【高考輔導(dǎo)資料】物理奧賽輔導(dǎo)：第9講_靜電學(xué)問(wèn)題的等效處理

第9講 靜電學(xué)問(wèn)題的等效處理一、知識(shí)點(diǎn)擊1庫(kù)侖定律和電荷守恒庫(kù)侖定律：真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小與兩電荷電量的乘積成正比，與兩電荷之間的距離的平方成反比；其作用力的方向沿著兩電荷的連線，同號(hào)相斥，異號(hào)相吸即電荷守恒定律：摩擦起電和靜電感應(yīng)等實(shí)驗(yàn)都說(shuō)明了：電荷既不能被創(chuàng)造、也不能被消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或者從物體的這一部分轉(zhuǎn)移到物體的另一部個(gè)定律為電荷守恒定律它是物理學(xué)的重要定律之一。2電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)從力的角度來(lái)描寫(xiě)電場(chǎng)的物理量，定義為根據(jù)庫(kù)侖定律，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力大小為顯然，F(xiàn)是一個(gè)既與形成電場(chǎng)的電荷Q有關(guān)，又與試探電荷q有關(guān)的量，將E定義成可以理解為從F量中刪去外加因素（即試探電荷q），剩下的便是純粹的場(chǎng)因素了。物理學(xué)中大多數(shù)用兩個(gè)物理量的商來(lái)定義的物理量，都是起源于這樣一個(gè)思想。電勢(shì)：電勢(shì)U是從能量的角度來(lái)描寫(xiě)電場(chǎng)的物理量，定義為3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體：導(dǎo)體內(nèi)部有能自由移動(dòng)的電荷，置于外電場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部自由電荷移動(dòng)，當(dāng)電荷分布、電場(chǎng)分布不隨時(shí)間變化時(shí)，我們則稱(chēng)達(dá)到靜電平衡 靜電平衡的條件是：導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零導(dǎo)體靜電平衡時(shí)：（a)導(dǎo)體是等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面；（b)凈電荷分布在導(dǎo)體表面，孤立導(dǎo)體表面曲率大處表面電荷面密度也大；（c）導(dǎo)體表面附近場(chǎng)強(qiáng)與表面垂直，其大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度的關(guān)系為。靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)：電介質(zhì)就是絕緣體，其中沒(méi)有能自由移動(dòng)的電荷，無(wú)外電場(chǎng)時(shí)對(duì)外不顯電性當(dāng)有外電場(chǎng)存在時(shí)，電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷都會(huì)順著和逆著電場(chǎng)線發(fā)生偏移，從而使介質(zhì)表面甚至內(nèi)部出現(xiàn)電荷，這種現(xiàn)象稱(chēng)為電介質(zhì)的極化，出現(xiàn)的電荷稱(chēng)為極化電荷極化電荷也要產(chǎn)生電場(chǎng)在介質(zhì)內(nèi)部，極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與外電場(chǎng)方向相反，從而削弱原電場(chǎng)，削弱的程度與電介質(zhì)本身的性質(zhì)有關(guān)為描繪電介質(zhì)的這一性質(zhì)，引人電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)設(shè)真空中電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E0，而各向同性均勻介質(zhì)允滿(mǎn)整個(gè)電場(chǎng)時(shí)，其場(chǎng)強(qiáng)為，點(diǎn)電荷Q在各向同性均勻無(wú)限大的電介質(zhì)中 平行板電容器充滿(mǎn)均勻介質(zhì)4電容 靜電場(chǎng)的能量五、電容靜電場(chǎng)的能量 1.孤立導(dǎo)體的電容：若孤立導(dǎo)體帶有電荷q，其電勢(shì)為U，則其電容為 孤立導(dǎo)體的電容只與導(dǎo)體本身的大小、形狀以及周?chē)慕橘|(zhì)有關(guān)真空中半徑為R的導(dǎo)體球殼的電容為電容器的電容：若電容器充有電荷q，兩極間的電勢(shì)差為U，則其電容為電容器的電容僅由其大小、形狀以及兩極板間的電介質(zhì)決定；平行板電容器的電容；球形電容器的電容 ；柱形電容器的電容。靜電場(chǎng)的能量：兩個(gè)點(diǎn)電荷間的相互作用能為，其中U1，U2分別為電荷q1，q2處的電勢(shì)n個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系的相互作用能為求和遍于整個(gè)帶電體，這是帶電體所帶電形成過(guò)程中外力所需做的功，這能量視系統(tǒng)的自能。電容器儲(chǔ)存的能量：，也可寫(xiě)為從上式可看出，能量是與電荷Q聯(lián)系在一起的，在靜電場(chǎng)里就是這樣，有電荷才有能量，電場(chǎng)具有能量，電場(chǎng)中單位體積所具有的能量稱(chēng)為電場(chǎng)的能量密度，用表示，二、方法演練類(lèi)型一、用微元法和疊加法處理電場(chǎng)強(qiáng)度的問(wèn)題。 