同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》(第四版)2-6節(jié)_隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_相關(guān)變化率

1、,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1. 隱函數(shù)的概念 所謂函數(shù)y=f(x)表示的是兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在某種情況下，可以用一個(gè)較為明確的關(guān)系式來(lái)表示. 例如, y=xn, y=sinx都反映了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 這類關(guān)系的特點(diǎn)是：對(duì)自變量的每一個(gè)取值，都可以通過(guò)表達(dá)式確定一個(gè)唯一的因變量的取值用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為顯函數(shù),但某種情況下，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是通過(guò)一個(gè)方程F(x,y)=0來(lái)確定的通過(guò)方程可以確定x和y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但這個(gè)關(guān)系不能象顯函數(shù)那樣用一個(gè)顯式方程來(lái)表示例如方程 x+y3-1=0 就在區(qū)間(+)上確定了一個(gè)隱函數(shù)y=y(x)。 又如方程, x2+y2=1當(dāng)限定y0，則在區(qū)間(-1, 1

2、)內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在某些情況下，隱函數(shù)能轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，例如x+y3-1=0，相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化成 但在某些情況下，并不能把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)例如 由 所確定的隱函數(shù)就很難把它表達(dá)成一個(gè)顯函數(shù)的形式,隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)。,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1. 隱函數(shù)的概念,然后, 從這個(gè)式子中解出 y , 就得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,例1,解,解得,注意：y是x的函數(shù)，則y的函數(shù)f(y)視為x的復(fù)合函數(shù)。,例2,解,所求切線方程為,顯然通過(guò)原點(diǎn).,例3,解,解 將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：,因?yàn)楫?dāng) x = 0時(shí)，從原方程可以解得 y = 0,

3、練一練,所以,解 將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：,將上式兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)得：,注意 y 是 x 的函數(shù),例4,二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,所謂對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，是通過(guò)其對(duì)數(shù)的方法，求出一些較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)它所針對(duì)的對(duì)象主要是： 1.冪指函數(shù) 2.多個(gè)函數(shù)乘積形式,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,兩邊取對(duì)數(shù)，得,將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)（注意 y 是 x 的函數(shù)）得：,解法2,解法1,轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接求導(dǎo)法,轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,例5,一般地，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)冪指函數(shù) 求導(dǎo)，可得到一般公式：,練習(xí) 設(shè),解答,兩邊取對(duì)數(shù)，得,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)（注意 y 是 x 的函數(shù)）得：,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、

4、開方運(yùn)算 為主的函數(shù)的求導(dǎo)。,例6,解,練一練,解,解,所以,(3),解,等式兩邊取對(duì)數(shù)得,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在平面解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了用參數(shù)來(lái)表示曲線，例如，參數(shù)方程,表示的中心在原點(diǎn)、半徑為r的圓通過(guò)參數(shù) 可以建立y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如,消去參數(shù),問(wèn)題: 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?,由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,例6,解,所求切線方程為,例7,解,例8,解,練習(xí),解,四、相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問(wèn)題:,已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?,例9 設(shè)圓的面積為A， 半徑為 ，如果半徑 以 3mm/s的速度增加，求面積A的增加速度。,所以,而,所以,例10,解,仰角增加率,例11,解,水面上升之速率,五、小結(jié),隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);,參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;,相關(guān)變化率: 通過(guò)函