空間誤差分析第三章協(xié)方差傳播率及權(quán).ppt

空間數(shù)據(jù)誤差處理,Surveying Adjustment,第三章 協(xié)方差傳播率及權(quán),第三章 協(xié)方差傳播率及權(quán),3-1 數(shù)學(xué)期望的傳播 3-2 協(xié)方差傳播率 3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用 3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法 3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,第三章 協(xié)方差傳播率及權(quán),3-6 由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用 3-7 系統(tǒng)誤差的傳播 小 結(jié) 作 業(yè),3-1 數(shù)學(xué)期望的傳播,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) E (C ) = C （ C 為常數(shù)） E (CX ) = CE (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 推廣：E (X 1 + X 2 + + X n ) = E (X 1) + E (X 2 ) + + E (X n),3-1 數(shù)學(xué)期望的傳播,當(dāng)X ,Y 獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) 推廣： E (X 1 X 2 X n ) = E (X 1) E (X 2 ) E (X n),3-2 協(xié)方差傳播率,協(xié)方差傳播率的作用 觀測值線性函數(shù)的方差 多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣 非線性函數(shù)的情況,3-2 協(xié)方差傳播率,一、協(xié)方差傳播率的作用 計算觀測向量函數(shù)的方差協(xié)方差陣，從而評定觀測向量函數(shù)的精度。 協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運算規(guī)律，是描述觀測值方差與觀測值函數(shù)方差之間的關(guān)系式。,3-2 協(xié)方差傳播率,二、觀測值線性函數(shù)的方差 問題：設(shè)有觀測值向量X ,其數(shù)學(xué)期望為X，協(xié)方差陣為DXX, 即：,3-2 協(xié)方差傳播率,又設(shè)有的線性函數(shù)為： 即： 求：Z 的方差DZZ,3-2 協(xié)方差傳播率,（1）純量形式 （2）當(dāng)ij = 0 時（i j）,3-2 協(xié)方差傳播率,例1：在1：500的地圖上，量得某兩點間的距離d=23.4mm，d的量測中誤差d=0.2mm。求實地距離S及其中誤差S。 例2：設(shè)X為獨立觀測值L1,L2,L3的函數(shù) 已知L1、L2、L3的中誤差為1=3mm，2=2mm，3=1mm，求函數(shù)的中誤差X,3-2 協(xié)方差傳播率,例3.在測站A上，已知CAB=，設(shè)無誤差，而觀測角1和2的中誤差為1= 2 =1.4，協(xié)方差12= -1（秒2），求角x的中誤差x,1,2,x,3-2 協(xié)方差傳播率,三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣 問題1：若有的X的 t個線性函數(shù),3-2 協(xié)方差傳播率,令 即 求：Z 的協(xié)方差陣,3-2 協(xié)方差傳播率,3-2 協(xié)方差傳播率,問題2：設(shè)另有X的r個線性函數(shù),3-2 協(xié)方差傳播率,令 即 求：Y 的協(xié)方差陣 和Y關(guān)于Z的協(xié)方差,3-2 協(xié)方差傳播率,3-2 協(xié)方差傳播率,（1）DZY的取值 （2）Y=Z時，,3-2 協(xié)方差傳播率,3-2 協(xié)方差傳播率,例4.設(shè)在一個三角形中，同精度獨立觀測得到三個內(nèi)角L1 , L2 , L3，其中誤差為。試求將三角形閉合差平均分配后的各角 的協(xié)方差陣。,3-2 協(xié)方差傳播率,例5.設(shè)有函數(shù)： 已知X和Y的協(xié)方差陣 和 ，X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣為 ，求Z的方差陣 和Z關(guān)于X及Y的協(xié)方差陣 和 。,3-2 協(xié)方差傳播率,四、非線性函數(shù)的情況 1.單個非線性函數(shù) 設(shè)有觀測值 的非線性函數(shù) Z=f(X),或 已知X的協(xié)方差陣DXX , 求Z的方差DZZ,為了求非線性函數(shù)的方差，只要對它求全微分就可以了。,補充,3-2 協(xié)方差傳播率,2.多個非線性函數(shù) 設(shè)有觀測值 的多個非線性函數(shù) 和 求： DZZ 、DYY 、DYZ,3-2 協(xié)方差傳播率,（1）求DZZ：將t個非線性函數(shù)求全微分,3-2 協(xié)方差傳播率,記,3-2 協(xié)方差傳播率,（2）求DYY：將r個非線性函數(shù)求全微分,3-2 協(xié)方差傳播率,記,3-2 協(xié)方差傳播率,（3）求DYZ：將r個非線性函數(shù)求全微分,3-2 協(xié)方差傳播率,3-2 協(xié)方差傳播率,例6.如圖為一塊土地面積按比例尺的放樣，圖中全部內(nèi)角均已知為直角，給定數(shù)據(jù)為 試計算矩形ABFG的面積Z及其方差。,3-2 協(xié)方差傳播率,例7.設(shè)在ABC中，觀測三個內(nèi)角L1 , L2 , L3，將閉合差平均分配后得到的各角之值為 按例4的方法求得它們的協(xié)方差陣為 已知邊長S0=1500.000m（無誤差），試求Sa，Sb的長度和它們的協(xié)方差陣DSS。,3-2 協(xié)方差傳播率,3.