20_6354421_34.逐項(xiàng)比較法巧證一類函數(shù)和型不等式

中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 逐項(xiàng)比較法巧證一類函數(shù)和型不等式 證明一類 函 數(shù) 和型 不等式 的 通法 把 證明不等式 g(n) f(n)(其中 ,前 n 項(xiàng)和 或 前 n 項(xiàng) 積 ,f(n),g(n)都 是關(guān)于 n 的非常數(shù)函數(shù) )與 函數(shù) 和導(dǎo) 數(shù) 綜合是目前高考的熱點(diǎn)題型 ,我們稱為函數(shù)和型不等式 ,對(duì)此類問(wèn)題 可 統(tǒng)一使用 逐項(xiàng)比較 法 分析 解決 . 母題結(jié)構(gòu) :己知 前 n 項(xiàng)和 ,f(n),g(n)都 是關(guān)于 n 的非常數(shù)函數(shù) ,證明 :g(n) f(n); 母題 解 析 :構(gòu)造數(shù)列 x1=f(1),當(dāng) n 2 時(shí) ,xn=f(n)-f(y1=g(1),當(dāng) n 2 時(shí) ,yn=g(n)-g(則 ang(n) f(n),即要證 g(n) f(n),只須證 :子題類型 :(2010 年湖北高考試題 )已知函數(shù) f(x)=ax+xb+c(a0)的圖像在點(diǎn) (1,f(1)處 的切線方程為 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范圍 ; ( )證明 :1+21+31+ +n1ln(n+1)+)1(2 nn(n 1). 解析 :( )由 f(1)=a+b+c=0,f (1)= b=c=1 )令 g(x)=f(x)ax+1 g (x)=1xa();當(dāng) 01 g(x)在 (1,)上遞減 g(x) f(x) 令 a=21,x= 1+ 點(diǎn)評(píng) :己知 是數(shù)列 前 若 an 證明和型 函 數(shù) 不等式的基礎(chǔ) . 比較 子題類型 :(2012 年 四川 高考理 科 試題 )已知 a 為正實(shí)數(shù) ,n 為自然數(shù) ,拋物線 y=x 軸正半軸相交于點(diǎn) A,設(shè) f(n)為該拋物線在點(diǎn) A 處的切線在 y 軸上的截距 . ( )用 a 和 n 表示 f(n); ( )求對(duì)所有 n 都有1)( 1)( nf 33a 的最小值 ; ( )當(dāng) 04n=(1+3)n 23a 的最小值 = 17 ; ( )令 2()( 1 =nn 1;由427 )1()0( )()1( ff =427 n 1是 數(shù)列 ,當(dāng) n 2 時(shí) ,27n 項(xiàng)和 ;則 bnnn 1427 x=(0,1)21427x 274;由 21213 )22( 3 =274,等號(hào)僅在 x=32時(shí) 成立 nk 2()( 1427 )1()0( )()1( ff . 點(diǎn)評(píng) :函數(shù)形式的突出特點(diǎn)是 :待證不等式 an需采用換元 x=h(n),并求 則 an=f(x)g(x),然 后 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 f(x)g(x),從而間接證明不等式 an子題類型 :(2007 年 四川 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=(1+n1)x(n N,且 n1,x R). ( )當(dāng) x=6 時(shí) ,求 (1+n1) ( )對(duì)任意的實(shí)數(shù) x,證明 :2 )2()2( f (x)(f (x)是 f(x)的 導(dǎo) 函數(shù) ); ( )是否存在 a N,使得 2(1+n1)+2f (x)2 )2()2( f (x); ( )令 1+n1)n,即 是否存在 a N,使得 n1;由 +x)0) + . ( )求 a 的值 ; () 若對(duì)任意的 x 0,+ ),有 f(x) 求實(shí)數(shù) k 的最小值 ; () 證明 : ni 22n+1)0,且 a 1),g(x)是 f(x)的反函數(shù) . ( )設(shè)關(guān)于 x 的方程 )(1( 2 xx t =g(x)在區(qū)間 2,6上有實(shí)數(shù)解 ,求 ( )當(dāng) a=e 時(shí) ,證明 :nk ()1(222 nn 3.(2011 年 四川 高考試題 )已知 函數(shù) f(x)=32x+21,h(x)= x . ( )設(shè)函數(shù) F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值 ; () 設(shè) a R,解關(guān)于 x 的方程 ;3f(43= () 試比較 f(100)h(100)-1001 )(k 4.(2012 年 四川 高考 文 科 試題 )已知 拋物線 y=,設(shè) f(n)為該拋物線在點(diǎn) A 處的切線在 y 軸上的截距 . ( )用 a 和 n 表示 f(n); ( )求對(duì)所有 n 都有1)( 1)( nf a 的最小值 ; ( )當(dāng) 00;當(dāng) k 21 時(shí) ,g (x) 0 g(x) g(0)=0 f(x) 當(dāng) 0g(0)=0 f(x)盾 21; () 令 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 n+1)+2,則 x1=,當(dāng) n 2 時(shí) ,xn=n+1)此時(shí) ,122 k=11;所以 ,g(k) 利用導(dǎo)數(shù)易證 ,所以nk ()1(222 nn ( )由 F (x)=32F(x)的 遞減 區(qū)間 是 (0,169 ),遞增 區(qū)間 是 (169 ,+ ),F(x)的極 小 值 F(169 )=81 ,無(wú) 極 大 值 ; () 由 3f(43= a+4=0 當(dāng) 45 時(shí) ,無(wú)解 ; () 設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 f(k)g(k) ,當(dāng) 2 k 100 時(shí) ,34 k k 1k k =61(4 k -(41k =61 1)14()34( )1()14()34(22 11)14()34( 1 k f(100)h(100)-1001 )(k 1. ( )由 A(20)y =拋物線在點(diǎn) A 處的切線 :y= f(n)=( )由 f(n)=)( 1)( nf 2n+1;取 n=1 得 :a 3;當(dāng) a=3 時(shí) ,3 n 1+2n+1 成立 ;綜上 ,a 的最小值 =3; ( )令 2()( 1 =nn 1;由 6)1()0( )1()1( ff =6n 1 1是 數(shù)列 n 項(xiàng)和 ;則 anbnnn 16令 x=(0,1)216x )1()0( )1()1( ff . ( )由 g(x)=(x 0),用數(shù)學(xué)歸納可證明 :gn(x)=;( )設(shè) h(x)=f(x)x)(x 0),則 h (x)=x11( h (0) 0 a 1;當(dāng) a 1 時(shí) ,h (x)=2)1( 1x 0