一級(jí)倒立擺自動(dòng)化設(shè)計(jì).doc

自動(dòng)化1101 目錄1實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)介11.1倒立擺介紹11.2 研究倒立擺穩(wěn)定性的意義21.3直線一級(jí)倒立擺32 倒立擺建模32.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)32.1.1受力分析42.1.2微分方程建模52.1.3傳遞函數(shù)建模52.1.4狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型62.2 實(shí)際系統(tǒng)模型建立83系統(tǒng)定性、定量分析93.1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)93.2系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析113.2.1穩(wěn)定性分析113.2.2能控性分析124 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器124.1狀態(tài)空間分析124.2 極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)步驟134.3極點(diǎn)配置的matlab計(jì)算144.4極點(diǎn)配置的simulink電路仿真204.4.1無(wú)狀態(tài)反饋仿真204.4.2有狀態(tài)反饋的仿真204.5極點(diǎn)配置的綜合分析215小結(jié)22 1實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)介1.1倒立擺介紹圖1：一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)圖倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺。如雜技演員頂桿的物理機(jī)制可簡(jiǎn)化為一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，是一個(gè)復(fù)雜，多變量，存在嚴(yán)重非線性，非自制不穩(wěn)定系統(tǒng)。常見(jiàn)的倒立擺一般由小車和擺桿兩部分組成，其中擺桿可能是一級(jí)，二級(jí)或多級(jí)，在復(fù)雜的倒立擺系統(tǒng)中，擺桿的長(zhǎng)度和質(zhì)量均可變化。圖2：一級(jí)倒立擺系統(tǒng)組成框圖系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，擺桿的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤2反饋給運(yùn)動(dòng)控制卡。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運(yùn)動(dòng)方向、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)皮帶，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。1.2 研究倒立擺穩(wěn)定性的意義倒立擺的研究具有重要的工程背景。機(jī)器人行走就類似倒立擺系統(tǒng)從日常生活中所見(jiàn)到的任何重心在上、也是支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題，到空間飛行器和各類伺服云臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制有很大相似性，故對(duì)其穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多用場(chǎng)，如海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、化工過(guò)程控制等。1.3直線一級(jí)倒立擺根據(jù)自控原理實(shí)驗(yàn)書(shū)上相關(guān)資料，直線一級(jí)倒立擺在建模時(shí),一般忽略掉系統(tǒng)中的一些次要因素.例如空氣阻力、伺服電機(jī)的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度等，之后可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是典型的機(jī)電一體化系統(tǒng)其機(jī)械部分遵循牛頓的力學(xué)定律其電氣部分遵守電磁學(xué)的基本定理.無(wú)論哪種類型的倒立擺系統(tǒng),都具有3個(gè)特性,即:不確定性、耦合性、開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性. 直線型倒立擺系統(tǒng),是由沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車以及一端固定于小車上的勻質(zhì)長(zhǎng)桿組成的系統(tǒng).小車可以通過(guò)傳動(dòng)裝置由交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng). 小車導(dǎo)軌一般有固定的行程,因而小車的運(yùn)動(dòng)范圍是受到限制的。2 倒立擺建模2.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)對(duì)于忽略各種摩擦參數(shù)和空氣阻力之后，直線一即倒立擺抽象為小車河均質(zhì)桿組成的系統(tǒng)本系統(tǒng)的參數(shù)定義如下：m小車質(zhì)量（本實(shí)驗(yàn)為0.5kg）m擺桿質(zhì)量(本實(shí)驗(yàn)為0.2kg)b小車摩擦系數(shù) (本實(shí)驗(yàn)為0.1n/m/sec)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度(本實(shí)驗(yàn)為0.3m)i 擺桿慣量(本實(shí)驗(yàn)為0.006kg*m*m)f 加在小車上的力 x 小車位置（變量） 擺桿與垂直向上方向的夾角（輸出） 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）2.1.1受力分析下面我們對(duì)這個(gè)系統(tǒng)作一下受力分析。和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖3：倒立擺系統(tǒng)小車和擺桿的受力分析應(yīng)用newton方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (2-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (2-2) (2-3)把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （2-4）為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (2-5) (2-6)力矩平衡方程如下： (2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去和，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (2-8)2.1.2微分方程建模設(shè)，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即 時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理：，。