應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟為： （1）按要求寫出函數(shù)式，如：Z=KX 或 （2）如果為非線性函數(shù)，對函數(shù)式求全微分，得： （3）寫成矩陣形式： （4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,水準(zhǔn)測量的精度 同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度 若干獨立誤差的聯(lián)合影響 交會定點的精度 GIS線元要素的方差 時間觀測序列平滑平均值的方差,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,一、水準(zhǔn)測量的精度,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,當(dāng)各測站高差的觀測精度相同時，水準(zhǔn)測量中高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比。 當(dāng)各測站的距離大致相等時，水準(zhǔn)測量中高差的中誤差與距離的平方根成正比。,一公里觀測高差的中誤差,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,例1：在已知水準(zhǔn)點A、（高程為真值）間布設(shè)水準(zhǔn)路 線，如圖，路線長分別為 s1=2km , s2=6km , s3=4km ，設(shè)每公里觀測高差的中誤差為公里=1.0mm ，試求： （1）將閉合差按距離分配之后的p1、p2兩點間高差的中誤差； （2）分配閉合差后P1 點的高程中誤差。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,二、同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的精度,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,例2.有一角度測4測回,得中誤差0.42 ,問在增加多少測回其中誤差為0.28 。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,三、若干獨立誤差的聯(lián)合影響,觀測結(jié)果的方差，等于各獨立誤差所 對應(yīng)的方差之和。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,四、交會定點的精度 1.利用 求點位方差 （1）列函數(shù)式 （2）線性化 （3）應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計算坐標(biāo)方差 （4）計算點位方差,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,列函數(shù)式：,對（1）式和（2）式求全微分，得S，的協(xié)方差陣為,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,對（3）式和（4）式求全微分，得P點坐標(biāo)（x，y）的協(xié)方差陣為,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,2.利用縱向方差和橫向方差計算點位方差 3.點位中誤差,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,例3.如圖，由已知點A丈量距離S并測量坐標(biāo)方位角，借以計算P點的坐標(biāo)。觀測值及其中誤差為S=127.00m0.03m，= 30002.5 ，設(shè)A點坐標(biāo)無誤差，試求待定點P的點位中誤差P。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,解：,取全微分，得,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,五、GIS線元要素的方差 已知 A( x1,y1 ) B( x2,y2 )，其協(xié)方差陣為 試求在AB直線上AP=S1的P點坐標(biāo)（x , y）及其協(xié)方差陣。,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,列函數(shù)式：,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,六、時間觀測序列平滑平均值的方差 設(shè)有等時間間隔觀測序列 為對序列進行平滑，其平均值,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,已知為等精度獨立觀測序列，觀測值中誤差為，協(xié)方差ij=0（ij），試求各滑動平均值的方差 及它們之間的協(xié)方差。 解：列函數(shù)式,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,3-3 協(xié)方差傳播率的應(yīng)用,七、注意 根據(jù)測量實際，正確列出函數(shù)式 對函數(shù)式進行全微分，用觀測值計算偏導(dǎo)數(shù)值 注意各項的單位要統(tǒng)一 將微分關(guān)系寫成矩陣形式 直接應(yīng)用協(xié)方差傳播律得到所要求的協(xié)方差陣,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,權(quán)的定義 單位權(quán)中誤差 常用定權(quán)的方法,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,一、權(quán)的定義 1.權(quán)的定義式 表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征。 設(shè)有觀測值Li（i=1，2，n），它們的方差為 ，選定任一常數(shù)0，定義觀測值 Li的權(quán)為：,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,說 明 （1）權(quán)的大小可以衡量觀測值精度的高低。 