【高考輔導資料】物理奧賽輔導：第9講_靜電學問題的等效處理

第9講 靜電學問題的等效處理一、知識點擊1庫侖定律和電荷守恒庫侖定律：真空中兩個靜止的點電荷之間的相互作用力的大小與兩電荷電量的乘積成正比，與兩電荷之間的距離的平方成反比；其作用力的方向沿著兩電荷的連線，同號相斥，異號相吸即電荷守恒定律：摩擦起電和靜電感應等實驗都說明了：電荷既不能被創(chuàng)造、也不能被消滅，它們只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體的這一部分轉(zhuǎn)移到物體的另一部個定律為電荷守恒定律它是物理學的重要定律之一。2電場強度和電勢電場強度是一個從力的角度來描寫電場的物理量，定義為根據(jù)庫侖定律，兩個點電荷之間的作用力大小為顯然，F(xiàn)是一個既與形成電場的電荷Q有關(guān)，又與試探電荷q有關(guān)的量，將E定義成可以理解為從F量中刪去外加因素（即試探電荷q），剩下的便是純粹的場因素了。物理學中大多數(shù)用兩個物理量的商來定義的物理量，都是起源于這樣一個思想。電勢：電勢U是從能量的角度來描寫電場的物理量，定義為3靜電場中的導體和電介質(zhì) 靜電場中的導體：導體內(nèi)部有能自由移動的電荷，置于外電場時，導體內(nèi)部自由電荷移動，當電荷分布、電場分布不隨時間變化時，我們則稱達到靜電平衡 靜電平衡的條件是：導體內(nèi)部場強處處為零導體靜電平衡時：（a)導體是等勢體，導體表面是等勢面；（b)凈電荷分布在導體表面，孤立導體表面曲率大處表面電荷面密度也大；（c）導體表面附近場強與表面垂直，其大小與導體表面對應點的電荷面密度的關(guān)系為。靜電場中的電介質(zhì)：電介質(zhì)就是絕緣體，其中沒有能自由移動的電荷，無外電場時對外不顯電性當有外電場存在時，電介質(zhì)分子的正負電荷都會順著和逆著電場線發(fā)生偏移，從而使介質(zhì)表面甚至內(nèi)部出現(xiàn)電荷，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化，出現(xiàn)的電荷稱為極化電荷極化電荷也要產(chǎn)生電場在介質(zhì)內(nèi)部，極化電荷產(chǎn)生的電場與外電場方向相反，從而削弱原電場，削弱的程度與電介質(zhì)本身的性質(zhì)有關(guān)為描繪電介質(zhì)的這一性質(zhì)，引人電介質(zhì)的相對介電常數(shù)設真空中電場的場強為E0，而各向同性均勻介質(zhì)允滿整個電場時，其場強為，點電荷Q在各向同性均勻無限大的電介質(zhì)中 平行板電容器充滿均勻介質(zhì)4電容 靜電場的能量五、電容靜電場的能量 1.孤立導體的電容：若孤立導體帶有電荷q，其電勢為U，則其電容為 孤立導體的電容只與導體本身的大小、形狀以及周圍的介質(zhì)有關(guān)真空中半徑為R的導體球殼的電容為電容器的電容：若電容器充有電荷q，兩極間的電勢差為U，則其電容為電容器的電容僅由其大小、形狀以及兩極板間的電介質(zhì)決定；平行板電容器的電容；球形電容器的電容 ；柱形電容器的電容。靜電場的能量：兩個點電荷間的相互作用能為，其中U1，U2分別為電荷q1，q2處的電勢n個點電荷組成的點電荷系的相互作用能為求和遍于整個帶電體，這是帶電體所帶電形成過程中外力所需做的功，這能量視系統(tǒng)的自能。電容器儲存的能量：，也可寫為從上式可看出，能量是與電荷Q聯(lián)系在一起的，在靜電場里就是這樣，有電荷才有能量，電場具有能量，電場中單位體積所具有的能量稱為電場的能量密度，用表示，二、方法演練類型一、用微元法和疊加法處理電場強度的問題。 例1如圖9一1所示，把半徑為R的球體分為8等份，取其中1份，使之均勻帶電，電荷體密度為.