為了與控制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，即一般表示控制量，用來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式： (2-9)2.1.3傳遞函數(shù)建模對(duì)方程組（2-9）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 (2-10)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組（2-10）的第一個(gè)方程，可以得到 (2-11) (2-12)如果令，則有： (2-13)把上式代入方程組（2-10）的第二個(gè)方程，得到 (2-14)整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù) (2-15)其中 2.1.4狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫(xiě)成如下形式： (2-16)方程組（2-9）對(duì)解代數(shù)方程，得到如下解： (2-17)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： (2-18)由(2-9)的第一個(gè)方程為：對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡(jiǎn)得到： (2-19)設(shè)，則有： （2-20）2.2 實(shí)際系統(tǒng)模型建立實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進(jìn)行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的matlab仿真。m小車質(zhì)量0.5kgm擺桿質(zhì)量為0.2kgb小車摩擦系數(shù) 0.1n/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度(本實(shí)驗(yàn)為0.3m)0.3mi 擺桿慣量0.006kg*m*mf 加在小車上的力 x 小車位置t采樣頻率0.005秒 擺桿與垂直向下方向的夾角1）擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù) 2）擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù) 3）擺桿角度和小車外作用力的傳遞函數(shù)4） 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：5） 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程3系統(tǒng)定性、定量分析3.1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)狀態(tài)空間法：狀態(tài)空間法可以進(jìn)行單輸入多輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)，在此我們圖4：狀態(tài)空間的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)將嘗試同時(shí)對(duì)擺桿角度和小車位置進(jìn)行控制。在這里我們首先給小車一個(gè)階躍輸入信號(hào)，以外作用力為輸入。我們用 matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣。并觀察一下系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)?？梢钥闯觯趩挝浑A躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的matlab程序如下：m = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;i= 0.006;g = 9.8;l = 0.3; p = i*(m+m)+m*m*l2; a = 0 1 0 0; 0 -(i+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(m+m)/p 0b = 0; (i+m*l2)/p; 0;m*l/pc = 1 0 0 0;0 0 1 0d = 0; 0t=0:0.005:10;u=0.2*ones(size(t);y,x=lsim(a,b,c,d,u,t);plot(t,y)axis(0 2.5 0 100)matlab給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的a，b，c和d矩陣，并繪出了在給定輸入為一個(gè)0.2 m的階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。3.2系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析3.2.1穩(wěn)定性分析我們先看一看系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將數(shù)據(jù)代入狀態(tài)方程中，利用matlab程序可以求出系統(tǒng)的零極點(diǎn)。源代碼如下：sysc=ss(a,b,c,d);sysd=c2d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);z p gain=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z = -0.9997 -0.9997 1.0251 1.0000 0.9756 1.0000p = 1.0000 1.0282 0.9993 0.9724gain = 1.0e-004 * 0.2272 0.5680由得到的p（極點(diǎn)）可知，有的極點(diǎn)在單位圓外，所以可知原系統(tǒng)是不穩(wěn)定3.2.2能控性分析我們可以利用matlab來(lái)得到系統(tǒng)的能控性，源代碼如下：ud=ctrb(da,db);rank(ud)ans =4由得到的rank（ud）的值可知，原系統(tǒng)的能控性矩陣為4，所以我們可知原系統(tǒng)是能控的。4 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器4.1狀態(tài)空間分析圖5：狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)方程為：式中：為狀態(tài)向量（維），為控制向量（純量），為維常數(shù)矩陣，為維常數(shù)矩陣。選擇控制信號(hào)：求解上式，得到方程解為：可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，選擇適當(dāng)，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，都可以使趨于0。4.2 極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)步驟(1) 檢驗(yàn)系統(tǒng)的可控性條件。