關(guān); 否則稱(chēng)x1,x2,xm線性無(wú)關(guān), 即若 k1x1+k2x2+kmxm=, 則k1=k2=km=0. 設(shè)EV,若E的任一有限向量組都是線性無(wú)關(guān)的 則稱(chēng)E是線性無(wú)關(guān)的. 定義2.4 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間,EV,令,20,稱(chēng)SpanE為E生成空間,或E張成的空間,21,例2.7 線性空間V（F）中的向量組x1,x2, ,xm (m1)線性相關(guān)的充分必要條件是 向量組x1,x

11、2, ,xm中至少有一個(gè)向量是其余向 量的線性組合。 證明：）設(shè)x1,x2, ,xm線性相關(guān)，則存在不全 為零的一組數(shù)k1,k2, ,kmF,使 k1x1+k2x2+kmxm= 不妨設(shè)k10,則,22,)設(shè) x1=k2x2+k3x3+kmxm 則 (-1)x1+k2x2+k3x3+kmxm= 由于-1，k2, ,km不全為零，所以x1,x2, ,xm 線性相關(guān)。 例2.8 n維單位向量組e1=(1,0,0, ,0)T, e2=(0,1,0, ,0)T, ,en=(0,0,0, ,1)T線 性無(wú)關(guān)。 證明：若有數(shù)k1,k2, ,knR,使 k1e1+k2e2+knen=, 則 (k1,k2, ,

12、kn)T=, 即 k1=k2=kn=0 所以，e1,e2, ,en線性無(wú)關(guān)。,23,例2.9 試證：R22中的一組向量（矩陣）,線性無(wú)關(guān)。 證明：若有數(shù)k1,k2,k3,k4R,使,即,所以，k1=k2=k3=k4=0,E11,E12,E21,E22線性無(wú)關(guān)。,24,例2.10 試證R22中的向量（矩陣）組,線性相關(guān)。 證明：由于 1-2+ 3= 所以1，2， 3線性相關(guān)。,25,（二）線性空間的基、坐標(biāo)、維數(shù) 定義2.5 設(shè)x1,x2, ,xnV是一組向量,如果滿(mǎn) 足: (1)x1,x2, xn線性無(wú)關(guān)； （2）xV,x可由x1,x2, ,xn線性表示， 則稱(chēng)x1,x2, ,xn是V的一組基

13、。 設(shè)E是線性空間V的線性無(wú)關(guān)無(wú)限子集,如果 SpanE=V, 則稱(chēng)E是線性空間V的基. 例如,1,x,x2,xn是Rnx的一組基. xV,必有唯一的一組數(shù)k1,k2,knF,使 x=k1e1+k2e2+knen 則稱(chēng)(k1,k2,kn)是x的坐標(biāo).,26,證明：設(shè)x有兩種表示： x=a1x1+a2x2+anxn = b1x1+b2x2+bnxn 則 (a1-b1) x1+(a2 b2) x2+(an bn) xn= 由于x1,x2, ,xn線性無(wú)關(guān)，所以 a1=b1,a2=b2, ,an=bn 例2.11 向量組e1=(1,0,0, ,0)T,e2=(0,1,0, ,0)T, ,en=(0,

14、0,0, ,1)T是Rn中一組基。稱(chēng)之為自然基。 實(shí)際上，前面已證它是組性無(wú)關(guān)的，而且 x=(x1,x2, ,xn)TRn,有 x=x1e1+x2e2+xnen,27,例2.12 設(shè)EijRmn(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m)為 第ij元素為1其余元素均為0的矩陣，它是Rmn 的一組基，稱(chēng)之為自然基。實(shí)際上，它是線性 無(wú)關(guān)的。 若有數(shù)kijR,使,則得,即kij=0(i=1,2, ,m;j=1,2, ,m) 其次，A=（aij)mnRmn有,28,例2.13 R上次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式集合Rnx是 線性空間，1,x,x2, ,xn是一組基。 定理2.1 設(shè)x1,x2, ,xn是線性空間

