第5章 方差分析.ppt

1、第五章 方差分析,t檢驗法適用于樣本平均數與總體平均數以及兩個樣本平均數間的差異顯著性檢驗，但在生產和科學研究中經常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題，即需進行多個平均數間的差異顯著性檢驗。,下一張,主 頁,退 出,上一張,多個樣本平均數間的差異顯著性檢驗，t檢驗法是不適宜的，原因有三：,【例5-1】以淀粉為原料生產葡萄糖過程中，殘留的許多糖蜜可用于醬色生產。生產醬色之前應盡可能徹底除雜，以保證醬色質量。今選用5中除雜方法，每種方法做4次試驗，試驗結果見表5-2，試分析不同除雜方法的除雜效果有無差異？,表5-2 不同除雜方法的除雜量,g/kg,例如，一試驗包含5個處理，如采用t檢驗法進行檢驗，需作

2、=10次兩兩平均數的差異顯著性檢驗；若有k個處理，則要作 k(k-1)/2次類似的檢驗。,下一張,主 頁,退 出,上一張,1、檢驗過程煩瑣,2、無統(tǒng)一的試驗誤差，試驗誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低,對同一試驗的多個處理進行比較時，應該有一個統(tǒng)一的試驗誤差的估計值。若用 t 檢驗法作兩兩比較，由于每次比較需估計一個 ，故使得各次比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計的精確性降低，從而降低檢驗的靈敏性。,例如，試驗有5個處理 ，每個處理 重復 6次，共有30個觀測值。進行t檢驗時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估計試驗誤差 ，誤差自由度為 2(6-1)=10 ；若

3、利用整個試驗的30個觀測值估計試驗誤差 ，顯然估計的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢?，在用t檢法進行檢驗時 ，由 于估計誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。,下一張,主 頁,退 出,上一張,3、推斷的可靠性低，犯 I 型錯誤的概率增大,即使利用資料所提供的全部信息估計了試驗誤差，若用t 檢驗法進行多個處理平均數間的差異顯著性檢驗，由于沒有考慮相互比較的兩個平均數的秩次問題，因而會增大犯 I型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。,所以，多個平均數的差異顯著性檢驗不宜用 t 檢驗，須采用方差分析法。,方差分析是將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測

4、值總變異的偏差平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的偏差平方和及自由度，進而獲得不同變異來源的總體方差估計值；由總體方差估計值構造F統(tǒng)計量，計算F值，檢驗各樣本所屬總體平均數是否相等。,下一張,主 頁,退 出,上一張,方差分析 (analysis of variance) 是由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher于1923年提出的。,方差分析實質上是關于觀測值變異原因的數量分析。,1 方差分析的基本原理與步驟,1.1 線性模型與基本假定 假設某單因素試驗有k個處理，每個處理有n次重復，共有nk個觀測值。試驗資料的數據模式如表5-1所示。,下一張,主 頁,退 出,上一張,下一張,主 頁,退 出,上

5、一張,表5-1 k個處理每個處理有n個觀測值的數據模式,表中 表示第i個處理的第j個觀測值 i=1,2,k；j=1,2,n）；,下一張,主 頁,退 出,上一張,表示第i個處理n個觀測值之和；,表示全部觀測值的總和；,表示第i個處理的平均數；,表示全部觀測值的總平均數；,可以分解為：,表示第i個處理n個觀測值的總體平均數。,（5-1）,為了比較各處理的影響大小，將 再進行分解，令 （5-2） （5-3） 則 （5-4） 其中表示所有試驗觀測值（nk個）總體的平均數；,下一張,主 頁,退 出,上一張,ai 是 第 i 個 處理的效應 （treatment effects）表示處理i對試驗結果產生的

6、影響。顯然有 （5-5） ij是試驗誤差，相互獨立，且服從 正態(tài)分布N（0，2）。 叫做單因素試驗的線性模型（linear model）亦稱數學模型。 觀察值xij表示為總平均數、處理效應i、試驗誤差ij之和。,下一張,主 頁,退 出,上一張,由ij 相互獨立且服從正態(tài)分布N（0，2），可知各處理Ai（i=1，2，k）所屬總體亦應具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(i，2)。盡管各總體的均數 可以不等或相等，2則必須是相等的（外界試驗條件盡可能保持一致，處理效應才可比）。 所以，單因素試驗的數學模型可歸納為： 效應的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質性（ho