例1如圖9一1所示，把半徑為R的球體分為8等份，取其中1份，使之均勻帶電，電荷體密度為.試求此帶電球體在球心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分析和解：這是一道多次用微元法和疊加法求解的題目，1/8均勻帶電球體微分成一系列無(wú)限薄的1/8均勻帶電球面；1/8帶電球面的場(chǎng)無(wú)法求，考慮一半帶電球面在球心產(chǎn)生的一場(chǎng)強(qiáng)；在求半球面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)時(shí)再用到微元法，在面上任選一帶電面元，并視為點(diǎn)電荷，求其在球心的場(chǎng)強(qiáng)后再疊加，電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，疊加時(shí)一定考慮到方向性，某些分量能抵消的，就先抵消掉以求簡(jiǎn)化先討論半徑為r，面密度為的半球面在球心O的電場(chǎng)強(qiáng)度，由于對(duì)稱(chēng)性，均勻帶電球面在球心O的場(chǎng)強(qiáng)必定沿軸方向在半球面取面元S，其上電量為S，其在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度剛好在紙平面內(nèi)，令與軸夾角為，則面元S在yOz面上的投影，其中就是半球面在yOz面上的投影，與半徑r大小無(wú)關(guān)r越大，半球面上電荷距O點(diǎn)越遠(yuǎn)，其在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與r2成反比；而r越大，半球面越大，其上所帶電荷越多，與r2成正比，故與r無(wú)關(guān)半球面由四個(gè)球面組成，每個(gè)球面在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在軸上分量相等，其值為的。、三條坐標(biāo)軸對(duì)球面，地位相當(dāng)，故球面在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在軸、軸和軸上的分量應(yīng)相等，均為，這樣就有最后，半徑為R，電荷體密度為的球體可看作由一系列很薄的球面疊加而成，設(shè)其中任一球面半徑為r，厚度為r，r的變化范圍從0到R，則面電荷密度與體電荷密度有關(guān)系：.那球面在球心的電場(chǎng)強(qiáng)度為而球體在球心處場(chǎng)強(qiáng)為E0與球半徑R成正比類(lèi)型二、用對(duì)稱(chēng)法處理電勢(shì)計(jì)算的問(wèn)題。 例2如圖92所示，一無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，在平板上方h處有一點(diǎn)電荷q。求空間的電勢(shì)分布，求導(dǎo)體平板上感應(yīng)電荷面密度分布分析和解：空間任一點(diǎn)P的電勢(shì)是點(diǎn)電荷q和無(wú)限大接地導(dǎo)體上感應(yīng)出來(lái)的電荷共同產(chǎn)生的導(dǎo)體板上電荷分布全板且不均勻，就是用積分法求其在P點(diǎn)的電勢(shì)也是比較麻煩的。我們用對(duì)稱(chēng)法，P點(diǎn)相對(duì)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的電勢(shì)也是上述兩帶電系統(tǒng)共同產(chǎn)生的且為零平面上電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)與q在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)大小相等而符號(hào)相反，這樣求出平面上電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，而P與點(diǎn)相對(duì)平面對(duì)稱(chēng)，平面上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)與在尸點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)相等，從而使問(wèn)題解決導(dǎo)體板接地，上表面有感應(yīng)電荷，設(shè)為，下表面無(wú)電荷且下半空間電勢(shì)為零，設(shè)為P的關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則P點(diǎn)、點(diǎn)電勢(shì)應(yīng)為q和所產(chǎn)生電勢(shì)的和。 ， 考慮到對(duì)稱(chēng)性從結(jié)果可以看到，對(duì)板上部空間，感應(yīng)電荷的作用與一置于軸上點(diǎn)，帶電為的點(diǎn)電荷完全等效，這就是所謂的電像法。再求導(dǎo)體平板上感應(yīng)電荷面密度分布。在導(dǎo)體表面a點(diǎn)取一小面元S，a點(diǎn)離O點(diǎn)距離為r，感應(yīng)電荷面密度為。a點(diǎn)緊靠導(dǎo)體板上方的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與板面垂直向下，大小為。其應(yīng)是S面上電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和q在a點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)在垂直平板方向上分量的疊加。板上除S面外的其他電荷在a點(diǎn)附近的場(chǎng)強(qiáng)只沿平板切向，與在板的切向分量相抵消。方向垂直板面（因求緊靠板的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。