人教版八年級數(shù)學全等三角形的常見模型總結(jié).docx

1、人教版八年級數(shù)學全等三角形常見模型總結(jié)要點梳理一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應相等一邊一銳角對應相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應邊相等，對應角相等（其他對應元素也相等，如對應邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應邊相等全等三角形的判定與性質(zhì)類型一：角平分線模型應用1. 角平分性質(zhì)模型：（利用角平分線的性質(zhì)） 輔助線：過點G作GE射線AC例題解析例：（1）如圖1，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是 cm.（2）如圖2，已知，1=2，3=4，求證：AP平分BAC

2、.圖1圖2【答案】2 （提示：作DEAB交AB于點E），.類型二：角平分線模型應用2. 角平分線，分兩邊，對稱全等(截長補短構(gòu)造全等) 兩個圖形的輔助線都是在射線OA上取點B，使OB=OA，從而使OACOBC.例題解析例1：在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。證明：如圖（1），過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，B

3、D=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變

4、換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。例2：如圖所示，在中，是的外角平分線，是上異于點的任意一點，試比較與的大小，并說明理由 ，理由如下如圖所示，在的延長線上截取，連接因為是的外角平分線，故在和中，公用，因此，從而在中，而，故 例3：在中，是的平分線是上任意一點求證： 在上截取，連結(jié)，根據(jù)證得，又中，類型三：等腰直角三角形模型1、在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90，使ACMABD，從而推出ADM為等腰直角三角形.（但是寫輔助線時不能這樣寫）（2）過點C作MCBC，連AM導出上述結(jié)論.2、

5、定點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連AD.（1）. 使BF=AE（AF=CE），導出BDFADE. （2）. 使EDF+BAC=180，導出BDFADE. 例題解析例1：兩個全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD得中點M，連接ME，MC，試判斷EMC的形狀，并證明。證明：連接AM，證明MDEMAC.特別注意證明MDE=MAC. 例2：已知：如圖所示，RtABC 中，AB=AC，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM. （1）是判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當

6、M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？思路：兩種方法： 類型四：三垂直模型（弦圖模型） 由ABEBCD導出 由ABEBCD導 由ABEBCD導出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD例題解析例1：已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，D為AC中點，AFBD于E，交BC于F，連接DF。求證：ADB=CDF. 思路：方法一: 過點C作MCAC交AF的延長線于點M.先證ABDCAM，再證 CDF CMF即可. （一） （二） （三）方法二：過點A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證ABHCAF， 再證 CDF ADH即可.方法三：過點A

7、作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分別為線段AC、BC的中點，可得MD為ABC的中位線從而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD為線段HF的中垂線. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，則ADB=CDF .類型五：手拉手模型1.ABE和ACF均為等邊三角形 結(jié)論：（1）. ABFAEC （2）.BOE=BAE=60（“八字模型證明”）（3）.OA平分EOF 拓展： 條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ為等邊三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （

8、6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）2.ABD和ACE均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、BE=CD （2）BECD 3.ABEF和ACHD均為正方形 結(jié)論：（1）、BDCF （2）、BD=CF四、半角模型條件：a = 1 b, 且b+q=180，b 兩邊相等 .2思路：1、補短（旋轉(zhuǎn)）輔助線：延長 CD 到 E，使 ED=BM，連 AE 或延長 CB 到 F，使 FB=DN，連 AF將ADN 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90得ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證 F、B、M三點共線結(jié)論：（1）MNBMDN；（2） CVCMN =2 AB ；（3）AM、AN 分別平分BMN、MND .2、翻折（對稱）輔助線：作 APMN 交 MN 于點 P將ADN、ABM 分別沿 AN、AM 翻折，但一定要證明 M、P、N 三點共線 .例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分別在邊 BC、CD 上移動，且滿足 MNBMDN， 求證：（1）MAN45；（2