15、V（F）的一 組基，則當(dāng)mn時(shí)，V（F）中任意m個(gè)向量的向 量組是線性相關(guān)的。 證明：設(shè)y1,y2, ,ym(mn)是V（F）中任一向量 組，由于x1,x2, ,xn是一組基，則有,29,yi=ai1x1+ai2x2+ainxn(i=1,2, ,m) 若有數(shù)c1,c2, ,cmF,使 c1y1+c2y2+cmym,則,由于方程個(gè)數(shù)n小于未知數(shù)個(gè)數(shù)m，上面的方程組必有非零解(1,2, ,m)T,30,1y1+2y2+mym= 即y1,y2, ,ym線性相關(guān)。 定理2.2 線性空間V（F）中任意兩組基 所含 向量個(gè)數(shù)相等。 證明：設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,ym分別為V（F） 的兩組基

16、，由上面的定理，nm.若不然，則 mn,由于y1,y2, ,ym是基，所以， x1,x2, ,xn線 性相關(guān)，矛盾！ 同樣可證：mn,從而，m=n。,31,定義2.7 線性空間V（F）的一組基所含向量 的個(gè)數(shù)稱(chēng)為V（F）的維數(shù)，記作dimV(F).n維的 線性空間V（F）可記作Vn（F）。 例如，dim Rn=n,dim Rnx=n+1 dim Rmn=mn 定理2.3 n維向量空間Vn(F)中任意n個(gè)線性無(wú) 關(guān)的向量組是Vn(F)的一組基。 證明：yV(F),由于y,x1,x2, ,xn線性相關(guān)， 則y可由x1,x2, ,xn線性表示，從而， x1,x2, ,xn是一組基。,32,（三）基變

17、換與坐標(biāo)變換 設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn是線性空間Vn(F) 的兩組基，則有,或,其中,33,稱(chēng)P為基x1,x2, ,xn到基y1,y2, ,yn的過(guò)渡矩 陣。 過(guò)渡矩陣是可逆的。實(shí)際上，由于y1,y2, ,yn 線性無(wú)關(guān)，則若有數(shù)k1,k2, ,knF,使 k1y1+k2 y2+ +kn yn= 必須 k1=k2=kn=0 即,相當(dāng)于,34,只有零解。,相當(dāng)于,35,設(shè)x1,x2, ,xn與y1,y2, ,yn是線性空間Vn(F) 的兩組基，xVn(F)在基x1,x2, ,xn與 y1,y2, ,yn下的坐標(biāo)分別是,即,或,36,由于x1,x2, ,xn線性無(wú)關(guān)，得坐標(biāo)變換

18、公式,37,例2.14 在R3中求向量x=(1,2,1)T在基 x1=(1,1,1)T,x2=(1,1,-1)T,x3=(1,-1,-1)T下的 坐標(biāo)。 解：R3中自然基e1,e2,e3,則有,38,設(shè)x在基x1,x2,x3下的坐標(biāo) 為(1, 2, 3)T,已 知x在e1,e2,e3下的坐標(biāo)為（1，2，1）T，則,例2.15 在Rnx中，1,x,x2, ,xn與1, (x-a),(x-a)2, ,(x-a)n為兩組基，求前一組 基到后一組基的過(guò)渡矩陣。 解：,39,1=11 x-a=-a1+1x (x-a)2=a21-2ax+1x2 (x-a)3=-a31+3a2x-3ax2+1x3 ,40,

19、由1,x,x2, ,xn到1,(x-a),(x-a)2, ,(x-a)n 的過(guò)渡矩陣是,41,例2.16 在R4中,求,其中,并求向量=(x1,x2,x3,x4)T在1, 2, 3, 4下的坐標(biāo)。 解：已知 e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T是一組基，且,42,43,44,45,46,47,三、子空間,子空間的定義 驗(yàn)證子空間的充分必要條件 子空間的基與維數(shù),48,三、子空間 定義2.7 設(shè)S是線性空間V（F）的非空子集。若 S中向量關(guān)于V（F）的加法和數(shù)乘也構(gòu)成F上的 線性空間，則稱(chēng)S是V（F）的子空間。 例如，和V

