學(xué)科教育論文-方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì).doc

學(xué)科教育論文-方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì)摘要：準(zhǔn)確把握方程思想是進(jìn)行方程課程設(shè)計(jì)、教科書編寫和教學(xué)實(shí)施的必要前提和重要基礎(chǔ)。方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過(guò)程，一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過(guò)程。方程思想的核心在于建模、化歸。方程的學(xué)習(xí)，從一開始就應(yīng)該讓學(xué)生接觸現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，學(xué)習(xí)建模，學(xué)習(xí)把日常生活中的自然語(yǔ)言等價(jià)地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，得到方程，進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題；而解方程的設(shè)計(jì)要點(diǎn)在于再現(xiàn)化歸的思想方法。關(guān)鍵詞：方程；數(shù)學(xué)思想；課程設(shè)計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)隨著教育改革的不斷深入，與中小學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分內(nèi)容一樣，人們對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)也在悄悄地發(fā)生著變化。一些參與數(shù)學(xué)新課程設(shè)計(jì)、課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書編寫的專業(yè)人員，教學(xué)一線上從事數(shù)學(xué)課程實(shí)施的廣大教師、教研員，甚至專門從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的高校教學(xué)研究人員，對(duì)方程思想的模糊認(rèn)識(shí)、困惑甚至迷茫，或多或少地阻礙了數(shù)學(xué)課程改革的進(jìn)程。為此，東北師范大學(xué)從事數(shù)學(xué)教育研究的人員，在數(shù)學(xué)教育博士生導(dǎo)師、校長(zhǎng)史寧中教授的帶領(lǐng)下，通過(guò)專題訪談、研討班、座談會(huì)等多種形式，對(duì)包括方程思想在內(nèi)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中的一系列重大的熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了系列研究。本文就是史寧中教授系列訪談錄中的第一篇。訪談形式：專題訪談，三人對(duì)話，并輔以資料查詢。訪談的核心問(wèn)題：方程的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在哪些方面？方程思想的核心到底是什么？學(xué)生為什么必須學(xué)習(xí)方程（方程的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)內(nèi)容有哪些影響）？對(duì)中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)來(lái)說(shuō)，方程課程教材設(shè)計(jì)的重點(diǎn)應(yīng)放在哪些方面？一、方程思想的本質(zhì)問(wèn)：史教授，方程長(zhǎng)期以來(lái)一直是中小學(xué)數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。您能不能談一談方程思想的核心到底是什么？學(xué)生為什么必須學(xué)習(xí)方程？史教授：方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：（1）建模思想；（2）化歸思想，如在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為x=a的形式。雖然大學(xué)高等代數(shù)中有方程的矩陣解法，但是，對(duì)中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，用這種解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。事實(shí)上，矩陣解法涉及的因素太多，不符合這個(gè)年齡段兒童的特點(diǎn)。對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面：一方面是建模，另一方面是會(huì)解方程。對(duì)于后者來(lái)說(shuō)，解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，即將新的問(wèn)題化歸為以前可以解決的問(wèn)題，利用以前的算法解決。這種化歸、迭代的思想正是當(dāng)代計(jì)算機(jī)的思想。長(zhǎng)期以來(lái)，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育界一直存在這樣的觀點(diǎn)：一元一次方程比小學(xué)四則算術(shù)進(jìn)步，但兩者沒(méi)有本質(zhì)的不同。其實(shí)不然，兩者有本質(zhì)的區(qū)別：小學(xué)四則運(yùn)算僅僅提供一種算法，而一元一次方程則比較全面地展示了建模思想用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號(hào)的左右兩邊等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用自然語(yǔ)言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號(hào)左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一。