試求此帶電球體在球心0處的電場強度的大小分析和解：這是一道多次用微元法和疊加法求解的題目，1/8均勻帶電球體微分成一系列無限薄的1/8均勻帶電球面；1/8帶電球面的場無法求，考慮一半帶電球面在球心產(chǎn)生的一場強；在求半球面產(chǎn)生的場強時再用到微元法，在面上任選一帶電面元，并視為點電荷，求其在球心的場強后再疊加，電場強度是矢量，疊加時一定考慮到方向性，某些分量能抵消的，就先抵消掉以求簡化先討論半徑為r，面密度為的半球面在球心O的電場強度，由于對稱性，均勻帶電球面在球心O的場強必定沿軸方向在半球面取面元S，其上電量為S，其在O點產(chǎn)生的電場強度剛好在紙平面內(nèi)，令與軸夾角為，則面元S在yOz面上的投影，其中就是半球面在yOz面上的投影，與半徑r大小無關(guān)r越大，半球面上電荷距O點越遠，其在O點產(chǎn)生的場強與r2成反比；而r越大，半球面越大，其上所帶電荷越多，與r2成正比，故與r無關(guān)半球面由四個球面組成，每個球面在O點產(chǎn)生的場強在軸上分量相等，其值為的。、三條坐標軸對球面，地位相當，故球面在O點產(chǎn)生的場強在軸、軸和軸上的分量應相等，均為，這樣就有最后，半徑為R，電荷體密度為的球體可看作由一系列很薄的球面疊加而成，設其中任一球面半徑為r，厚度為r，r的變化范圍從0到R，則面電荷密度與體電荷密度有關(guān)系：.那球面在球心的電場強度為而球體在球心處場強為E0與球半徑R成正比類型二、用對稱法處理電勢計算的問題。 例2如圖92所示，一無限大接地導體平板，在平板上方h處有一點電荷q。求空間的電勢分布，求導體平板上感應電荷面密度分布分析和解：空間任一點P的電勢是點電荷q和無限大接地導體上感應出來的電荷共同產(chǎn)生的導體板上電荷分布全板且不均勻，就是用積分法求其在P點的電勢也是比較麻煩的。我們用對稱法，P點相對平面對稱的點的電勢也是上述兩帶電系統(tǒng)共同產(chǎn)生的且為零平面上電荷在點產(chǎn)生的電勢與q在點產(chǎn)生的電勢大小相等而符號相反，這樣求出平面上電荷在點產(chǎn)生的電勢，而P與點相對平面對稱，平面上電荷在P點產(chǎn)生的電勢與在尸點產(chǎn)生電勢相等，從而使問題解決導體板接地，上表面有感應電荷，設為，下表面無電荷且下半空間電勢為零，設為P的關(guān)于平面的對稱點，則P點、點電勢應為q和所產(chǎn)生電勢的和。 ， 考慮到對稱性從結(jié)果可以看到，對板上部空間，感應電荷的作用與一置于軸上點，帶電為的點電荷完全等效，這就是所謂的電像法。再求導體平板上感應電荷面密度分布。在導體表面a點取一小面元S，a點離O點距離為r，感應電荷面密度為。a點緊靠導體板上方的電場強度的方向與板面垂直向下，大小為。其應是S面上電荷產(chǎn)生的場強和q在a點處場強在垂直平板方向上分量的疊加。板上除S面外的其他電荷在a點附近的場強只沿平板切向，與在板的切向分量相抵消。方向垂直板面（因求緊靠板的點的場強。此時S可看為無限大平面）。感應電荷面密度隨r變化。r變小，距O點近，變大?？梢杂嬎愠霭迳纤懈袘姾傻暮蜑?。類型三、用填補法等效替代處理電場的問題。 例3如圖9一3（a）所示，有兩個部分重疊的球體，半徑分別為R1和R2，兩球球心距離，兩球重疊部分不帶電，不重疊部分均勻帶電，電荷體密度分別為和。求兩球重疊部分（即不帶電部分）中的電場強度分布。分析和解：本題的解題過程中首先用到填補法。因為兩球重疊部分本是無電荷，但可認為其間充滿電荷密度為的電荷，這樣兩個球均成為均勻帶電球體，而對于均勻帶電球體，我們是能熟練求出球內(nèi)外的場強的。如圖9-3(b）所示，在兩球重疊部分中任取一點P，畫出矢量，并假設重疊部分不帶電的空間中，同時帶有電荷體密度和（與不帶電等效）。由此，P點所在位置可以被認為同時在均勻帶電和的兩個球體內(nèi)直接寫出P點電場強度的矢量表達式：其中，代入得。類型四、用等效法處理感應電場的問題。 例4如圖9一4所示，接地的空心導體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P1和P2處，放置電量分別為q1和q2的點電荷，q1=q2=q，,兩點電荷到球心的距離均為a。由靜電感應與靜電屏蔽可知：導體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應電荷分布，感應電荷電量等于2q。空腔內(nèi)部的電場是由q1、q2和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應電荷共同產(chǎn)生的。