20、（F）是線性空間V（F）的兩個(gè) 子空間，稱(chēng)之為V（F）的平凡子空間。 定理2.1 設(shè)S是線性空間V（F）的非空子集。 S是V（F）的子空間的充分必要條件是： (1）x,yS,有x+yS;(2)kF,xV(F),有kxS。 證明：必要性顯然。來(lái)證充分性。只要驗(yàn)證滿(mǎn)足 線性空間的條件。,49,(1) x,yS,則x,yV(F),x+y=y+x (2) x,y,zS,則x,y,zV(F),(x+y)+z=x+(y+z) (3)取aS,=0aS (4)xS,-x=(-1) xS (5) kF,x,yS,則x,yV(F), k(x+y)=kx+ky (6) k,lF,xS,則xV(F), (k+l) x

21、=kx+lx (7) k,lF,xS,則xV(F) k (lx)=(kl) x (8) xS,則xV(F), 1x=x,50,例2.17 設(shè)S=x1,x2, ,xrV(F),S生成的空間 SpanS是V（F）的子空間。 證明：SpanS顯然非空，而且 x,ySpanS,kF x=a1x1+a2x2+arxr y=b1x1+b2x2+brxr x+y=(a1+b1) x1+(a2+b2) x2+(ar+br) xrSpanS kx=(ka1)x1+(ka2)x2+(kar)xrSpanS 定義2.8 設(shè)T是線性空間V(F)中的一個(gè)向量組, (1)x1,x2, ,xr線性無(wú)關(guān)； （2）xT, x,

22、x1,x2, ,xr線性相關(guān)，,51,則稱(chēng)x1,x2, ,xr為T(mén)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；T 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)定義為T(mén)的維數(shù)。 定理2.2 n維線性空間Vn（F）的任一線性無(wú)關(guān) 的向量組x1,x2, ,xr必可擴(kuò)充為Vn(F)的一組基。 證明：已知x1,x2, ,xr線性無(wú)關(guān)。當(dāng)rn時(shí)， x1,x2, ,xr不可能是Vn(F)的基。至少存在一個(gè) 向量xr+1Vn(F),使x1,x2, ,xr，xr+1線性無(wú) 關(guān)。 若r+1=n,則x1,x2, ,xr，xr+1是Vn(F)的一組基. 否則,繼續(xù)上述步驟,由于dimVn(F)=n,必有正整 數(shù)l,使r+l=n,即x1,x2, ,xr，

23、xr+1，xr+l是 Vn(F)的基。,52,例2.18 N(A)=xRn|Ax=,A=(aij)mn,A的秩 為r,則N（A）是n-r維子空間。 證明：kF,x,yN(A),Ax=,Ay=,有 A(x+y)=Ax+Ay=+= A(kx)=kAx=k= 所以，x+yN(A),kxN(A), 即N（A）是Rn的子空間， 由于A的秩為r,因此,齊次線性方程組Ax=有n-r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即N（A）是n-r維的。,53,例2.19 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空間, 則W=V1V2是V(F)的子空間. 證明:首先,V1,V2, V1V2,即V1V2 非空.其次, (1)x,yV1V2

24、,則x,yV1, x+yV1,x,yV2,x+yV2, x+yV1V2; (2)kF,xV1V2,則xV1,xV2, kxV1,kxV2, kxV1V2,54,例2.20 設(shè)V1,V2是線性空間V(F)的兩個(gè)子空間, 則 W=V1+V2=x+y|xV1,yV2 是V(F)的子空間,稱(chēng)之為V1與V2的和空間. 證明:顯然W=V1+V2非空. (1)x,yV1+V2,則存在x1,x2V1,y1,y2V2,滿(mǎn) 足： x=x1+y1, y=x2+y2 于是 x+y=(x1+y1)+(x2+y2) =(x1+x2)+(y1+y2) V1+V2 (2) kF,xV1+V2,則存在x1V1,y1V2,使 x