此時(shí)S可看為無(wú)限大平面）。感應(yīng)電荷面密度隨r變化。r變小，距O點(diǎn)近，變大?？梢杂?jì)算出板上所有感應(yīng)電荷的和為。類(lèi)型三、用填補(bǔ)法等效替代處理電場(chǎng)的問(wèn)題。 例3如圖9一3（a）所示，有兩個(gè)部分重疊的球體，半徑分別為R1和R2，兩球球心距離，兩球重疊部分不帶電，不重疊部分均勻帶電，電荷體密度分別為和。求兩球重疊部分（即不帶電部分）中的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。分析和解：本題的解題過(guò)程中首先用到填補(bǔ)法。因?yàn)閮汕蛑丿B部分本是無(wú)電荷，但可認(rèn)為其間充滿(mǎn)電荷密度為的電荷，這樣兩個(gè)球均成為均勻帶電球體，而對(duì)于均勻帶電球體，我們是能熟練求出球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)的。如圖9-3(b）所示，在兩球重疊部分中任取一點(diǎn)P，畫(huà)出矢量，并假設(shè)重疊部分不帶電的空間中，同時(shí)帶有電荷體密度和（與不帶電等效）。由此，P點(diǎn)所在位置可以被認(rèn)為同時(shí)在均勻帶電和的兩個(gè)球體內(nèi)直接寫(xiě)出P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量表達(dá)式：其中，代入得。類(lèi)型四、用等效法處理感應(yīng)電場(chǎng)的問(wèn)題。 例4如圖9一4所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P1和P2處，放置電量分別為q1和q2的點(diǎn)電荷，q1=q2=q，,兩點(diǎn)電荷到球心的距離均為a。由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于2q。空腔內(nèi)部的電場(chǎng)是由q1、q2和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣分布的，所以很難用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對(duì)腔內(nèi)電場(chǎng)的貢獻(xiàn)，可用假想的位于腔外的（等效）點(diǎn)電荷來(lái)代替在本題中假想（等效）點(diǎn)電荷應(yīng)為兩個(gè)，只要假想（等效）的點(diǎn)電荷的位置和電量能滿(mǎn)足這樣的條件，即：設(shè)想將整個(gè)導(dǎo)體殼去掉，由q1在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷與q1共同產(chǎn)生的電場(chǎng)，在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢(shì)皆為0；由q2在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷與q2共同產(chǎn)生的電場(chǎng)，在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢(shì)皆為0。這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是惟一的等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷、和q1、 q2來(lái)計(jì)算原來(lái)導(dǎo)體存在時(shí)空腔內(nèi)部任意點(diǎn)的電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)。（1）試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量。 （2）求空腔內(nèi)部任意點(diǎn)A的電勢(shì)UA。已知A點(diǎn)到球心O的距離為r，與的夾角為。分析和解：點(diǎn)電荷置于接地導(dǎo)體球殼之內(nèi)，在球殼內(nèi)壁會(huì)感應(yīng)出電荷，這時(shí)球殼內(nèi)電勢(shì)的關(guān)鍵是找到感應(yīng)電荷的等效電荷即像電荷（1）如圖9一5所示，S為原空腔內(nèi)表面所在位置，的位置應(yīng)位于的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn)B1處，的位置應(yīng)位于的延長(zhǎng)線上的某點(diǎn)B2處。設(shè)A1為S面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意有 怎樣才能使式成立呢？下面分析圖9一5中OP1A1與OA1B1的關(guān)系。若等效電荷的位置B1使下式成立，即 即 ，則OP1A1OA1B1，有 由式和式便可求得等效電荷： 由式知，等效電荷的位置B1到原球殼中心位置O的距離為 同理，B2的位置應(yīng)使OP2A1OA1B2，用類(lèi)似的方法可求得等效電荷 等效電荷的位置B2到原球殼中心O位置的距離為 (2)A點(diǎn)的位置如圖9一6所示。A的電勢(shì)由q1、q2、 共同產(chǎn)生，即 因代入式得類(lèi)型五、用“虛位移”法處理電場(chǎng)力做功的問(wèn)題。 例5已知真空中電場(chǎng)的能量密度為，試求：（1）均勻帶電球面（電量為Q0，半徑為R）上電場(chǎng)強(qiáng)度ER。（2）帶電球面上的表面張力系數(shù)。分析和解：解這個(gè)題目?jī)纱芜\(yùn)用“虛位移”法。第一問(wèn)假設(shè)導(dǎo)體球殼在電場(chǎng)力作用下向外膨脹，電場(chǎng)力做功，而電場(chǎng)力做的功等于電場(chǎng)能的減小，從而列出等式解出殼面上的電場(chǎng)強(qiáng)度。