7、mogeneity）。這是方差分析的前提條件或基本假定。,下一張,主 頁,退 出,上一張,若將表5-1中的觀測值 xij（i=1,2,k；j=1,2,n）的數據結構（模型）用樣本符號來表示，則 （5-6） 與（5-4）式比較可知， 分 別是、（i-）= 、 （xij- ） = 的估計值。,下一張,主 頁,退 出,上一張,每 個 觀 測 值 都包含處理效應（i - 或 ），與誤差（ 或 )，故kn個觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內的變異兩部分。,由（5-4）、（5-6）兩式可以看出：,1.2 方差分析的基本步驟 1.2.1 偏差平方和與自由度的分解 在方差分析中是用樣本方差即均方（me

8、an squares）來度量數據資料的變異程度。 將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內均方。,下一張,主 頁,退 出,上一張,總偏差平方和：分解為處理間偏差平方和與處理內偏差平方和兩部分； 總自由度：分解為處理間自由度與處理內自由度兩部分來。,（1）總偏差平方和的分解 在表5-1中，反映全部觀測值總變異的總偏差平方和是各觀測值xij與總平均數 的離均差平方和，記為SST。即,下一張,主 頁,退 出,上一張,說明：k，試驗處理個數； n，每個處理的重復數,其中 所以 （5-7） 為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積 ，反映了重復n次的處理

9、間變異 ，稱為處理間偏差平方和，記為SSt，即,下一張,主 頁,退 出,上一張,離均差和為零,為各處理內離均差偏差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內偏差平方和或誤差偏差平方和，記為SSe，即 于是有 SST =SSt+SSe （5-8）,下一張,主 頁,退 出,上一張,總偏差平方和=處理間偏差平方和+處理內偏差平方和 或 =因素偏差平方和+誤差偏差平方和,所以,（2）總自由度的分解 在計算總偏差平方和時，資料中的各個觀測值要受 這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數減1，即kn-1。總自由度記為dfT,下一張,主 頁,退 出,上一張,各偏差平方和計算公式：,(5-9

10、),其中，C= /kn稱為矯正數或修正項。,dfT=kn-1,在計算處理內平方和時，要受k個條件的約束，即 （i=1,2,k。故處理內自由度為資料中觀測值的總個數減k，即kn-k 。處理內自由度記為dfe，,在計算處理間平方和時，各處理均數 要受 這一條件的約束，故處理間自由度為處理數減1，即k-1。處理間自由度記為dft，,下一張,主 頁,退 出,上一張,dft=k-1,dfe=kn-k=k(n-1),所以,下一張,主 頁,退 出,上一張,(5-11),(5-10),因為,綜合以上分析：,各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到總均方、處理間均方和處理內均方， 分別記為 MST（或 ）、MS

11、t（或 ）和MSe（或 ）。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（5-12）,即,注意：總均方不等于處理間均方加處理內均方。,【例5-1】以淀粉為原料生產葡萄糖過程中，殘留的許多糖蜜可用于醬色生產。生產醬色之前應盡可能徹底除雜，以保證醬色質量。今選用5中除雜方法，每種方法做4次試驗，試驗結果見表5-2，試分析不同除雜方法的除雜效果有無差異？,表5-2 不同除雜方法的除雜量,g/kg,單因素試驗，處理數k=5，重復數n=4。各項偏差平方和及自由度計算如下： 矯正數 總偏差平方和,下一張,主 頁,退 出,上一張,處理間（不同除雜方法間）的偏差平方和,處理內（誤差）的偏差平方和,總自由度 處理間自由度

12、 處理內自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便可得到處理間均方MSt及處理內均方MSe。,下一張,主 頁,退 出,上一張,假設各處理沒有真實差異，那么 和 都是誤差方差 的估計量。以 為分母， 為分子，求其比值。統(tǒng)計學上把兩個均方之比值稱為F值。即,1.2.2 構造F統(tǒng)計量，進行F檢驗,（1） F統(tǒng)計量構造,F（df1,df2）,（2） F 檢驗 附表4是專門為檢驗 代表的總體方差是否比 代表的總體方差大而設計的。 若實際計算的F值大于 ，則 F 值在=0.05的水平上顯著，我們以95% 的 可靠性(即冒5%的風險)推斷 代 表 的總體方差大于 代表的總體方差。這種用F值出現概率的大

13、小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為 F檢驗（F-test）。,下一張,主 頁,退 出,上一張,在單因素試驗結果的方差分析中，無效假設為H0：1=2=k，備擇假設為 HA：各 i不全相等，或H0 ： =0，HA: 0； F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(誤差)均方。 如果結論是肯定的，否定H0；反之，接受H0。,下一張,主 頁,退 出,上一張,實際進行F檢驗時 ，是將由試驗資料所算得的F值與根據df1=dft （大均方 ，即分子均方的自由度）、df2=dfe小（均方，即分母均方的自由度）查附表所得的臨界F值 ， 相比較作出統(tǒng)計推斷。 若F ，即P0.05， 不能否定

