1_6354511_24.由函數(shù)的凸凹性生成的高考試題

中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 由函數(shù)的凸凹性生成的高考試題 生成 不等式 的 一個(gè) 母題 由函數(shù)的凸凹性可得琴生不等式 ,由琴生不等式已生成一類高考試題 ,相信 還會(huì)繼 續(xù) 生成高考試題 ,為脫去 琴生不等式的高等數(shù) 學(xué) 外衣 ,為中學(xué)數(shù)學(xué)所用 ,我們構(gòu)造如下母題 . 母題結(jié)構(gòu) :( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導(dǎo) ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調(diào)遞減 ,則對(duì)任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號(hào)成立 ; ( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導(dǎo) ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調(diào)遞增 ,則對(duì)任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號(hào)成立 . 母題 解 析 :( )設(shè) x ,p1+ +,則 +x +(1x + ( +pn)x p2(p3( +pn( 0成立 ;又由 f (x)在區(qū)間 調(diào)遞減 f (x) f ( +令 g(x)=x)+ +f( +x 則 g (x)=(x)( + 0 g(x)在 x g(x) g(p1+p2)f( +f(p1+p2) + (p1+p2+p3)f( + f(f(p1+p2+p3) + (p1+ +pn)f(f(p1+ +pn)f(f(0 g( 0 f( + +當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號(hào)成立 ;同理可證 ( ). 子題類型 :(1994 年全國(guó)高考 理科 試題 )已知函數(shù) f(x)=x (0,2),若 x1,(0,2),且 明 : 21f(f(f(2 21 . 解析 :先證明如下命題 :若 f(x)在區(qū)間 (0,2)上連續(xù) 可導(dǎo) ,且 f (x)在區(qū)間 (0,2)上 單調(diào)遞增 ,則 當(dāng) x1,(0,2),且21f(f(f(221 ;不妨設(shè) 0f (221; 令 g(x)=21f(x)+f(2,則 g (x)=21f (x)(220 g(x)在區(qū)間 (0, 單調(diào)遞增 g(x)g(0 g(0 21 f(f(f( 221 ); 當(dāng) x (0,2)時(shí) ,由 f(x)=f (x)=f (x)= f (x)在區(qū)間 (0,2)上 單調(diào)遞增 21f( f(f(221 . 點(diǎn)評(píng) :利用母題解決問(wèn) 題 ,首先要證明題 中對(duì)應(yīng)的 母題 中的命題 ,有時(shí)解決一般性問(wèn)題比解決其特殊問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多 ,這也是我們構(gòu)造 母題 的原因之一 . 子題類型 :(2005 年全國(guó) 高考試題 )( )設(shè)函數(shù) f(x)=1-x)00),則 g (x)=區(qū)間 (0,+ )上 單調(diào)遞增 ; ( )由2 )1()( g(2 )1( ) f(x)=g(x)+g(1 2g(21)=且僅當(dāng) x=1 x=21時(shí)等號(hào)成立 f(x)的最小值 為 ( )由n )()()()( 321 g(n 2321 )=g( +=g(g(g( +g( 點(diǎn)評(píng) :本題中的第 ( )問(wèn)是在不等式 :2 )()( 21 g(2 21 )中取 x1=x,第 ( )問(wèn)是在不等式 :g( + +其中 ,p1+ +)中 取 n,且 xi=巧妙選取 n,xi,是利用母題證明或構(gòu)造 不等式 的關(guān)鍵 . 子題類型 :(2012年 湖北 高考試題 )( )已知函數(shù) f(x)=1x0),其中 且 00,時(shí) ,令 g(x)=x0),則 g (x)在區(qū)間 (0,+ )上 單調(diào) 遞減 21 2211bb 211 (b1+) ( )推廣 命題 :設(shè) 0,k=1,2, ,n).若 b1+ +,則 b +證明 :當(dāng) ak(k=1,2, ,n)中 至少 有一個(gè)為 0 時(shí) ,則 +當(dāng) (k=1,2, ,n)時(shí) ,令g(x)=x0),則 g (x)在區(qū)間 (0,+ )上 單調(diào) 遞減 n 21 2211 21 2211(b1+ +1) b an +點(diǎn)評(píng) :由 b ln(b1+)21 2211bb 211 ,對(duì)比母題中的不等式 ,類比聯(lián)想到 應(yīng)研究 函 數(shù) g(x)=用母題證明 不等式 的關(guān)鍵 是由待 證 不等式 ,類比聯(lián)想到應(yīng)研究函數(shù) . 1.(1994 年全國(guó)高考 文科 試題 )已知函數(shù) f(x)=x0,且 a 1,x R+),若 x1,R+,判斷2 )()( 21 與 f(2 21 )的大小 ,并加以證明 . 2.(2010 年 陜西 高考試題 )已知函數(shù) f(x)= x ,g(x)=a R. ( )若曲線 y=f(x)與曲線 y=g(x)相交 ,且在交點(diǎn)處有共同的切線 ,求 a 的值和該切線方程 ; ( )設(shè)函數(shù) h(x)=f(x)-g(x),當(dāng) h(x)存在最小值時(shí) ,求其最小值 (a)的解析式 ; ( )對(duì) ( )中的 (a)和任意的 a0,b0,證明 : (22 )()( (). 3.(2006年四川高考試題 )己知函數(shù) f(x)=x2+x2+x0),f(x)的導(dǎo)函數(shù)是 f (x),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù) x1,明 : ( )當(dāng) a 0 時(shí) ,2 )()( 21 )2( 21 ; ( )當(dāng) a 4 時(shí) ,|f (f (| 4.(2004 年全國(guó) 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=+x)-x,g(x)=( )求函數(shù) f(x)的最大值 ; ( )設(shè) 01 時(shí) ,f (x)在 (0,+ )上單調(diào)遞減 2 )()( 21 f(2 21 ); 當(dāng) 00); 當(dāng) a 0時(shí) ,h (x)0 h(x)在 (0,+ )上遞增 ,無(wú)最小值 ; 當(dāng) a0時(shí) ,h(x)的最小值 (a)=h(42a(1 ( )由 (a)=2a(1 (a)= (x)=0,+ )上單調(diào)遞增 (22 )()( ;由2 )()( () 2 4()2 (a+b)2 4立 . ( )由 f(x)=x2+x2+f (x)=2 f(x)=2+34 a 0 時(shí) ,f (x)0 f (x)在 (0,+ )上 單調(diào)遞增 2 )()( 21 )2( 21 ; ( )由 f (x)=2+34當(dāng) a 4時(shí) ,f (x)在 (0,+ )上 單調(diào)遞增 ;不妨設(shè) x1| f (f (x2f (當(dāng) a 4 時(shí) ,g(x)=f (x) (0,+ )上 單調(diào)遞增 ;由 g (x)=f (x)+34當(dāng) a 0 時(shí) ,g (x)0;當(dāng) g (x)0 g(x)在 (0,+ )上 單調(diào)遞增 . ( )由 f(x)=+x)-x(x f (x)=x11 f(x)的最大值 =f(0)=0; ( )由 g(x)=g (x)= 在 (0,+ )上單調(diào)遞增 g(221g(a)+g(b) g(a)+g(b)0;令h(x)=g(a)+g(x)-(xa),則 h (