第二問(wèn)同樣是假設(shè)導(dǎo)體球殼膨脹。電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為球殼的表面自由能從而解出表面張力系數(shù)有一些物體本處于平衡狀態(tài)，但受到保守力或保守力矩的作用，我們假設(shè)物體發(fā)生“虛位移”或“虛轉(zhuǎn)動(dòng)”，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的勢(shì)能發(fā)生改變，利用保守力的功與勢(shì)能改變的關(guān)系，解出保守力或保守力對(duì)應(yīng)的力矩（1）球面內(nèi)E=0，而球面外球面附近根據(jù)對(duì)稱(chēng)性ER應(yīng)沿徑向向外，設(shè)帶電球面緩慢地向外膨脹，半徑由R變?yōu)?RR)，則電場(chǎng)力對(duì)單位球面積的功為ERR，對(duì)整個(gè)球面的功：球面膨脹后，R內(nèi)和（RR)外電場(chǎng)及能量未變，而R (RR)的薄球殼內(nèi)的電場(chǎng)能發(fā)生變化：而電場(chǎng)力的功等于電勢(shì)能改變加一負(fù)號(hào)，（2）電場(chǎng)力做功導(dǎo)致電勢(shì)能減小，電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為球面因膨脹而增加的表面自由能，球面膨脹后增加的表面積在考慮（R)2可忽略后得類(lèi)型六、用歸納法處理電容器循環(huán)充電的問(wèn)題。 例9在圖9一7所示電路中，三個(gè)電容器C1、C2、C3的電容值均等于C，電源的電動(dòng)勢(shì)為，R1、R2為電阻，K為雙擲開(kāi)關(guān)。開(kāi)始時(shí)，三個(gè)電容器都不帶電，先接通oa，再接通ob，再接通oa，再接通ob，如此反復(fù)換向。設(shè)每次接通前都已達(dá)到靜電平衡，試求：（1）當(dāng)K第n次接通ob并達(dá)到平衡后，每個(gè)電容器兩端的電壓各是多少？（2）當(dāng)反復(fù)換向的次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，在所有電阻上消耗的總電能是多少？分析和解：（1）為了求每個(gè)電容器兩端的電壓，先求每個(gè)電容器上的電量。原來(lái)3個(gè)電容器都不帶電，所以當(dāng)?shù)?次接通oa后，電路為C1和C2串聯(lián)，兩者的電容又相等，所以等效電容應(yīng)為，由此可知，C1的電量應(yīng)為下面來(lái)求第n次接通oa后C1上的電量用Q1、Q2依次表示每次接通oa時(shí)，電池在該次中對(duì)C1充電（增加）的電量，因充電時(shí)C1和C2串聯(lián)，根據(jù)電荷守恒，每次充電時(shí)給C2增加的電量也應(yīng)是Q1、Q2。oa接通n次后，C1上的電量應(yīng)為在第n次接通oa之前，即第次接通ob之后，C1上總電量為，根據(jù)電荷守恒，此時(shí)C2和C3上總電量也應(yīng)為，因?yàn)榇藭r(shí)C2和C3并聯(lián)，兩者的電容又相等，所以C2和C3上的電量也相等，皆為，由此可知，第n次接通oa后，C2上的電量應(yīng)為所以C1和C2上的電壓應(yīng)為而 將UC1、UC2代入上式同理，對(duì)n1次接通oa后，由后式減去前式得這就是說(shuō)，后一次接通oa 時(shí)，C1上充電增加的電量與前一次之比總是一個(gè)常數(shù)?？梢?jiàn)，每次充電，C1上增加的電量是按等比級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的。故第n次接通oa后，C1上的總電量為C2、C3上電量Q2和Q3相等，為Q1的一半， 所以3個(gè)電容器的電壓分別為(2)當(dāng)n時(shí)，C1上的電量也就是通過(guò)電源的總電量，所以電源提供的能量為各電容器儲(chǔ)存的電能分別為，根據(jù)能量守恒，可得電阻上消耗的電能為三、小試身手1有一靜電場(chǎng)，其電勢(shì)U隨坐標(biāo)x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫(huà)出該靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E隨x變化的圖線(設(shè)場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向時(shí)取正值，場(chǎng)強(qiáng)沿x軸負(fù)方向時(shí)取負(fù)值) 2如圖所示，電荷量為q1的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，電荷量為q2的正點(diǎn)電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q2=2q1.(i)求在x軸上場(chǎng)強(qiáng)為零的P點(diǎn)的坐標(biāo).(ii)若把一電荷量為q0的點(diǎn)電荷放在P點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q0被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)和被限制在沿垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)這兩種情況).3三個(gè)電容器分別有不同的電容值C1、C2、C3。現(xiàn)把這三個(gè)電容器組成圖示的（a）、（b）、（c）、（d）四種混聯(lián)電路，試論證：是否可以通過(guò)適當(dāng)選擇C1、C2、C3的數(shù)值，使其中某兩種混聯(lián)電路A、B間的等效電容相等。