由于我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強但理論上可以證明，感應電荷對腔內(nèi)電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替在本題中假想（等效）點電荷應為兩個，只要假想（等效）的點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設想將整個導體殼去掉，由q1在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q1共同產(chǎn)生的電場，在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q2在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q2共同產(chǎn)生的電場，在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0。這樣確定的假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是惟一的等效電荷取代感應電荷后，可用等效電荷、和q1、 q2來計算原來導體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強。（1）試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量。 （2）求空腔內(nèi)部任意點A的電勢UA。已知A點到球心O的距離為r，與的夾角為。分析和解：點電荷置于接地導體球殼之內(nèi)，在球殼內(nèi)壁會感應出電荷，這時球殼內(nèi)電勢的關(guān)鍵是找到感應電荷的等效電荷即像電荷（1）如圖9一5所示，S為原空腔內(nèi)表面所在位置，的位置應位于的延長線上的某點B1處，的位置應位于的延長線上的某點B2處。設A1為S面上的任意一點，根據(jù)題意有 怎樣才能使式成立呢？下面分析圖9一5中OP1A1與OA1B1的關(guān)系。若等效電荷的位置B1使下式成立，即 即 ，則OP1A1OA1B1，有 由式和式便可求得等效電荷： 由式知，等效電荷的位置B1到原球殼中心位置O的距離為 同理，B2的位置應使OP2A1OA1B2，用類似的方法可求得等效電荷 等效電荷的位置B2到原球殼中心O位置的距離為 (2)A點的位置如圖9一6所示。A的電勢由q1、q2、 共同產(chǎn)生，即 因代入式得類型五、用“虛位移”法處理電場力做功的問題。 例5已知真空中電場的能量密度為，試求：（1）均勻帶電球面（電量為Q0，半徑為R）上電場強度ER。（2）帶電球面上的表面張力系數(shù)。分析和解：解這個題目兩次運用“虛位移”法。第一問假設導體球殼在電場力作用下向外膨脹，電場力做功，而電場力做的功等于電場能的減小，從而列出等式解出殼面上的電場強度。第二問同樣是假設導體球殼膨脹。電勢能轉(zhuǎn)化為球殼的表面自由能從而解出表面張力系數(shù)有一些物體本處于平衡狀態(tài)，但受到保守力或保守力矩的作用，我們假設物體發(fā)生“虛位移”或“虛轉(zhuǎn)動”，從而導致系統(tǒng)的勢能發(fā)生改變，利用保守力的功與勢能改變的關(guān)系，解出保守力或保守力對應的力矩（1）球面內(nèi)E=0，而球面外球面附近根據(jù)對稱性ER應沿徑向向外，設帶電球面緩慢地向外膨脹，半徑由R變?yōu)?RR)，則電場力對單位球面積的功為ERR，對整個球面的功：球面膨脹后，R內(nèi)和（RR)外電場及能量未變，而R (RR)的薄球殼內(nèi)的電場能發(fā)生變化：而電場力的功等于電勢能改變加一負號，（2）電場力做功導致電勢能減小，電勢能轉(zhuǎn)化為球面因膨脹而增加的表面自由能，球面膨脹后增加的表面積在考慮（R)2可忽略后得類型六、用歸納法處理電容器循環(huán)充電的問題。 例9在圖9一7所示電路中，三個電容器C1、C2、C3的電容值均等于C，電源的電動勢為，R1、R2為電阻，K為雙擲開關(guān)。開始時，三個電容器都不帶電，先接通oa，再接通ob，再接通oa，再接通ob，如此反復換向。