14、H0，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或 不標記符號；,若 F ， 即 0.01P0.05，否定H0，接受HA， 統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標記“ * ”； 若F ，即P0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異極顯著，在 F 值 的 右上方標記“ * ”。,下一張,主 頁,退 出,上一張,對于【例5.1】， 因為 F=MSt/MSe=32.12/0.65=49.42*； 根據 df1 = dft =4 ， df2 = dfe =15 查附表4，得F0.01(4，15)4.89

15、； 因為 FF0.01(4，15) =4.89，P0.01 表明5種不同除雜方法間的除雜效果差異極顯著，不同除雜方法的除雜效果不同。,下一張,主 頁,退 出,上一張,下一張,主 頁,退 出,上一張,在方差分析中， 通常將變異來源、偏差平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見表5-3。,表5-3 表5-2資料方差分析表,F檢驗是整體檢驗。F值顯著或極顯著，否定了無效假設H0 ，只能表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異或因素水平變化引起的變異，試驗中各處理平均數間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數間有顯著或極顯著差異，

16、哪些差異不顯著。,下一張,主 頁,退 出,上一張,因而，有必要進行兩兩處理平均數間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數間的差異顯著性。,1.2.3 多重比較,統(tǒng)計上把多個平均數兩兩間的相互比較稱為多重比較(multiple comparisons)。 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數法(LSD法)和 最小顯著極差法(LSR法)，現分別介紹如下。,此法的基本作法是： 在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為的最小顯著差數 ，然后將任意兩個處理平均數之差的絕對值 與其比較。,下一張,主 頁,退 出,上一張,(LSD法，least significant difference),（1）最小顯著差

17、數法,LSD 法實質是t 檢驗法,若 LSD時，則 與 在水平上差異顯著；反之，則在水平上差異不顯著。最小顯著差數由下式計算， 式中： 為在F檢驗中的誤差自由度下，顯著水平為的臨界t值， 為 均 數差異標準誤，由下式求得，,下一張,主 頁,退 出,上一張,其中 為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重復數。,(5-17),（5-16）,當顯著水平=0.05和0.01時，從t值表中查出 和 ，代入（5-17）式得：,利用LSD法進行多重比較時，基本步驟如下：,(1) 列出平均數的多重比較表,各處理按其平均數從大到小自上而下排列；,(2) 計算最小顯著差數 和 ；,(3) 將平均數多重比較表中兩兩平均

18、數的差數與 、 比較，作出統(tǒng)計推斷。,下一張,主 頁,退 出,上一張,對例5-1分析，均數之差的標準誤 查t值表得： t0.05(dfe) =t0.05(15) =2.131 t0.01(dfe) =t0.01(15) =2.947 所以，顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數為：,下一張,主 頁,退 出,上一張,將表5-6中的10個差數與 ， 比較：,小于 者不顯著，在差數的右上方標記“ns”，或不標記符號； 介于 與 之間者顯著，在差數的右上方標記“*”； 大于 者極顯著，在差數的右上方標記“*”。,表5-4 5種除雜方法除雜效果多重比較結果 （LSD法）,對于【例5-1】各處理進行多

19、重比較，結果見表5-4。,注：LSD0.05=1.21，LSD0.01=1.68,結論：除A4與A2、A2與A3差異不顯著外，其余方法之間的差異達到顯著或極顯著水平。A4除雜效果最好，A5效果最差。,1、 LSD 法實質上就是t檢驗法。,下一張,主 頁,退 出,上一張,LSD 法的應用說明：,2、LSD法適用于各處理組與對照組比較而處理組間不進行比較的比較形式。,對于多個處理平均數所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點在于方法比較簡便，克服一般檢驗法所具有的某些缺點，但是由于沒有考慮相互比較的處理平均數依數值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯誤概率增大的問題。為克服此弊病，統(tǒng)計學家提出

20、了最小顯著極差法LSR法。,LSR法的特點是把平均數的差數看成是平均數的極差， 根據極差范圍內所包含的處理數（稱為秩次距）k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。在顯著水平上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做 最小顯著極差LSR。,(LSR法 ，Least significant ranges),（2） 最小顯著極差法,例如有10 個要相互比較，先將10個 依其數值大小順次排列， 兩 極 端平均數的差數（極差）的顯著性，由 其 差 數 是 否 大于秩次距k=10時的最小顯著極差決定 (為顯著，為不顯著）；而后是秩次距 k=9 的平均數的極差的顯著性，則由極差是否大于k=9