(2) 從矩陣的特征多項(xiàng)式來(lái)確定的值。(3) 確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣：其中為可控性矩陣，(4) 利用所期望的特征值，寫(xiě)出期望的多項(xiàng)式并確定的值。(5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定：4.3極點(diǎn)配置的matlab計(jì)算前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對(duì)于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí)間（約5秒）和合適的阻尼（阻尼比）。倒立擺極點(diǎn)配置原理圖如圖所示圖6：倒立擺極點(diǎn)配置原理圖極點(diǎn)配置步驟如下：（1）檢驗(yàn)系統(tǒng)可控性（以證）（2）計(jì)算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設(shè)調(diào)整時(shí)間為3秒），我們選取期望的閉環(huán)極點(diǎn)，其中：其中，是一對(duì)具有的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，位于主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：因此可以得到：由系統(tǒng)的特征方程：因此有系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：（3）確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣：式中：于是可以得到：(4) 狀態(tài)反饋增益矩陣為：得到控制量為：l 零輸入響應(yīng)圖7：極點(diǎn)配置零輸入響應(yīng)在零輸入響應(yīng)下，即不加擾動(dòng)時(shí)小車和擺桿最終都回到平衡位置。程序見(jiàn)下：a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;b=0 1 0 2.5;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0 0;j=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(a)pj=poly(j)m=b a*b a2*b a3*bw=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0t=m*wk=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(t)ac=(a-b*k)bc=b;cc=c;dc=d; sys=ss(ac,bc,cc,dc)t=0:0.005:10;x0=0.05; 0; 0.0175; 0;y1,x=initial(sys,x0,t);plot(t,y1(:,1),red,t,y1(:,2),green)l 當(dāng)有擾動(dòng)時(shí)即它的單位階躍響應(yīng)是：圖8：極點(diǎn)配置的階躍響應(yīng)上圖是極點(diǎn)配置的單位階躍響應(yīng)，由圖中也可以觀察到在4秒左右小車和擺桿都達(dá)到平衡狀態(tài)，滿足題目要求的擺動(dòng)時(shí)間小于5秒。其次也可看到穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角小于0.1度。仿真程序如下：a=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;b=0 1 0 2.5;c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0 0;j=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(a)pj=poly(j)m=b a*b a2*b a3*bw=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0t=m*wk=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(t)ac=(a-b*k)bc=b;cc=c;dc=d; sys=ss(ac,bc,cc,dc)tc=0:0.005:10;y,tc,x=step(sys,tc);plot(tc,x(:,1),green);hold on; plot(tc,x(:,3),red);hold on; 4.4極點(diǎn)配置的simulink電路仿真4.4.1無(wú)狀態(tài)反饋仿真圖9：無(wú)極點(diǎn)配置的電路圖圖10：無(wú)極點(diǎn)配置的小車位移和擺桿角度波形由圖中可知無(wú)狀態(tài)反饋時(shí)，小車位置與擺桿角度都是發(fā)散的 因而無(wú)法達(dá)到動(dòng)態(tài)的平衡。但通過(guò)計(jì)算可知系統(tǒng)是可控的，因而只要加入合適的狀態(tài)反饋，給系統(tǒng)配置到期望的極點(diǎn)上，我們就能使系統(tǒng)穩(wěn)定，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，所以，接下來(lái)我設(shè)計(jì)了有狀態(tài)反饋的仿真電路。4.4.2有狀態(tài)反饋的仿真圖11：有極點(diǎn)配置的電路圖圖12：有幾點(diǎn)配置的小車位移和擺桿角度波形圖我設(shè)計(jì)了有狀態(tài)反饋的電路圖，示波器顯示的波形與用matlab計(jì)算出來(lái)的波形一致，由響應(yīng)曲線可知狀態(tài)反饋系統(tǒng)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)。狀態(tài)向量在零輸入作用下將漸漸衰減為0，這時(shí)擺桿和小車都會(huì)回到原先的位置，當(dāng)施加控制后由于仍能基本滿足要求，且都在5s內(nèi)達(dá)到了穩(wěn)定，故設(shè)計(jì)有效。4.5極點(diǎn)配置的綜合分析由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：極點(diǎn)配置法成功實(shí)現(xiàn)了同時(shí)對(duì)倒立擺擺角和小車的位置的控制，但是在極點(diǎn)配置時(shí)，希望極點(diǎn)的選取，需要考慮、研究它們對(duì)系統(tǒng)品質(zhì)的影響以及它們與零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系，還需要顧及抗干擾性能方面的要求；在對(duì)性能的影響方面，我們通常只考慮主極點(diǎn)的影響，但非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響有時(shí)不可忽略，這樣我們很難較好地選擇所有的極點(diǎn)。極點(diǎn)配置法，雖然利用現(xiàn)代狀態(tài)空間的形式，但仍保留了古典控制的思想。 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)是極點(diǎn)的任意配置，無(wú)論開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點(diǎn)。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都