觀測值的權(quán)與其方差成反比。即方差愈小，其權(quán)愈大，或者說，精度愈高，其權(quán)愈大。 （2） 既可是同一量不同觀測值的方差，也可是不同觀測量的方差。權(quán)的定義式既可計算同一量不同觀測值的權(quán)，也可計算同一平差問題中各個不同觀測量的權(quán)。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,（3）權(quán)不唯一，0可以是任意選定的常數(shù) 水準(zhǔn)路線長度： 各水準(zhǔn)路線的中誤差為： 取 權(quán)： 取 權(quán)：,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,（4）權(quán)反映的是各觀測值之間的比例關(guān)系,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,2.權(quán)的性質(zhì) （1）選定了一個0值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。或者說，有一組權(quán)，必有一個對應(yīng)的0值。 （2）一組觀測值的權(quán)，其大小是隨0 的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。 （3）為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中只能選定一個0值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,（4）事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。 （5）方差是反映觀測值的絕對精度的，權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的比例數(shù)，權(quán)的意義不在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系，可以比較精度的高低。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,3.權(quán)在測量平差中的作用 在平差中，權(quán)可用來比較各觀測值相互之間精度高低，確定觀測值在參加平差計算時的比例。 權(quán)可在觀測值方差未知的情況下，根據(jù)觀測條件先行確定，滿足平差計算的需要。,平差計算之前，精度的絕對數(shù)字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相對的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的結(jié)果估算出表示精度的絕對的數(shù)字特征（方差）。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,二、單位權(quán)中誤差 引例,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,1.定義 權(quán)等于1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。 權(quán)等于1的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差或方差因子。 權(quán)等于1的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。,（h5，h1）,（5，1）,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,2.權(quán)的單位 權(quán)的單位決定于單位權(quán)中誤差0和觀測值中誤差 i的單位 同類觀測值：權(quán)是無量綱，無單位。 不同類觀測值：權(quán)是有單位的。 例：觀測值中有角度量（單位：秒）、長度量（單位：mm），若取單位權(quán)中誤差的單位為秒，則觀測值權(quán)的單位中，角度觀測值權(quán)為無量綱，長度觀測值權(quán)的單位為：“秒2/mm2”,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,三、常用定權(quán)的方法 1.距離觀測值的權(quán) 設(shè)單位長度(如1km)的距離觀測值方差為2 ,根據(jù)協(xié)方差傳播律,全長為Si km的距離觀測值的方差為 取C km距離觀測值的方差為單位權(quán)方差,即取:,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,C的意義： Si=1時，pi=C C是1km距離觀測值的權(quán) pi=1時，Si=C C是單位權(quán)距離觀測值的的km數(shù),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,2.水準(zhǔn)測量的權(quán) （1）用水準(zhǔn)路線的測站數(shù)定權(quán),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,當(dāng)各測站的觀測高差為同精度時，各路線的權(quán)與測站數(shù)成反比。 C的意義： Ni=1時，pi=C C是1測站的觀測高差的權(quán) pi=1時，Ni=C C是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,例8.如圖，已知各路線的測站數(shù)分別為40，25，50，20，40，50，25。試確定各路線所測得的高差的權(quán)。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,（2）用水準(zhǔn)路線的長度定權(quán),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,當(dāng)各測站的觀測高差為同精度時，各路線的權(quán)與距離的公里數(shù)成反比。 