21、時 的最小顯著極差決定；直到任何兩個相鄰平均數的差數的顯著性由這些差數是否大于秩次距 k=2 時的最小顯著極差決定為止。因此，有 k個平均數相互比較，就有 k-1 種秩次距 （k ， k-1 ，k-2，2），因而需求得k-1個最小顯著極差（LSR，k） ，分別作為判斷具有相應秩次距的平均數的極差是否顯著的標準。,下一張,主 頁,退 出,上一張,LSR法克服了LSD法的不足 ，但檢驗的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗法（q-test，Tukey法）和新復極差法兩種（SSR法，Duncan法）。,式中，R為極差， 為標準誤，其分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。,利用q檢驗法進行多重比較時

22、 ，為了簡便起見，是將極差與 比較，從而作出統(tǒng)計推斷。,下一張,主 頁,退 出,上一張, q檢驗法(q-test) Tukey，1949年提出 此法是以統(tǒng)計量q的概率分布為基礎的。q值由下式求得：,（5-18）,稱為水平上的最小顯著極差,當顯著水平=0.05和0.01時， 從 附 表5（q值表）中根據自由度 及 秩 次 距 k 查出 和 代入（5-19）式求得LSR,即,其中,（5-19）,利用q檢驗法進行多重比較時，步驟如下： （1）列出平均數多重比較表； （2）由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k； （3）將平均數多重比較表中的各極差與

23、相應的最小顯著極差LSR0.05,k， LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。,下一張,主 頁,退 出,上一張,因為MSe=0.65，故標準誤 為 根據dfe=15，k=2、3、4、5， 由 附表5查出=0.05、0.01水平下臨界q值，乘以標準誤 求得各最小顯著極差，所得結果列于表5-8。,對于【例5.1】，各處理平均數q法多重比較見表5-7。 在表5-7中， 極差0.9、0.5、1.8、3.9的秩次距為2；極差1.4、2.3、5.7的秩次距為3；極差3.2、6.2的秩次距為4；7.1的秩次距為5。,表5-7 5種除雜方法除雜效果多重比較結果 （q法）,表5-8 q值及LSR值,將表5-7中

24、的均數差數（極差）與表5-8中相應秩次距k下的LSR比較，檢驗結果標記于表中。 檢驗結果， A4、A2、 A3三者差異不顯著，其余兩兩均數間的差異極顯著。 隨著秩次距的增加，檢驗尺度LSR值也在增加，可以有效地控制犯型錯誤的概率。, 新復極差法（new multiple range method） Duncan，1955年 此法是由鄧肯 (Duncan) 于1955年提出，故又稱Duncan法，此法還稱SSR法(shortest significant ranges)。 新復極差法與q檢驗法的檢驗步驟相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查SSR表（附表6）而不是查q值表。最小顯著極差計算公式

25、為,下一張,主 頁,退 出,上一張,（5-20）,根據顯著水平、誤差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的臨界SSR。=0.05 和 =0.01 水平下 的 最小顯著極差為： 對于【例5.1】分析， =0.403，依dfe=15，k=2、3、4、5，由附表6查臨界SSR0.05(15,k)和SSR0.01(15,k)值，乘以 ，求得各最小顯著極差，所得結果列于表5-9。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-9 SSR值與LSR值,表5-7 5種除雜方法除雜效果多重比較結果 （SSR法）,式中k為試驗的處理數， （i=1,2,k）為第i處理的重復數。,當各處理重復數不等時，為簡便起見，不論L

26、SD法還是LSR法，可用下式計算出各處理的平均重復數n0，以代替計算 或 時所需的n。,（5-21）,以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗尺度關系如下： 當秩次距k=2時，取等號； 秩次距 k 3時，取小于號。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗法尺度最大，新復極差法尺度居中。 一 般 地 講，一 個試驗資料，究竟采用哪一種多重比較方法，主要應根據否定一個正確的 H0 和接受一個不正確的H0的相對重要性來決定。試驗要求嚴格時，用q檢驗法較為妥當。 生物試驗中，由于試驗誤差較大，,下一張,主 頁,退 出,上一張,常采用新復極差法,LSD法新復極差法q檢驗法,（3）多重比較方法的選擇,（4）多重

27、比較結果的表示 常用的表示方法有以下兩種。 三角形法 此法是將多重比較結果直接標記在平均數多重比較表上，如表5-4所示。此法的優(yōu)點是簡便直觀，缺點是占的篇幅較大。 標記字母法 此法是先將各處理平均數由大到小自上而下排列 ；然后在最大平均數后標記字母a，并將該平均數與以 下各平均數依次相比，凡差異不顯著標記同一字母 ，直到某一個與其差異顯著的平均數標記字母b；再以標有字母b的平均數為標準 ，與上方比它大的各個平均數比較，凡差異不顯著一律再加標b ，直至顯著為止；再以標記有字母b的最大平均數為標準，與下面各未標記字母的平均數相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標記字母b，直至某一個與其差異顯著的平均數標記c；