設每次接通前都已達到靜電平衡，試求：（1）當K第n次接通ob并達到平衡后，每個電容器兩端的電壓各是多少？（2）當反復換向的次數(shù)無限增多時，在所有電阻上消耗的總電能是多少？分析和解：（1）為了求每個電容器兩端的電壓，先求每個電容器上的電量。原來3個電容器都不帶電，所以當?shù)?次接通oa后，電路為C1和C2串聯(lián)，兩者的電容又相等，所以等效電容應為，由此可知，C1的電量應為下面來求第n次接通oa后C1上的電量用Q1、Q2依次表示每次接通oa時，電池在該次中對C1充電（增加）的電量，因充電時C1和C2串聯(lián)，根據(jù)電荷守恒，每次充電時給C2增加的電量也應是Q1、Q2。oa接通n次后，C1上的電量應為在第n次接通oa之前，即第次接通ob之后，C1上總電量為，根據(jù)電荷守恒，此時C2和C3上總電量也應為，因為此時C2和C3并聯(lián)，兩者的電容又相等，所以C2和C3上的電量也相等，皆為，由此可知，第n次接通oa后，C2上的電量應為所以C1和C2上的電壓應為而 將UC1、UC2代入上式同理，對n1次接通oa后，由后式減去前式得這就是說，后一次接通oa 時，C1上充電增加的電量與前一次之比總是一個常數(shù)。可見，每次充電，C1上增加的電量是按等比級數(shù)增長的。故第n次接通oa后，C1上的總電量為C2、C3上電量Q2和Q3相等，為Q1的一半， 所以3個電容器的電壓分別為(2)當n時，C1上的電量也就是通過電源的總電量，所以電源提供的能量為各電容器儲存的電能分別為，根據(jù)能量守恒，可得電阻上消耗的電能為三、小試身手1有一靜電場，其電勢U隨坐標x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫出該靜電場的場強E隨x變化的圖線(設場強沿x軸正方向時取正值，場強沿x軸負方向時取負值) 2如圖所示，電荷量為q1的正點電荷固定在坐標原點O處，電荷量為q2的正點電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q2=2q1.(i)求在x軸上場強為零的P點的坐標.(ii)若把一電荷量為q0的點電荷放在P點，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q0被限制在沿x軸運動和被限制在沿垂直于x軸方向運動這兩種情況).3三個電容器分別有不同的電容值C1、C2、C3?，F(xiàn)把這三個電容器組成圖示的（a）、（b）、（c）、（d）四種混聯(lián)電路，試論證：是否可以通過適當選擇C1、C2、C3的數(shù)值，使其中某兩種混聯(lián)電路A、B間的等效電容相等。4兩塊豎直放置的平行金屬大平板A、B，相距d，兩極間的電壓為U。一帶正電的質(zhì)點從兩板間的M點開始以豎直向上的初速度運動，當它到達電場中某點N時，速度變?yōu)樗椒较颍笮∪詾?，如圖所示。求M、N兩點間的電勢差。（忽略帶電質(zhì)點對金屬板上電荷均勻分布的影響）5如圖所示為一塊很大的接地導體板，在與導體板相距為d的A處放一帶電荷量為的點電荷(1)試求板上感應電荷在導體內(nèi)P點產(chǎn)生的電場強度P點與A點的距離為r。(2)試求感應電荷在導體外，點產(chǎn)生的電場強度點與P點對導體板右表面是對稱的。(3)就本題情形，根據(jù)場強分析證明導體表面附近的電場強度的方向與導體表面垂直（4）試求導體板上的感應電荷對點電荷的作用力（5）若在切斷導體板與地的連接線后，再將Q電荷置于導體板上，試說明這部分電荷在導體板上如何分布可達到靜電平衡（略去邊緣效應）6如圖所示，一球形電容器內(nèi)球及外殼半徑分別為R1和R2（球殼極?。?，設該電容器與地面及其他物體相距都很遠現(xiàn)將內(nèi)球通過細導線接地，試求：（1）若外殼帶電Q，則內(nèi)球帶電為多少？外球的電勢為多少？（2）該系統(tǒng)的電容7如圖所示，O為半徑等于R的原來不帶電的導體球的球心，O1、O2、O3為位于球內(nèi)的三個半徑皆為r的球形空腔的球心，它們與O共面，已知在OO1、OO2的連線上距O1、O2為的P1、P2點處分別放置帶電量為q1和q2的線度很小的導體（視為點電荷），在O3處放置一帶電量為q3的點電荷，設法使q1、q2和q3固定不動在導體球外的P點放一個電量為Q的點電荷，P點與O1、O2、O3共面，位于的延長線上，到O的距離（1）求q3的電勢能（2）將帶有電量q1、q2的小導體釋放，當重新達到靜電平衡時，各表面上的電荷分布有何變化？ 