C的意義： Si=1時，pi=C C是1公里觀測高差的權(quán) pi=1時，Si=C C是單位權(quán)觀測高差的線路公里數(shù),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,例9.如圖，各水準(zhǔn)路線的長度為S1=3.0km, S2=6.0km, S3=2.0km, S4=1.5km。設(shè)每公里觀測高差的精度相同，已知第4條路線觀測高差的權(quán)為3，試求其他各路線觀測高差的權(quán)。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,例10.如圖，已知水準(zhǔn)點A、B 和 C 向待定點 D 進行水準(zhǔn)測量，以測定 D 點高程。各路線長度為 S1=2.0km, S2= S3=4.0km, S4=1km。設(shè)2km線路觀測高差為單位權(quán)觀測值，中誤差2km=2mm。求D 點高程估值的中誤差,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,（3）適用范圍 用測站數(shù)N定權(quán)：山地、丘陵等起伏較大的地區(qū)。 用路線長度S定權(quán)：平地等起伏不大的地區(qū)。,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,3.同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán) （1）由不同次數(shù)的同精度觀測值所算得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測次數(shù)成正比。 （2）C的意義 Ni=1時， C= 1/pi 一次觀測的權(quán)倒數(shù) pi=1時，C=Ni 單位權(quán)觀測值的觀測次數(shù),3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,例：對A進行4次同精度觀測，一次測角中誤差為2.4，已知4次算術(shù)平均值的權(quán)為2。 試問：（1）單位權(quán)觀測值是什么 （2）單位權(quán)中誤差等于多少 （3）欲使A的權(quán)等于6，應(yīng)該觀測幾次,3-4 權(quán)與定權(quán)的常用方法,4.測量平差中常用的方法 通過先確定觀測值的權(quán)，也就是先確定觀測值間精度的相對數(shù)字指標(biāo)，再通過平差計算，一方面確定觀測值的最佳估值，另一方面確定觀測值精度的絕對數(shù)字指標(biāo)（方差）的平差計算方法，已經(jīng)成為測量平差中普遍采用的方法。,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣 協(xié)因數(shù)傳播率,一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣 1.協(xié)因數(shù)權(quán)倒數(shù),Qij為Li關(guān)于Lj的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù),3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）與方差成正比，與權(quán)成反比，因此，可作為衡量精度的相對指標(biāo)。 Qij是比較觀測值之間相關(guān)程度的指標(biāo)，當(dāng)Qij =0，兩觀測值獨立（不相關(guān)）。,例1.設(shè)有觀測值L1的權(quán)p1=2，方差 =4；又知L2的方差 =1，求p2、Q11、Q22,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,2.協(xié)因數(shù)陣,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,特點：（1）主對角線元素Qii為隨機變量Xi的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù) （2）對稱：非主對角線元素Qij（ij）為隨機變量Xi關(guān)于隨機 變量Xj 的互協(xié)因數(shù)，且有Qij= Qji （3）正定 （4）各觀測量互不相關(guān)（獨立）時， Qij=0為對角矩陣。,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3.分塊矩陣的協(xié)因數(shù)陣,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,4.權(quán)陣,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,PLL是由獨立觀測值Li的權(quán)pi構(gòu)成的對角 陣，與權(quán)逆陣QLL互為逆陣，即：PLL QLL=E,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,要點：（1）定義式： （2）獨立觀測值的權(quán)為對角陣，且其主對角線元素即為相應(yīng) 觀測值的權(quán)。有Pii= pi （3）當(dāng)觀測向量中的觀測值相關(guān)時，其權(quán)陣中的主對角線元 素Pii不是觀測值Li的權(quán)pi。,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,例2.已知觀測值向量 的權(quán)陣為 ，求 觀測值L1的權(quán) 和觀測值L2的權(quán),3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,二、協(xié)因數(shù)傳播率 1.協(xié)因數(shù)傳播率 （1）線性函數(shù)的情況 設(shè)有觀測值X的函數(shù)Y和Z 求QYY、QZZ、QZY,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,（2）非線性函數(shù)的情況 設(shè)有觀測值X的非線性函數(shù)Y和Z 求QYY、QZZ、QZY,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,全微分 其中,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,例1.