28、如此重復下去，直至最小一個平均數被標記比較完畢為止。這樣，各平均數間凡有一個相同字母的即為差異不顯著，凡無相同字母的即為差異顯著。 占篇幅小，在科技文獻中常見。,下一張,主 頁,退 出,上一張,對于【例5.1】，多重比較結果用字母標記見表5-10。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-10 5種除雜方法除雜效果多重比較結果 （SSR法）,由表5-10可以看出，在0.05水平下，A4與A2、A2與A3均數間差異不顯著，其余均差異顯著；在0.01水平下，A4、A2、A3三者均數間差異不顯著，其余差異顯著。,表5-9 SSR值與LSR值,表5-10 5種除雜方法除雜效果多重比較結果 （SSR法）,

29、1 資料總偏差平方和與自由度的分解； 2 列出方差分析表，計算各項均方和F值，進行F檢驗，以判斷各變異因素的影響大??； 3 若F檢驗顯著，則進行多重比較。,下一張,主 頁,退 出,上一張,方差分析的基本步驟歸納如下,2 單因素試驗資料的方差分析,根據各處理內重復數是否相等，單因素試驗資料的方差分析又分為重復數相等和重復數不等兩種情況。本節(jié)各舉一例予以說明。,下一張,主 頁,退 出,上一張,【例5-2】對某地區(qū)5類海產食品中無機砷含量進行檢測，測定結果見表5-12，其中藻類以干重計，其他4類以鮮重計。試分析不同類型海產品的砷含量差異是否顯著。,下一張,主 頁,退 出,上一張,2.1 各處理重復數

30、相等的方差分析,這是一個單因素試驗，k=5，n=7?，F對此試驗結果進行方差分析： 1、計算各項平方和與自由度,下一張,主 頁,退 出,上一張,2、列出方差分析表，進行F檢驗 表5-13 不同類型海產品無機砷含量方差分析表,下一張,主 頁,退 出,上一張,下一張,主 頁,退 出,上一張,根據df1=dft=4,df2=dfe=30查臨界F值 得：F0.05(4,30) =2.69，F0.05(4,30) =4.02 因為FF0.01(4,30)，即P0.01，表明品種間無機砷含量差異達到1%顯著水平，有極顯著差異。,3、多重比較 采用新復極差法SSR,因為MSe=0.0084，n=7，所以 為：

31、 根據dfe=30，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出=0.05和=0.01的各臨界SSR值，乘以 ，即得各最小顯著極差，所得結果列于表5-14。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-14 SSR值及LSR值,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-14 不同類型海產品無機砷含量差異重比較結果 (SSR法),下一張,主 頁,退 出,上一張,結論： 藻類中無機砷含量極顯著高于貝類、軟體類、甲殼類以及魚類；貝類、軟體類、甲殼類3種海產品無機砷含量差異不顯著，但均極顯著高于魚類。,設處理數為k；各處理重復數為n1，n2，nk；試驗觀測值總數為N=ni。則,下一張,主 頁,退 出,上一張,2.2 各

32、處理重復數不等的方差分析,（5-22）,（5-23）,修正項,1 平方和與自由度的分解,2 多重比較 因為各處理重復數不等，應先計算出平均重復次數n0來代替標準誤 中的n，,下一張,主 頁,退 出,上一張,【例5-3】在食品質量檢查中，對4種不同品牌臘肉的酸價進行了隨機抽樣檢測，結果見表5-16，試分析4種不同品牌臘肉的酸價指標有無差異。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-16 4種品牌臘肉酸價檢測結果,處理數k=4，各處理重復數不等。 方差分析如下：,下一張,主 頁,退 出,上一張,（1）計算各項偏差平方和與自由度,下一張,主 頁,退 出,上一張,臨界F值為：F0.05(3,24) =3

33、.01，F0.01(3,24) =4.72， 因為品牌間的F值 為7.287F0.01(3,24)， 故P0.01，表明4個品牌臘肉的酸價有極顯著差異。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（2）列出方差分析表，進行F檢驗,表5-17 4個品牌臘肉酸價方差分析表,因為各處理重復數不等，應先計算出平均重復次數n0，,下一張,主 頁,退 出,上一張,（3）多重比較,那么，標準誤為：,根據dfe=24，秩次距k=2,3,4，從附表5中查出=0.05與=0.01的臨界q值，計算最小顯著極差，所得結果列于表5-18。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-18 q值及LSR值,表5-19 4個種品牌臘肉酸價