方程一般有兩種情況出現(xiàn)，一種是僅出現(xiàn)未知數(shù)，另一種是既出現(xiàn)未知數(shù)，也出現(xiàn)未知的系數(shù)。在目前的初中數(shù)學(xué)中，只存在含未知數(shù)的方程這樣一種情況，沒(méi)有含未知系數(shù)的方程。但是，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，將出現(xiàn)大量含有可以變動(dòng)系數(shù)的方程。在初中數(shù)學(xué)中，解一元一次方程，只需要將含有未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的一邊，將不含未知數(shù)的項(xiàng)放到方程的另一邊，就可以解出未知數(shù)的值，這是解方程的核心工作。而解的具體過(guò)程就要用到四則運(yùn)算。為此，在進(jìn)行解一元一次方程的課程設(shè)計(jì)、教材編寫、教學(xué)實(shí)施時(shí)，必須突出化歸這個(gè)重點(diǎn)，至于合并同類項(xiàng)、通分等問(wèn)題，雖然是代數(shù)式的重點(diǎn)內(nèi)容，但不是這里的重點(diǎn)。否則，就會(huì)陷入繁瑣運(yùn)算的誤區(qū)。從這個(gè)意義上講，一元一次方程課程的重點(diǎn)就是讓學(xué)生掌握“建?！彼枷耄瑢W(xué)會(huì)“化歸”方法，其中，前者是列一元一次方程的重點(diǎn)，后者是解一元一次方程的重點(diǎn)。對(duì)二元一次方程來(lái)說(shuō)，也有類似的解釋。不同的是，在用等號(hào)聯(lián)立兩個(gè)相互等價(jià)的事情時(shí)，涉及兩個(gè)未知量。對(duì)二元一次方程組來(lái)說(shuō)，是兩個(gè)等價(jià)關(guān)系，每個(gè)等價(jià)關(guān)系涉及兩件相互等價(jià)的事件，而這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系依靠相同的未知數(shù)關(guān)聯(lián)在一起。從表面上看，這里似乎出現(xiàn)了兩件事情，事實(shí)上卻是同一件事情，是在同一個(gè)描述過(guò)程中，對(duì)同一組事物的不同角度、不同方面的刻畫和寫照。在解二元一次方程組時(shí)，只要把未知數(shù)看成已知數(shù)，將其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)替代，轉(zhuǎn)化為一元一次方程就可以了。所以，解二元一次方程組的要害在于：通過(guò)替代等手段，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。對(duì)于三元一次方程（組）問(wèn)題，同樣也是如此，只需要通過(guò)替代等手段，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可。二、方程思想的含義及典型觀點(diǎn)辨析問(wèn)：標(biāo)準(zhǔn)1中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個(gè)基本觀點(diǎn)（劉堅(jiān)在許多不同場(chǎng)合提到這個(gè)說(shuō)法）：（1）方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型；（2）方程沒(méi)有一般解法；（3）特殊方程用特殊解法。另外，張奠宙先生曾經(jīng)提出，方程的思想不在于標(biāo)準(zhǔn)上所說(shuō)的“建?！彼枷?，而在于“方程是一座橋梁，一座聯(lián)立已知和未知的橋梁”。你如何看待上面的觀點(diǎn)？史教授：方程不能看作是建立“已知和未知之間的橋梁”，四則運(yùn)算實(shí)質(zhì)上才是這樣的橋梁。事實(shí)上，四則運(yùn)算是將已知全部寫在等號(hào)的一邊，只不過(guò)沒(méi)有寫出“=x”而已，這才是在已知和未知之間建立了一個(gè)橋梁。方程不是這樣，方程根本沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何運(yùn)算，只是闡述了一個(gè)事實(shí)本身，一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何加工的事實(shí)本身。方程只是在說(shuō)明兩件事情是等價(jià)的。比如，小明走了5千米，用了2小時(shí)，問(wèn)速度是多少？四則運(yùn)算是：速度=52，而方程則是：設(shè)速度為x千米/小時(shí)，則2x=5。顯然，前者用已知的兩個(gè)量路程、時(shí)間表示出未知的量速度，而后者是再現(xiàn)了路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系。問(wèn)：張先生的觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“在方程中，已知和未知借助等號(hào)聯(lián)立以后，未知可以和已知一樣參與運(yùn)算，享有同樣的地位”。您認(rèn)為是不是這樣？史教授：在這件事情（“未知可以和已知一樣參與運(yùn)算”）上是對(duì)的。當(dāng)然，不要過(guò)于強(qiáng)調(diào)已知、未知，而要強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的符號(hào)把要說(shuō)的話（即兩件事情等價(jià)）表達(dá)出來(lái)。這個(gè)是根本，是學(xué)生必須真正掌握的東西。在進(jìn)行方程的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施時(shí)，可以先讓學(xué)生用自然語(yǔ)言闡述所述的事情，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，解決問(wèn)題。這正是建模的過(guò)程。當(dāng)然，與中小學(xué)數(shù)學(xué)中的方程不同的是，現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)建模往往含有可以變動(dòng)的未知系數(shù)含有變動(dòng)系數(shù)的方程，它代表了不