高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓課后提升作業(yè)（十）2.1.2.1橢圓的簡單幾何性質(zhì)檢測.docx

課后提升作業(yè) 十橢圓的簡單幾何性質(zhì)(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是()A.B.C.D.-【解析】選C.橢圓方程可簡化為+=1,由題意知m0,所以b0)，右焦點F(c,0)，則直線l的方程為=1，即bx+cy-bc=0，由題意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=7.(2016衡水高二檢測)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足=0的點M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是()A.(0,1) B.C. D.【解析】選C.設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,因為=0,所以M點的軌跡是以原點O為圓心,半焦距c為半徑的圓.又M點總在橢圓內(nèi)部,所以該圓內(nèi)含于橢圓,即cb,c2b2=a2-c2,故e2,所以0eb0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓M上任一點,且的最大值的取值范圍是c2,3c2,其中c=,則橢圓M的離心率e的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選B.設(shè)P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則=(-c-x,-y),=(c-x,-y), =x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原點的距離的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以()max=b2,所以c2b2=a2-c23c2,即e2,所以e.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016臺州高二檢測)若橢圓的兩焦點為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,且PF1F2的最大面積是12,則橢圓的短半軸長為_.【解析】設(shè)P點到x軸的距離為h,則=|F1F2|h,當(dāng)P點在y軸上時,h最大,此時最大.因為|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2016嘉興高二檢測)已知橢圓+=1的左頂點為A1,右焦點為F2,點P為該橢圓上一動點,則當(dāng)取最小值時|+|的取值為_.【解析】由已知得a=2,b=,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),設(shè)P(x,y),則=(1-x,-y)(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又點P(x,y)在橢圓上,所以y2=3-x2,代入上式,得=x2+x+1=(x+2)2.又x-2,2,所以當(dāng)x=-2時,取得最小值.所以P(-2,0),求得|+|=3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)11.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,F1PF2=60.(1)求橢圓離心率的范圍.(2)求證:F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【解析】(1)不妨設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3=4a2-3a2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號).所以,即e.又0e1,所以e的取值范圍是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60=b2,即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān).12.已知橢圓x2+=1(0b0,所以b=c,結(jié)合b2=1-c2得b2=,所以橢圓的方程為x2+=1,即x2+2y2=1.【能力挑戰(zhàn)題】設(shè)橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=,已知點P到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離為,求這個橢圓方程.【解題指南】先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率得到a,b的關(guān)系,再設(shè)M(x,y)為橢圓上的點,用兩點間距離表示出|PM|,最后利用二次函數(shù)知識求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),M(x,y)為橢圓上的點,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-byb),若0b,故矛盾.若b,則當(dāng)y=-時,4b2+3=7,b2=1,從而a2=4.所求方程為+y2=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點.當(dāng)|最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)P(x0,y0),且+=1,所以|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0