34、多重比較（q法）,下一張,主 頁,退 出,上一張,多重比較結果表明，A2與A4、 A1與A3在5水平上差異不顯著，但A2，A4與A1，A3在5%水平上差異顯著，即A2，A4的酸價高于 A1，A3； A2，A4，A1在1%上差異不顯著，但A2，A4與A3差異顯著， A1與A3在1上差異不顯著。,4 兩因素試驗資料的方差分析,兩因素試驗按水平組合的方式不同，分為交叉分組和系統(tǒng)分組兩類，這里僅以兩因素交叉分組資料為例來說明如何進行方差分析。,下一張,主 頁,退 出,上一張,考查兩個因素對試驗指標的影響情況,4.1 交叉分組資料的方差分析 設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平

35、。 所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配 ，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理 ，試驗因素A 、B在試驗中處于平等地位 。如果將試驗單元分成 ab 個組，每組隨機接受一種處理 ，因而試驗數據也按兩因素兩方向分組，這種試驗數據資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。這種試驗以各處理是無重復觀測值還是有重復觀測值又分為兩種類型。,對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復）， 全試驗共有ab個觀測值，其數據模式如表5-20所示。,下一張,主 頁,退 出,上一張,4.1.1 兩因素無重復試驗資料的方差分析,表5-20 兩因素無重復觀測值的試驗

36、數據模式,注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5-20），xij 為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。,兩因素無重復觀測值試驗資料的數學模型為： 式中， 為總平均數；,下一張,主 頁,退 出,上一張,(5-26),i，j分別為Ai、Bj的效應； i=i-， j=j-， i、j分別為Ai、Bj觀測值總體平均數， 且i=0，j=0； ij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，2),交叉分組兩因素無重復觀測值的試驗，A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B 兩因素及隨機誤差的作用。因此全部 ab

37、個觀測值的總變異可以分解為 A 因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。,下一張,主 頁,退 出,上一張,偏差平方和與自由度的分解如下：,(5-27),矯正數 總平方和 A因素偏差平方和 B因素偏差平方和,(5-28),各項偏差平方和與自由度的計算公式為:,誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB 總自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 誤差自由度 dfe= dfT - dfA dfB =(a-1)(b-1),相應均方為,【例5-4】某廠現有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（T）的檢驗。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續(xù)

38、10天的檢驗分析結果見表5-22。試分析3名化驗員的化驗技術有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20 T ） 。,表5-22 牛奶酸度測定結果,A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數） 有10個水平 ，即 b =10 ， 共有ab=310=30個觀測值。,下一張,主 頁,退 出,上一張,1 計算各項偏差平方和與自由度,2 列出方差分析表，進行F檢驗,下一張,主 頁,退 出,上一張,表6-22 表5-22資料的方差分析表,結果表明，3個化驗員的化驗技術沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。,注：F0.01(9,18）=3.60,3 多重比較 在兩因素

39、無重復觀測值試驗中，A因素每一水平的重復數恰為B因素的水平數b，故A因素的標準誤為 ；同理，B 因 素 的 標準誤,下一張,主 頁,退 出,上一張,對例5-4分析，a=3，MSe=0.0258。故,根據 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，10，查臨界 q 值 ，計算最小顯著極差LSR，見表5-24。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-24 q值與LSR值,B因素各水平均值多重比較結果見5-25,表5-25 不同測定日牛奶酸度多重比較結果（q法）,附表：多重比較結果字母表示*,注：DPS數據分析軟件分析,結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、

40、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質量要求看，連續(xù)10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內。,在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。例如，通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對導致食品腐爛變質的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質量有著重要意義。,下一張,主 頁,退 出,上一張,兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況； 若兩因素間有交互作用， 則每個水平組合中只設 一個試驗單位

41、(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：,下一張,主 頁,退 出,上一張,(1)在這種情況下，SSe,dfe實際上是A、B 兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方 ，主要反映由交互作用引起的變異。 (2)這時若仍按前述方法進行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內），有可能掩蓋試驗因素的顯著性， 從而增大犯型錯誤的概率。 (3) 每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。,交互作用 交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。 在多因素對比試驗中，某些因素對

42、指標的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯(lián)合起來起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨作用所產生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。 例：某農場對四塊大豆試驗田作施肥試驗。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產量如下：,可以看出 當施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產數量是不同的 當施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產數量是不同的 若N, P分別起作用時增產為50, 30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。,對兩因素和多因素等重復試驗結果進行的分析， 可以研究

