同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》(第四版)2-6節(jié)_隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_相關(guān)變化率

1、,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1. 隱函數(shù)的概念 所謂函數(shù)y=f(x)表示的是兩個變量x和y之間的關(guān)系這種對應(yīng)關(guān)系在某種情況下，可以用一個較為明確的關(guān)系式來表示. 例如, y=xn, y=sinx都反映了這種對應(yīng)關(guān)系 這類關(guān)系的特點是：對自變量的每一個取值，都可以通過表達式確定一個唯一的因變量的取值用這種方式表達的函數(shù)稱為顯函數(shù),但某種情況下，這種對應(yīng)關(guān)系是通過一個方程F(x,y)=0來確定的通過方程可以確定x和y的對應(yīng)關(guān)系，但這個關(guān)系不能象顯函數(shù)那樣用一個顯式方程來表示例如方程 x+y3-1=0 就在區(qū)間(+)上確定了一個隱函數(shù)y=y(x)。 又如方程, x2+y2=1當限定y0，則在區(qū)間(-1, 1

2、)內(nèi)確定了一個隱函數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在某些情況下，隱函數(shù)能轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，例如x+y3-1=0，相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化成 但在某些情況下，并不能把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)例如 由 所確定的隱函數(shù)就很難把它表達成一個顯函數(shù)的形式,隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 將方程兩邊同時對自變量x求導(dǎo)。,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1. 隱函數(shù)的概念,然后, 從這個式子中解出 y , 就得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,例1,解,解得,注意：y是x的函數(shù)，則y的函數(shù)f(y)視為x的復(fù)合函數(shù)。,例2,解,所求切線方程為,顯然通過原點.,例3,解,解 將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得：,因為當 x = 0時，從原方程可以解得 y = 0,

3、練一練,所以,解 將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得：,將上式兩邊再對 x 求導(dǎo)得：,注意 y 是 x 的函數(shù),例4,二、對數(shù)求導(dǎo)法,所謂對數(shù)求導(dǎo)法，是通過其對數(shù)的方法，求出一些較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)它所針對的對象主要是： 1.冪指函數(shù) 2.多個函數(shù)乘積形式,對數(shù)求導(dǎo)法,兩邊取對數(shù)，得,將方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)（注意 y 是 x 的函數(shù)）得：,解法2,解法1,轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接求導(dǎo)法,轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對數(shù)求導(dǎo)法,例5,一般地，利用對數(shù)求導(dǎo)法對冪指函數(shù) 求導(dǎo)，可得到一般公式：,練習(xí) 設(shè),解答,兩邊取對數(shù)，得,兩邊對 x 求導(dǎo)（注意 y 是 x 的函數(shù)）得：,對數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、

4、開方運算 為主的函數(shù)的求導(dǎo)。,例6,解,練一練,解,解,所以,(3),解,等式兩邊取對數(shù)得,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在平面解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了用參數(shù)來表示曲線，例如，參數(shù)方程,表示的中心在原點、半徑為r的圓通過參數(shù) 可以建立y與x的對應(yīng)關(guān)系：,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如,消去參數(shù),問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?,由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,例6,解,所求切線方程為,例7,解,例8,解,練習(xí),解,四、相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題:,已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?,例9 設(shè)圓的面積為A， 半徑為 ，如果半徑 以 3mm/s的速度增加，求面積A的增加速度。,所以,而,所以,例10,解,仰角增加率,例11,解,水面上升之速率,五、小結(jié),隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對方程兩邊求導(dǎo);,對數(shù)求導(dǎo)法: 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);,參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;,相關(guān)變化率: 通過函