期末試題解答.doc

清華大學本科生考試試題專用紙考試課程微積分2(A)2005年6月20日姓名學號班級一、選擇題（每小題分，共分）1設正項級數1nna收斂，則)1()1(1nannnB.A絕對收斂；.B條件收斂；.C發(fā)散；.D不能確定2設冪級數0)2(nnnxa在點30x收斂，則級數0nnaA.A絕對收斂；.B條件收斂；.C發(fā)散；.D不能確定3設nx是一個數列，pn,是任意自然數下列哪一個條件可以推出nx是柯西列？C.A2|npnxxnpn；.B2ln|npxxnpn；.Cpnxxnpn1|；.D22|pnnpxxnpn4若瑕積分10dln)1(xxxx收斂，則和的取值范圍是D.A0,1；.B0,0；.C1,2；.D2,15設)(xf在),0存在二階導數，且1)0(f，0)0(f，0)(cxf（其中c是一個正數）則)(xf在),0(的零點個數為B.A2；.B1；.C0；.D3二、填空題（每小題分，共分）6若冪級數0nnnxa的收斂域為)2,2，則冪級數02)1(nnnxa的收斂域為)21,21(7設)(2)(xxxf，10)sincos(2nnnnxbnxaa是)(xf的傅立葉級數則2006a08設)(xf是周期等于2的函數，在區(qū)間1,1(的表達式為22)(xxfx其傅里葉級數為00)sincos(2nnnxnbxnaa的和函數為)(xS，則)1(S等于499已知11)d(e2xpx，收斂，則正數p的取值范圍是21p10設)(xf為可導函數，1)(af，1)(bf若函數列)()1()(xfnxfnxn在區(qū)間,ba一致收斂，則bannxxd)(lim2三、解答題（共60分）11(12分)用比階判別法證明反常積分0d)1ln(xxxx收斂，然后計算解：0d)1ln(xxxx10d)1ln(xxxx211d)1ln(IIxxxx對于1I，1)(lim0xfxx，所以收斂；對于2I，0)(lim34xfxx，所以收斂；結論：原積分收斂。0d)1ln(xxxx00d)1(12)1ln(2xxxxx2d114d)1(12)1ln(20200ttxxxxx12(10分)寫出)21ln(2x的馬克勞林級數（即)21ln(2x在點00x的泰勒級數），求這個冪級數的收斂域解：)1ln(x11)1(nnnnx)21ln(2x12nnnx冪級數的收斂半徑等于當1x時，冪級數均發(fā)散，所以冪級數為13(10分)求冪級數2)1(nnxnn的收斂域，并求該冪級數的和函數解：冪級數2)1(nnxnn的收斂半徑為，收斂區(qū)間和收斂域均為)1,1(求和方法：)()11(0nnxx，223)1()1(2nnxnnx于是2)1(nnxnn32222)1(2)1(xxxnnxnn求和方法2：令2222)1()1(nnnnxnnxxnn)(2xSx，則)()1(d)1(d)(11212020xSxnnxttnnttSnnnnnxnxxxxxttnttSnnnnnxnx1d)1(d)(202111001xx11)1(于是3)1(211)1()(xxxxS,)()1(22xSxxnnnn32)1(2)(xxxS14(12分)設a為任意正數（1）求函數級數122)1(nnnxx的收斂域；（2）對任意正數a，證明122)1(nnnxx在區(qū)間,aa一致收斂,指出該函數級數和函數的連續(xù)區(qū)間解：(1),(x，122)1(nnnxx是正項級數，根據比值判別法得到11lim221xxuunnn，所以級數收斂域為),(2)0)1()1(2)1(2121222nnnnnxxnxxx所以)(xun在,0a單調增加,在0,a單調減少于是|)(maxaxaxun1)1()(22nnnaaau正項級數122)1(nnnaa收斂，于是根據比較判別法推出122)1(nnnxx在區(qū)間,aa一致收斂和函數在,aa連續(xù)，由于正數a的任意性，推出函數在,連續(xù)。15(8分)假設)(xF在區(qū)間,ba存在黎曼可積的導數)(xf求證)()(d)(aFbFxxfba解：由微分中值定理，),2,1()()()(11nixxfxFxFiiiii（其中),(1iiixx）于是niiixFxFaFbF11)()()()(niiiixxf11)(當n時，baniiiixxfxxfd)()(11，所以由上式得到baxxfaFbFd)()()(16(8分)假設正值函數)(xf以為周期，)(xf在區(qū)間,0黎曼可積令nnnxxxxfa)1(d1sin)(（,2,1n），求證級數1nna是收斂的交錯級數解：注意到xxfsin)(在)1(,nn可積不變號，11x在)1(,nn