4兩塊豎直放置的平行金屬大平板A、B，相距d，兩極間的電壓為U。一帶正電的質(zhì)點(diǎn)從兩板間的M點(diǎn)開(kāi)始以豎直向上的初速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)電場(chǎng)中某點(diǎn)N時(shí)，速度變?yōu)樗椒较?，大小仍為，如圖所示。求M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差。（忽略帶電質(zhì)點(diǎn)對(duì)金屬板上電荷均勻分布的影響）5如圖所示為一塊很大的接地導(dǎo)體板，在與導(dǎo)體板相距為d的A處放一帶電荷量為的點(diǎn)電荷(1)試求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離為r。(2)試求感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外，點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)與P點(diǎn)對(duì)導(dǎo)體板右表面是對(duì)稱(chēng)的。(3)就本題情形，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分析證明導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與導(dǎo)體表面垂直（4）試求導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力（5）若在切斷導(dǎo)體板與地的連接線后，再將Q電荷置于導(dǎo)體板上，試說(shuō)明這部分電荷在導(dǎo)體板上如何分布可達(dá)到靜電平衡（略去邊緣效應(yīng)）6如圖所示，一球形電容器內(nèi)球及外殼半徑分別為R1和R2（球殼極?。O(shè)該電容器與地面及其他物體相距都很遠(yuǎn)現(xiàn)將內(nèi)球通過(guò)細(xì)導(dǎo)線接地，試求：（1）若外殼帶電Q，則內(nèi)球帶電為多少？外球的電勢(shì)為多少？（2）該系統(tǒng)的電容7如圖所示，O為半徑等于R的原來(lái)不帶電的導(dǎo)體球的球心，O1、O2、O3為位于球內(nèi)的三個(gè)半徑皆為r的球形空腔的球心，它們與O共面，已知在OO1、OO2的連線上距O1、O2為的P1、P2點(diǎn)處分別放置帶電量為q1和q2的線度很小的導(dǎo)體（視為點(diǎn)電荷），在O3處放置一帶電量為q3的點(diǎn)電荷，設(shè)法使q1、q2和q3固定不動(dòng)在導(dǎo)體球外的P點(diǎn)放一個(gè)電量為Q的點(diǎn)電荷，P點(diǎn)與O1、O2、O3共面，位于的延長(zhǎng)線上，到O的距離（1）求q3的電勢(shì)能（2）將帶有電量q1、q2的小導(dǎo)體釋放，當(dāng)重新達(dá)到靜電平衡時(shí)，各表面上的電荷分布有何變化？ 此時(shí)q3的電勢(shì)能為多少？ O1O2O3PP2P1ORRr參考解答1解：如圖所示：2解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x0，則有kq1/x02kq2/（lx0）2，可得x0（1）l，（2）點(diǎn)電荷被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)的情況：P點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為零，所以是平衡位置。在x軸上P點(diǎn)右側(cè)處，q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)變小，q2產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)增大，合場(chǎng)強(qiáng)沿x軸負(fù)方向，在x軸上P點(diǎn)左側(cè)處，q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)變大，q2產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)減小，合場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向。當(dāng)q00時(shí)，它在P點(diǎn)附近所受電場(chǎng)力是指向的P點(diǎn)，所以P點(diǎn)是穩(wěn)定平衡位置；當(dāng)q00時(shí)，它在P點(diǎn)附近所受電場(chǎng)力是背離的P點(diǎn)，所以P點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡位置。點(diǎn)電荷被限制在沿垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)的情況：在P點(diǎn)兩側(cè)附近，點(diǎn)電荷q1和q2產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于x軸分量的方向都背離P點(diǎn)，所以，當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡位置；當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是穩(wěn)定平衡位置。3解：由圖可知CaC3，CcC3，因此Ca不可能等于Cc，同理CbC2，CdC2，因此Cb不可能等于Cd，又只有在C2C3時(shí)才有可能CaCb，而現(xiàn)在四個(gè)電容都不相同，所以Ca不可能等于Cb，同理Cc不可能等于Cd，CaC3，CbC2，Cc，Cd，由CaCd得：C122C1C3C1C2C2C30，因?yàn)镃均為正，所以此式不可能成立，則Ca不可能等于Cd，同理Cb不可能等于Cc，綜上所述不可能有一對(duì)電路的等效電容是相等的。