25、 =x1+y1 于是， kx=k(x1+y1)=(kx1)+(ky1) V1+V2 其中kx1V1,ky1V2,55,例2.21 設(shè)1=(1,2,1,0)T, 2=(-1,1,1,1)T, 1=(2,1,0,1)T ,2=(1,-1,3,7)T 求V1=Span1, 2,V2=Span1,2的和與交的 維數(shù)和它們的基。 解：因?yàn)?V1+V2= Span1, 2+Span1,2 =Span1, 2 ,1,2 向量組1, 2 ,1,2的秩為3，且1, 2 ,1是一 個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，所以 dim(V1+V2)=3, 1, 2 ,1是V1+V2的一組基。,56,下面求V1V2的基。設(shè)V1V2，則有

26、k1,k2,l1,l2R,使 =k11+k22=l11+l22 即 k11+k22-l11-l22 =,其基礎(chǔ)解系是(1,-4,3,-1)T,即 k1=1,k2=-4,l1=3,l2=-1, =1-42=31-2=(5,-2,-3,-4)T,57,故 dim(V1V2)=1, 而 =(5,-2,-3,-4)T 是V1V2的一個(gè)基。,定理2.3 向量空間V中兩個(gè)向量組 1,2,s和1,2, ,t 張成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量 組和等價(jià)，即這兩個(gè)向量組可相互線性表示。 證明：）設(shè) Span1,2,s=Span1,2, ,t,58,則每一個(gè)i(i=1,2, ,s)作為Span1,2, ,

27、t 中向量，都可由1,2, ,t線性表示； 同樣，每一個(gè)j(j=1,2, ,t)作為 Span1,2,s中向量,都可由1,2,s線性 表示；所以，這兩個(gè)向量組等價(jià)。 ）設(shè)這兩個(gè)向量組等價(jià)。 Span1,2,s中 每個(gè)向量都是1,2,s的線性組合，從而都可 由1,2, ,t線性表示；即 Span1,2,sSpan1,2, ,t 同理 Span1,2, ,t Span1,2,s 所以， Span1,2,s=Span1,2, ,t,59,定理2.4 線性空間V中向量組1,2,s張成的 子空間Span1,2,s的維數(shù)等于向量組 1,2,s的秩. 證明:設(shè)1,2,s的秩為r,并設(shè),為它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)

28、組，則1,2,s與,等價(jià)，因此Span1,2,s中每個(gè)向,量都可由,線性表示，即,Span1,2,s的維數(shù)為r。,60,四、維數(shù)定理,維數(shù)定理,61,四、維數(shù)定理 定理2.5 設(shè)S1和S2是線性空間Vn（F）的兩個(gè)子 空間，則有 dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1S2) 證明：設(shè)dim S1=n1,dim S2=n2,dim(S1S2)=m, 要證： dim(S1+S2)=n1+n2-m. 取S1S2的一組基x1,x2, ,xm,并分別擴(kuò)充為S1 和S2的基：,可以證明,62,現(xiàn)在證明：,線性無(wú)關(guān)，從而證明了本定理。 設(shè)有數(shù),令,于是，xS1且xS2,從而xS1S2,于

29、是可令,63,所以，,由于,是基，得到,而且，x=,于是,由于,是基，得到,于是,線性無(wú)關(guān)。,64,五、子空間的直和,子空間的和空間與直和的定義 兩個(gè)子空間的直和的等價(jià)條件,65,五、子空間的直和 定義2.9 設(shè)S1和S2是線性空間V（F）的兩個(gè)子 空間，若和空間S1 +S2中每一個(gè)向量x的分解式 x=x1+x2(x1S1,x2S2)唯一，則稱(chēng)S1+S2為S1與S2 的直和，記作S1S2。 例2.22 設(shè)R4中的三個(gè)子空間 V1=(a,b,0,0)T|a,bR V2=(0,0,c,0)T|cR V3=(0,d,e,0)T|d,eR 則T=V1+V3不是直和，因?yàn)?66,(1,1,1,0)T=(1,2,0,0)T+(0,-1,1,0)T =(1,0,0,0)T