此時q3的電勢能為多少？ O1O2O3PP2P1ORRr參考解答1解：如圖所示：2解：（1）設P點坐標為x0，則有kq1/x02kq2/（lx0）2，可得x0（1）l，（2）點電荷被限制在沿x軸運動的情況：P點合場強為零，所以是平衡位置。在x軸上P點右側(cè)處，q1產(chǎn)生的場強變小，q2產(chǎn)生的場強增大，合場強沿x軸負方向，在x軸上P點左側(cè)處，q1產(chǎn)生的場強變大，q2產(chǎn)生的場強減小，合場強沿x軸正方向。當q00時，它在P點附近所受電場力是指向的P點，所以P點是穩(wěn)定平衡位置；當q00時，它在P點附近所受電場力是背離的P點，所以P點是不穩(wěn)定平衡位置。點電荷被限制在沿垂直于x軸方向運動的情況：在P點兩側(cè)附近，點電荷q1和q2產(chǎn)生的合場強沿垂直于x軸分量的方向都背離P點，所以，當q00時，P點是不穩(wěn)定平衡位置；當q00時，P點是穩(wěn)定平衡位置。3解：由圖可知CaC3，CcC3，因此Ca不可能等于Cc，同理CbC2，CdC2，因此Cb不可能等于Cd，又只有在C2C3時才有可能CaCb，而現(xiàn)在四個電容都不相同，所以Ca不可能等于Cb，同理Cc不可能等于Cd，CaC3，CbC2，Cc，Cd，由CaCd得：C122C1C3C1C2C2C30，因為C均為正，所以此式不可能成立，則Ca不可能等于Cd，同理Cb不可能等于Cc，綜上所述不可能有一對電路的等效電容是相等的。4解：由于帶電質(zhì)點在板間運動過程中受到重力和電場力兩個力的作用，很容易把問題復雜化，實際上重力和電場力互相垂直，且到達N點時，速度方向水平，所以初動能全部轉(zhuǎn)化為重力勢能，N點時的速度可理解為全部是電場力使之加速而來。若設帶電質(zhì)點沿電場線方向的位移為，由勻強電場的特點有： 又由互相垂直的兩個方向運動等時性和速度特征可知電場力使帶電質(zhì)點產(chǎn)生的加速度大小，由運動學公式得 由兩式可得。5解：（1）對于接地的很大的導體平板來說，導體板上的感應電荷只分布在靠近點電荷的一面，另一面無感應電荷導體板內(nèi)P點的電場強度是由點電荷和板上感應電荷共同產(chǎn)生的，達到靜電平衡后，其合場強應為零所以，感應電荷在導體內(nèi)部P點產(chǎn)生的電場強度與點電荷在該處產(chǎn)生的電場強度大小相等、方向相反，即 ，方向沿AP方向，如圖1所示（2）由于點相對于很大的面分布的感應電荷來說，是P點的對稱點，因此，感應電荷在板外點處所產(chǎn)生的場強大小應與它們在P點處產(chǎn)生的場強大小相等，即，r為點電荷到P點的距離的方向如圖1所示，即與相對于導體板右表面應是對稱的由的大小和方向可知，這相當于將點電荷置于A的“鏡像”位置處單獨在產(chǎn)生的場強 （3）由題意，考察導體板右表面的兩側(cè)極靠近表面的兩點P1和，如前述分析，在導體外點，感應電荷產(chǎn)生的場強大小為，方向如圖2所示點電荷在點產(chǎn)生的場強大小也是，方向如圖2所示。從圖中可以求出與的合矢量，即點處的場強與導體表面垂直（4）重復（2）的分析可知（鏡像電荷法），感應電荷在所在處A點的電場強度大小為，方向垂直于導體板指向右方，該電場作用于點電荷的電場力為，負號表示力的方向沿d指向?qū)w板（5）當切斷接地線后，導體板上感應電荷仍保持原來的分布，導體內(nèi)各處的場強為零在此情況下再將Q電荷加在導體板上，只要新增加的電荷在導體內(nèi)部各處的場強為零，即可實現(xiàn)靜電平衡顯而易見，新增加的電荷十Q均勻地分布在導體板的兩側(cè)表面時，上述條件即可滿足6解：（1）導體球接地，其電勢為零，由導體的性質(zhì)可知，其球心O點的電勢亦為零，假設導體球帶電荷量為，因電容器外殼很薄，影響球心電勢的只有Q和，則設U1、U2分別代表內(nèi)、外球電勢由導體的性質(zhì)可知，外球殼在球間激發(fā)的場強為零，而內(nèi)球電荷在球間激發(fā)的場強等于全部電荷