高中數(shù)學(xué)第三章3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的聯(lián)系.2.會(huì)借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)的概念思考函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)點(diǎn)嗎？答案不是，函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)數(shù)，一個(gè)使f(x)0的實(shí)數(shù)x.實(shí)際上是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)梳理對(duì)于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，則f(x)在a，b內(nèi)無零點(diǎn)()3若f(x)在a，b上為單調(diào)函數(shù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)()4若f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(a)f(b)0.()類型一求函數(shù)的零點(diǎn)例1函數(shù)f(x)(lgx)2lgx的零點(diǎn)為_考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)答案x1或x10解析由(lgx)2lgx0，得lgx(lgx1)0，lgx0或lgx1，x1或x10.反思與感悟函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)答案4解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3)可知零點(diǎn)為1，2,3，共4個(gè)類型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間例2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex(x2)0(e2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間答案C解析令f(x)ex(x2)，則f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一個(gè)根在(1,2)內(nèi)反思與感悟在函數(shù)圖象連續(xù)的前提下，f(a)f(b)0，能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，但不一定只有一個(gè)；而f(a)f(b)0，卻不能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)無零點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)3x7lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n1)(nN)內(nèi)，則n_.考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間答案2解析函數(shù)f(x)3x7lnx在定義域上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)3x7lnx在區(qū)間(n，n1)上只有一個(gè)零點(diǎn)f(1)37ln140，f(2)67ln20，函數(shù)f(x)3x7lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，n2.類型三函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題命題角度1判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例3求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零點(diǎn)又顯然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上為增函數(shù)故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)方法二在同一坐標(biāo)系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草圖由圖象知g(x)lg(x1)的圖象和h(x)22x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一個(gè)零點(diǎn)反思與感悟判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存在性，然后借助函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)跟蹤訓(xùn)練3求函數(shù)f(x)lnx2x6零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解方法一由于f(2)ln2460，即f(2)f(3)0，說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn)方法二通過作出函數(shù)ylnx，y2x6的圖象，觀察兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論也就是將函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)ylnx與y2x6的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由圖象可知兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)命題角度2根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍例4f(x)2x(xa)1在(0，)內(nèi)有零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍答案D解析由題意可得axx(x0)令g(x)xx，該函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，可知g(x)的值域?yàn)?1，)，故當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)內(nèi)有零點(diǎn)反思與感悟?yàn)榱吮阌谙拗屏泓c(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，通常要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，變形的方向是：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量分離，實(shí)在不能分離，也要使含參數(shù)的函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)x22mx2m1在區(qū)間(1,0)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，11，)B(，1)(1，)C.D.考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)兩根分別屬于兩區(qū)間答案D解析函數(shù)f(x)x22mx2m1的零點(diǎn)分別在區(qū)間(1,0)和(1,2)內(nèi)，即函數(shù)f(x)x22mx2m1的圖象與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在(1,0)內(nèi)，一個(gè)在(1,2)內(nèi)，根據(jù)圖象列出不等式組解得m，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.1函數(shù)ylnx的零點(diǎn)是()A(0,0) Bx0Cx1D不存在考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)答案C2下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)判斷函數(shù)有無零點(diǎn)答案D3若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)0，f(2)0，則下列說法正確的是()Af(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(diǎn)Bf(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)Cf(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)Df(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)答案C4函數(shù)f(x)x3x的零點(diǎn)有_個(gè)考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)答案15若函數(shù)y2|x|k有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍答案(0,1解析y2|x|k有零點(diǎn)，即ky2|x|的值域而|x|0,00，f(b)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)()A一定有零點(diǎn)B一定沒有零點(diǎn)C可能有兩個(gè)零點(diǎn)D至少有一個(gè)零點(diǎn)考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)答案C解析若函數(shù)f(x)的圖象及給定的區(qū)間(a，b)，如圖(1)或圖(2)所示，可知A，D錯(cuò)，若如圖(3)所示，可知B錯(cuò)6已知x0是函數(shù)f(x)2x的一個(gè)零點(diǎn)若x1(1，x0)，x2(x0，)，則()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系答案B解析方法一由f(x)0，得2x0，2x.在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y12x，y2的圖象(圖略)，觀察圖象可知，當(dāng)x1(1，x0)時(shí)，y1y2，f(x1)0.方法二函數(shù)y2x，y在(1，)上均為增函數(shù)，函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)，由x1(1，x0)，f(x0)0，得f(x1)f(x0)0.7若函數(shù)f(x)在定義域x|xR且x0上是偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)，f(2)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有()A一個(gè)B兩個(gè)C至少兩個(gè)D無法判斷考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)答案B解析f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2.又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(，0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2.因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)2與2.8函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)答案B解析函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)方程|log0.5x|x的根的個(gè)數(shù)函數(shù)y1|log0.5x|與y2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.二、填空題9若函數(shù)f(x)mx1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)取值范圍答案m1解析f(0)1，要使函數(shù)f(x)mx1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)m10，即m1.10已知函數(shù)f(x)ax22axc(a0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為_考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)答案3解析設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，根據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x22.又因?yàn)閤11，所以x23.11若函數(shù)f(x)axxa(a0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍答案(1，)解析函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖，當(dāng)a1時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0a1.三、解答題12求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)考點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念題點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn)解當(dāng)x0時(shí)，令2x40，得x2，滿足要求；當(dāng)x0時(shí)，令lgx0，得x1，滿足要求所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是2,1.13已知yf(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)x22x.(1)寫出函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解，求a的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系題點(diǎn)由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍解(1)當(dāng)x(，0)時(shí)，x(0，)，yf(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)x22x(x1)21，最小值為1；當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)x22x1(x1)2，最大值為1.據(jù)此可作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象得，若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是(1,1)四、探究與拓展14若函數(shù)f(x)3x25xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(2,0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)