考研數(shù)學(xué)D6考研基礎(chǔ)班.ppt

1、1,第 六 章,定 積 分 的 應(yīng) 用,2,(3) 求和，,(4) 求極限，,相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，,小窄曲邊梯形的面積為,則,而第i個,得A的近似值,得A的精確值,回顧：面積表示為定積分的步驟：,3,a,b,面積元素,對以上過程進行簡化:,這種簡化以后的定積分方法叫“微元法”或“元素法”,的面積，,則,取,記為,則,4,表示為,1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上有定義的f (x) 有關(guān)的,2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過,“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,定積分定義:,一個整體量 ;,一、定積分的元素法,1.什么問題可以用定積分（元素法）解決

2、?,5,元素的幾何形狀常取為:,條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等,第一步，根據(jù)具體情況，,選取積分變量，,確定x的變化,區(qū)間a,b.,第二步，把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間，,取一代表區(qū)間,求出該區(qū)間上所求量的部分量的,稱為量U的微元.,第三步，寫出定積分的表達(dá)式：,近似表達(dá)式,先作圖,2.應(yīng)用定積分的元素法解決問題的具體步驟是：,這個方法通常叫做元素法,6,3.使用元素法時應(yīng)注意：,則U相應(yīng)地分成許多,即如果把區(qū)間,a,b分成許多部分區(qū)間，,部分量，,而U等于所有部分量之和.,則U在a,b 上的值可由定積分,示為,(3) 在a,b中任取的小區(qū)間,上的部分量,來計算.,7,二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,

3、1. 直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計算,（1）設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,(2)由曲線,所圍圖形的面積.,其面積元素為：,則面積為,8,(3),為曲邊，,以,以c,d為底的曲邊梯形,(4)由曲線,所圍圖形的面積.,其面積元素為：,則面積為,的面積A.,9,總之,時，,時，,設(shè)曲線,及 x 軸所圍曲,邊梯形面積為 A ,則,（5）,10,回顧：極坐標(biāo)系,1) 極坐標(biāo)系的定義：,在平面上取定一點o，,叫做極點.,從極點出發(fā)引一條射線Ox,叫極軸，,并取定一個長度單位,和計算角度的正方向(通常取逆時針方向作正方向),這樣,就建立了一個平面極坐標(biāo)系.,2) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

4、的互化,11,過點M(a,0)且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系:,3) 幾個常用曲線的極坐標(biāo)方程,12,r,y,圓極坐標(biāo)方程,圓極坐標(biāo)方程,圓極坐標(biāo)方程,13,2. 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計算,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,14,3.已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則在小區(qū)間,的體積元素為,立體體積為：,上連續(xù),A(x),x,a,V,b,15,曲邊梯形,旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：,曲邊梯形,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積為：,

5、4.旋轉(zhuǎn)體的體積,16,a,b,f (x),y,x,0,曲邊梯形 y= f (x) ，,x,dx,x=a,x=b,y=0 繞 y 軸,生成的旋轉(zhuǎn)的體積.,求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,17,x,a,b,y,x,0,內(nèi)表面積,.,dx,dV=,2 x f (x)dx,f (x),曲邊梯形 y= f (x) ，,x=a,x=b,y=0,旋轉(zhuǎn)的體積.,求旋轉(zhuǎn)體體積 柱殼法,繞 y 軸生成的,18,圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周 而成的立體的體積.,所以：由連續(xù)曲線,直線x=a、 x=b(ab) 及x軸所,類似地，,如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,直線,及,軸所圍成的曲邊梯形繞,軸旋轉(zhuǎn)一周,而成的立體的體積.,19

6、,5. 弧長 (數(shù)1、數(shù)2),（2）參數(shù)方程,（3）極坐標(biāo)方程,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,20,6.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,設(shè)平面光滑曲線,求,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,取側(cè)面積元素:,(數(shù)1、數(shù)2),21,y+dy,y,o,y,x,d,c,o,y,x,X型,Y型,請熟記以下公式：,22,注意：,1) 以上公式都要求,2) 復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會分割.,3) 不能用公式時應(yīng)會元素法.,4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,則上述公式可以用定積分的換元法處理.,5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程,則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程：,6)與弧長有關(guān)時，其限應(yīng)上

7、大下小.,23,解:,典型例題分析,24,解:,25,A,B,解:,依題意有,26,例4. 計算拋物線,與直線,一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 .,所圍圖形,解: 如圖,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),27,所圍圖形繞 旋轉(zhuǎn)而成的,旋轉(zhuǎn)體的體積.,分析： 無公式可用，用元素法.如圖,例5. 求由 及,解法1：選擇 y 作積分變量 ,解法2：選擇 x 作積分變量,28,思考：過坐標(biāo)原點作曲線,軸圍成平面圖形D.,(1) 求 D 的面積;,(2) 求D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,解: (1) 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為,則所求切線方程為,由切線過原點知,的切線. 該切線與曲線,因此,故切線方程為,D 的面積為

8、,(2003考研),29,(2) 求D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,(2) 切線、x 軸及直線,所圍三角形繞直線,旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為,曲線、x 軸及直線,所圍圖形繞直線,旋轉(zhuǎn)所,因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為,得旋轉(zhuǎn)體體積為,30,解:,31,解:,32,解:,33,解:,34,（1）求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,（2） 計算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .,（3） 計算擺線,的一拱的長度.,練習(xí)題：,35,說明: 用柱殼法求 較好,柱殼體積,柱面面積,36,證:,設(shè)正弦線的弧長等于,設(shè)橢圓的弧長等于,故原結(jié)論成

9、立.,37,例8.試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,解:,方法1 利用對稱性,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .,方法2 用柱殼法,38,求側(cè)面積 :,解：如圖,39,例10. 設(shè),在 x0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,40,設(shè)平面圖形 A 由,與,所確定 , 求,圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .,提示：,選 x 為積分變量.,旋轉(zhuǎn)體的體積為,1.,若選 y 為積分變量, 則,備用題：,41,2. 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.,(94 考研),解： 利用對稱性 ,故旋轉(zhuǎn)體體積為,在第一象限,42,回顧： 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,力的方向與運動方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功元,素為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,二、定積分在物理上的應(yīng)用,43,0,1,x,解,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?第一次錘擊時所作的功為,例1 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的