43、因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應）。,下一張,主 頁,退 出,上一張,4.2 兩因素等重復試驗的方差分析,基本概念,1 簡單效應(simple effect),在某因素同一水平上，另一因素不同水平對試驗指標的影響稱為簡單效應。,在A1（殺菌時間55min）水平上： B2- B 1=5.30； 在A2 （殺菌時間65min ）水平上： B2- B1=-12.80； 在B1 （殺菌溫度116）水平上： A2-A1=10.50； 在 B2 （殺菌溫度121）水平上： A2-A1=-7.60,下一張,主 頁,退 出,上一張,簡單效應,表5-26 不同殺菌時間和溫度搭配下成品固形物含量

44、,在表5-26中，當A因素由A1水平變到A2水平時， A因素的主效應為A2水平的平均數減去A1水平的平均數，即 A因素的主效應=74.40-72.95=1.45 同理，B因素的主效應=71.80-75.55=-3.75,由于因素水平的改變而引起的平均數發(fā)生改變的量稱為主效應。,主效應也就是簡單效應的平均。,2 主效應(main effect),3 交互作用 （互作效應，interaction effect） 在多因素試驗中，一個因素的作用要受到另一個因素的影響，表現為某一因素在另一因素的不同水平上所產生的效應不同，這種現象稱為該兩因素存在交互作用。 在表5-26中： A在B1水平上的效應=80

45、.80-70.30=10.50 A在B2水平上的效應= 68.00-75.60=-7.60 B在A1水平上的效應=75.60-70.30=5.30 B在A2水平上的效應= 68.00-80.80=-12.80,可以看出，A的效應隨著B因素水平的不 同而不同，反之亦然，此時稱A、B兩因素間存在交互作用，記為AB?；蛘哒f，某一因素的 簡單效應隨著另一因素水平的變化而變化時，則稱該兩因素間存在交互作用。 互作效應可由（A1B1+A2B2-A1B2-A2B1）/2來估計。 表5-26中的互作效應為： （70.30+68.00-75.60-80.80）/2=-9.05,下一張,主 頁,退 出,上一張,下

46、一張,主 頁,退 出,上一張,互作效應：實際是指由于兩個或兩個以上試驗因素的相互作用而產生的效應。,設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值。試驗結果的數據模式如表5-27所示。,下一張,主 頁,退 出,上一張,兩因素等重復試驗的方差分析,表5-27 兩因素等重復觀測值試驗數據模式,下一張,主 頁,退 出,上一張,兩因素等重復試驗數據模式（部分）,表5-27中,下一張,主 頁,退 出,上一張,每個組合處理n 次重復之和,B因素第j水平an個數據之和,abn個數據總和,A因素第i水平bn個數據之和,其中， 為總

47、平均數； i為Ai的效應； j為Bj的效應； () ij為Ai與Bj的互作效應。,(6-32),兩因素等重復試驗資料的數學模型為:,分別為Ai、Bj、Ai Bj觀測值總體平均數；且,4.2.1 偏差平方和與自由度分解,下一張,主 頁,退 出,上一張,（5-30）,其中，SSAB，dfAB為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。,為隨機誤差，相互獨立，且服從N（0，2）。,若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為：,下一張,主 頁,退 出,上一張,（5-3

48、1）,矯正數,總平方和與自由度,因素水平組合平方和與自由度,A因素平方和與自由度,（5-32）,各項平方和、自由度及均方的計算公式如下：,B因素平方和與自由度,下一張,主 頁,退 出,上一張,交互作用平方和與自由度,誤差平方和與自由度,所以，相應均方為,因素A的方差,因素B的方差,A、B互作的方差,誤差方差,4.2.2 列方差分析表，進行F檢驗,表5-28 方差分析表（固定模型）,4.2.3 多重比較,表5-29 3種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質量的影響,【例5-5】現有3種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質量的影響試驗結果，試作方差分析,A因素（配方）有3個水平，即a=3；B因素（食品添加劑）

49、有3個水平，即b=3；共有ab=33=9個水平組合；每個水平組合重復數n=3；全試驗共有=333=27個觀測值。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（1） 計算各項平方和與自由度,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-30 方差分析表,（2）列出方差分析表，進行F檢驗,查臨界F值： F0.05（2,18）=3.55，F0.01（2,18）=6.01； F0.01（4,18）=4.58。 因為， FAF0.05(2,18）； FBF0.05(2,18）；FABF0.01（4,18），表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對蛋糕質量有顯著或極顯著影響，而食品添加劑間的差異不顯著。因此，應進一步進行不同

