§1.1隨機事件及其運算.ppt

第一章 隨機事件及其概率,概率論：研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的一個數(shù)學分支，是一門數(shù)學課程。以概率為基礎(chǔ)最早發(fā)展起來的學科有概率論、數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程等。 什么是隨機現(xiàn)象？ 必然現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。 如：在標準大氣壓下，水加熱到100必然會沸騰.這種現(xiàn)象反映了條件與結(jié)果的確定性聯(lián)系。 高數(shù)、線代都是描述比然現(xiàn)象的數(shù)學工具。 但還有另外一類不同的現(xiàn)象。,例1. 拋擲一枚硬幣。 結(jié)果可能為：正面向上或反面向上。 在拋擲前無法確定那一個結(jié)果出現(xiàn)，結(jié)果是偶然的。相同的條件下，多次拋擲，兩種結(jié)果都可能出現(xiàn)。,例2. 袋中有個白球和個紅球，從中任取一球。 結(jié)果可能為：白球或紅球。 取球之前無法確定取到的是什么顏色的球，結(jié)果是偶然的，多次重復取球，兩種結(jié)果均可能出現(xiàn)。 例2. 電話交換臺單位時間內(nèi)接到呼叫次數(shù)可能為：、1、2、3、. 以上這類偶然現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象。,隨機現(xiàn)象：,在一定的條件下，可能出現(xiàn)的結(jié)果不只一個，一個結(jié)果可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，但預先不能斷定會出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象。 它反映了條件與結(jié)果的非確定性聯(lián)系。 下面學習第一節(jié)：隨機事件及其運算,研究隨機現(xiàn)象，首先要對研究對象進行觀測試驗. 這里的試驗，指的是隨機試驗.,1.1 隨機事件及其運算,對隨機現(xiàn)象進行的觀測和試驗. 要求: 1) 試驗可在相同的條件下重復進行; 2) 試驗的可能結(jié)果不止一個; 3) 事先不能斷定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.,1. 隨機試驗：,擲骰子試驗 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性: 隨機現(xiàn)象并不是毫無規(guī)律. 如: 擲骰子時, 出現(xiàn)點數(shù) 6 的次數(shù)占總次數(shù)的比幾乎是一定的, 接近1/6, 且次數(shù)越多, 比值越接近1/6 再如: 大量重復拋硬幣. 人們發(fā)現(xiàn)每一面出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)的比接近1/2, 隨著次數(shù)的增加, 越接近1/2 這表明, 大量重復試驗中, 隨機現(xiàn)象中的各個結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)的比接近一個常數(shù), 呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性, 這是事物本身固有的屬性 概率論正是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科, 已被廣泛應(yīng)用于自然科學和社會科學中. 下面學習隨機事件與樣本空間。,(1) 隨機事件： 在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱事件. 常用A、B、C 或 A1 、A2 、A3 ，等表示。,2. 隨機事件與樣本空間,例如, 在擲骰子試驗中, A1 出現(xiàn)的點數(shù)為1， A2 出現(xiàn)的點數(shù)為2等。,事件,基本事件,復合事件,（相對于觀察目的 不可再分解的事件）,（兩個或兩個以上基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復合事件）,事件 B=擲出奇數(shù)點,如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù) .,事件 Ai =擲出i點 i =1,2,3,4,5,6,兩個特殊的事件：,例如，在擲骰子試驗中， “擲出點數(shù)小于7”是必然事件;,在試驗中必定發(fā)生的事件，常用S 或表示;,在一次試驗中不可能發(fā)生的事件, 常用表示 .,而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.,必然事件：,不可能事件：,現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具 .,(2) 樣本空間與樣本點,我們把隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記作e 或. 全體樣本點的集合稱為樣本空間. 樣本空間用S或表示.,樣本點e,將一枚硬幣拋擲兩次，則： =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),如果試驗是測試某燈泡的壽命：,則樣本點是一非負數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結(jié)果，, = t ：t 0,故樣本空間,引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本空間的子集 .,例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù), = i ：i=1,2,3,4,5,6,樣本空間：,事件B就是的一個子集,B = 1,3,5,B發(fā)生當且僅當B中的樣本點1, 3, 5中的某一個出現(xiàn).,. 事件間的關(guān)系與運算：,事件間的關(guān)系與運算同集合的關(guān)系與運算一致。,若A出現(xiàn), 則B必出現(xiàn), 則稱B包含A,規(guī)定,顯然,(1) .包含（ ）（或 ）：,(2) 相等: A=B:,，且,(3) 和(并)：,A、B 兩者至少有一個發(fā)生,(4) 積(交) ：,A、B 兩者同時發(fā)生,(5) 互斥: A與B互斥(互不相容): AB=，A、B不能同時發(fā)生。,一般地，對于 n 個事件A1 、A2 , , An ，若它們之間兩兩互斥，則稱這 n 個事件是互斥的.,通常A1 A2 , , An 記為 A1 +A2 + , , + An 或,(6)對立(互逆)事件: A+B=，且AB= A, B 有且僅有一個發(fā)生。,B是A的逆事件，記為,=“A 不發(fā)生”，于是有：,注：互逆的事件必定互斥，但互斥的事件卻未必互逆!,(7) 差：,A 發(fā)生而 B 不發(fā)生,以上是一些事件間的關(guān)系與運算，其實質(zhì)就是集合間的關(guān)系與運算，其運算規(guī)律就是集合間的運算規(guī)律。,事件運算的規(guī)律：A、B、C,(1)交換律： AB=BA, AB=BA (2)結(jié)合律： (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC) (3)分配律: (AB)C=ACBC, (AB)C=(AC)(BC) (4)對偶律：,推廣:,證明：直接法、集合法、圖解法。（略）,事件運算還滿足下列關(guān)系式：,例1：設(shè)A、B、C任意三個隨機事件，用 A、B、C及其運算符號表示下列事件：,(1) A發(fā)生而B與C都不發(fā)生；,(2) A發(fā)生且B與C至少有一個發(fā)生;,(3) A與B發(fā)生而C不發(fā)生；,(4) A、B、C只有一個發(fā)生；,(5) A、B、C至少有兩個發(fā)生；,(6) A、B、C至多有一個發(fā)生。,研