4解：由于帶電質(zhì)點(diǎn)在板間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力和電場(chǎng)力兩個(gè)力的作用，很容易把問(wèn)題復(fù)雜化，實(shí)際上重力和電場(chǎng)力互相垂直，且到達(dá)N點(diǎn)時(shí)，速度方向水平，所以初動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，N點(diǎn)時(shí)的速度可理解為全部是電場(chǎng)力使之加速而來(lái)。若設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)沿電場(chǎng)線方向的位移為，由勻強(qiáng)電場(chǎng)的特點(diǎn)有： 又由互相垂直的兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)等時(shí)性和速度特征可知電場(chǎng)力使帶電質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的加速度大小，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 由兩式可得。5解：（1）對(duì)于接地的很大的導(dǎo)體平板來(lái)說(shuō)，導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷只分布在靠近點(diǎn)電荷的一面，另一面無(wú)感應(yīng)電荷導(dǎo)體板內(nèi)P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是由點(diǎn)電荷和板上感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的，達(dá)到靜電平衡后，其合場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)為零所以，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)部P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與點(diǎn)電荷在該處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相反，即 ，方向沿AP方向，如圖1所示（2）由于點(diǎn)相對(duì)于很大的面分布的感應(yīng)電荷來(lái)說(shuō)，是P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因此，感應(yīng)電荷在板外點(diǎn)處所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小應(yīng)與它們?cè)赑點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，即，r為點(diǎn)電荷到P點(diǎn)的距離的方向如圖1所示，即與相對(duì)于導(dǎo)體板右表面應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的由的大小和方向可知，這相當(dāng)于將點(diǎn)電荷置于A的“鏡像”位置處單獨(dú)在產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) （3）由題意，考察導(dǎo)體板右表面的兩側(cè)極靠近表面的兩點(diǎn)P1和，如前述分析，在導(dǎo)體外點(diǎn)，感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向如圖2所示點(diǎn)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小也是，方向如圖2所示。從圖中可以求出與的合矢量，即點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)與導(dǎo)體表面垂直（4）重復(fù)（2）的分析可知（鏡像電荷法），感應(yīng)電荷在所在處A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，方向垂直于導(dǎo)體板指向右方，該電場(chǎng)作用于點(diǎn)電荷的電場(chǎng)力為，負(fù)號(hào)表示力的方向沿d指向?qū)w板（5）當(dāng)切斷接地線后，導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷仍保持原來(lái)的分布，導(dǎo)體內(nèi)各處的場(chǎng)強(qiáng)為零在此情況下再將Q電荷加在導(dǎo)體板上，只要新增加的電荷在導(dǎo)體內(nèi)部各處的場(chǎng)強(qiáng)為零，即可實(shí)現(xiàn)靜電平衡顯而易見(jiàn)，新增加的電荷十Q均勻地分布在導(dǎo)體板的兩側(cè)表面時(shí)，上述條件即可滿(mǎn)足6解：（1）導(dǎo)體球接地，其電勢(shì)為零，由導(dǎo)體的性質(zhì)可知，其球心O點(diǎn)的電勢(shì)亦為零，假設(shè)導(dǎo)體球帶電荷量為，因電容器外殼很薄，影響球心電勢(shì)的只有Q和，則設(shè)U1、U2分別代表內(nèi)、外球電勢(shì)由導(dǎo)體的性質(zhì)可知，外球殼在球間激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為零，而內(nèi)球電荷在球間激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)等于全部電荷