50、處理均數間、配方各水平均數間 的多重比較。, 配方 因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平的標準誤為： 對本例而言，,下一張,主 頁,退 出,上一張,（3）多重比較,由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的 臨 界值 ，計算LSR值 ，結果列于表5-31。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表5-31 配方各水平均數比較SSR值與LSR值,表5-32 配方間平均數多重比較結果（SSR法）,因素A主效應分析，結果表明配方A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。,因B因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標準誤為：,下一

51、張,主 頁,退 出,上一張,在本例，B因素的影響不顯著，不必進行多重比較。,以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數間的多重比較，以 選出最優(yōu)水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。,因為水平組合數通常較大(本例ab=44=16)，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用T檢驗法。所謂T檢驗法 ，實 際 上 就是以q檢測法中秩次距k最大時的LSR值作為檢驗尺度檢驗各水平組合平均數間的差異顯著性。,下一張,

52、主 頁,退 出,上一張,因為水平組合的重復數為n，故水平組合的標準誤為： 本例,下一張,主 頁,退 出,上一張,由 dfe=18， k=2，3，9， 從附表5 中查 出 a=0.05、a=0.01的臨界SSR值，計算出LSR值，然后進行比較判斷得出結論。, 各水平組合平均數間的比較,表5-34 個水平組合平均數多重比較結果（SSR法）,注：DPS軟件分析結果,分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優(yōu)組合，按此組合選用配方和添加劑可望得到較好的蛋糕質量。,以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要

53、），而直接進行各水平組合平均數的多重比較，選出最優(yōu)水平組合。,下一張,主 頁,退 出,上一張,通常水平組合數較大（ab），采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用T檢驗法。所謂T檢驗法 ，實際上就是以q檢測法中秩次距k最大時的LSR值作為檢驗尺度來檢驗各水平組合平均數間的差異顯著性。,下一張,主 頁,退 出,上一張, 簡單效應的檢驗 簡單效應實際上是特定水平組合平均數間的差數。在A因素某水平下對B因素各水平平均數間的比較或在B因素某水平下對A因素各水平平均數間的比較。,下一張,主 頁,退 出,上一張,*4 方差分析的數學模型,4.1 數學模型 方差分析的數

54、學模型就是指試驗資料的數據結構或者說是每一觀測值的線性組成，它是方差分析的基礎。,下一張,主 頁,退 出,上一張,數學模型中的處理效應i(或j、ij)，由于處理性質的不同， 有固定效應 (fixed effect) 和隨機效應 (random effect) 之分。若按處理效應的類別來劃分方差分析的模型，則有三種，即固定模型、隨機模型和混合模型。就試驗資料的具體統(tǒng)計分析過程而言，這三種模型的差別并不太大，但從解釋和理論基礎而言，它們之間是有很重要的區(qū)別的。不論設計試驗、解釋試驗結果，還是最后進行統(tǒng)計推斷，都必須了解這三種模型的意義和區(qū)別。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（1）固定模型（fix

55、ed model） 在單因素試驗的方差分析中，把k個處理看作k個明晰的總體。如果研究的對象只限于這k個總體的結果，而不需推廣到其它總體；研究目的在于推斷這k個總體平均數是否相同，即在于檢驗k個總體平均數相等的假設H0：1=2=k；H0被否定，下步工作在于作多重比較；重復試驗時的處理仍為原k個處理。這樣，則k個處理的效應(如i=i-)固定于所試驗的處理的范圍內，處理效應是固定的。這種模型稱為固定模型。一般的比較性試驗均屬固定模型。,下一張,主 頁,退 出,上一張,在單因素試驗中 ，k個處理并非特別指定，而是從更大的處理總體中隨機抽取的k個處理而已，即研究的對象不局限于這k個處理所對應總體的結果，

56、而是著眼于這k個處理所在的更大的總體；研究的目的不在于推斷當前k個處理所屬總體平均數是否相同，而是從這k個處理所得結論推斷所在大總體的變異情況，檢驗的假設一般為處理效應方差等于零，即H0: =0；如果H0被否定，進一步的工作是估計 ；重復試驗時 ，可 在大處理總體中隨機抽取新的處理。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（2）隨機模型（random model）,這樣，處理效應并不固定，而是隨機的，這種模型稱為隨機模型。隨機模型在遺傳、育種和生態(tài)試驗研究方面有廣泛的應用。如，為研究中國蘋果不同品種間果肉軟硬度的變異情況，從大量地方品種中隨機抽取部分品種為代表進行試驗，其結果推斷中國蘋果不同品種間果肉軟硬度的變異情況，這就屬于隨機模型。 在多因素試驗中，若各因素水平的效應均屬隨機，則對應于隨機模型。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（3）混合模型（mixed model） 在多因素試