已知觀測向量X1和X2的協(xié)因數(shù)陣 和互協(xié)因數(shù)陣 ，或?qū)憺?設(shè)有函數(shù) 試求Y關(guān)于Z的協(xié)因數(shù)陣QYZ,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,例2.設(shè)已知觀測值L的協(xié)因數(shù)陣為QLL，又設(shè) 式中， 為對稱方陣，且為可逆陣。試求K和V的協(xié)因數(shù)陣QKK、QVV及K關(guān)于V的互協(xié)因數(shù)陣QKV,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,2.獨立觀測值的權(quán)倒數(shù)傳播率 設(shè)有獨立觀測值 ，已知PLL和QLL,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,有L的函數(shù)Z=f( L1 ,L2 , Ln ), 求QZZ,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,例3.已知獨立觀測值Li ( i=1,2, ,n )的權(quán)均為p，試求算術(shù)平均值 的權(quán)px,pX=np (1)算術(shù)平均值之權(quán)等于觀測值之權(quán)的n 倍。 (2)當(dāng)各個觀測值為單位權(quán)觀測值時， 即p=1時，pX=n。,3-5 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播率,例4.已知獨立觀測值Li ( i=1,2, ,n )的權(quán)為pi， 試求 的權(quán)px,(1)帶權(quán)平均值之權(quán)等于觀測值權(quán)之和。 (2)若p1 = p2 = = pn=p，pX = np。,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式 由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用 三角形閉合差求測角中誤差 由雙觀測值之差求中誤差,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式 已知：設(shè)L1 ,L2 , Ln是一組不同精度的獨立觀測值，數(shù)學(xué)期望、中誤差和權(quán)分別為1 ,2 , ,n 、1 ,2 ,n 和 p1 , p2 , , pn，對應(yīng)的真誤差為i ，且 求：各觀測值的中誤差i,各觀測值 的中誤差i,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,思 路：,不同精度觀測值 的真誤差i,同精度觀測值 的真誤差,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,二、由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用 在一般情況下，觀測量的真值(或數(shù)學(xué)期望)是不知道的。但是，在某些情況下，由若干個觀測量(例如角度、長度、高差等)所構(gòu)成的函數(shù)，其真值有時是已知的，因而，其真誤差也是可以求得的。,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,1.三角形閉合差求測角中誤差 已知：在一個三角網(wǎng)中，以同精度獨立觀測了各三角形之內(nèi)角，由各觀測角值計算而得的三角形閉合差分別為w1 ,w2 , wn 求：各內(nèi)角觀測值的中誤差,菲列羅公式,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,2.由雙觀測值之差求中誤差 設(shè)對量X1 ,X2 , Xn ,分別觀測兩次，得獨立觀測值和權(quán): 第一次： 第二次： 權(quán)： 觀測值 和 是對同一量 的兩次觀測的結(jié)果，稱為一個觀測對。這種成對的觀測，稱為雙觀測 。,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,已知：對量X1 ,X2 , Xn ,分別觀測兩次，得獨立觀測值和權(quán): 第一次： 第二次： 權(quán)： 求：（1）觀測值 和 的中誤差 （2）求第i 對觀測值平均值 的中 誤差 雙觀測值的真值之差為零。,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,（1）求觀測值 和 的中誤差,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,（2）求第i 對觀測值平均值 的中誤差,3-6 由真誤差計算中誤差及其應(yīng)用,例.設(shè)分5段測定A、B兩水準(zhǔn)點間的高差，每段各測兩次，結(jié)果見下表。試求：（1）每公里觀測高差的中誤差；（2）第二段各測高差的中誤差；（3）第二段高差的平均值的中誤差；（4）全長一次（往測或返測）觀測高差的中誤差及全長高差平均值的中誤差。（C=1，1km高差為單位權(quán)觀測值）,3-7 系統(tǒng)誤差的傳播,系統(tǒng)誤差的存在 觀測值的系統(tǒng)誤差與綜合方差 系統(tǒng)誤差的傳播 系統(tǒng)誤差與偶然誤差聯(lián)合傳播,3-7 系統(tǒng)誤差的傳播,一、系統(tǒng)誤差的存在 由于種種原因，在觀測成果中總是或多或少地存在殘余的系統(tǒng)誤差。由于系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因多種多樣，它們的性質(zhì)各不相同，因而只能對不同的具體情況采用不同的處理方法，不可能得到某些通用的處理方法。對于殘余的系統(tǒng)誤差對成果的影響，沒有嚴(yán)密的計算方法，只有近似的估算方法。,3-7 系統(tǒng)誤差的傳播,二、觀測值的系統(tǒng)誤差與綜合方差 1.觀測值的系統(tǒng)誤差 設(shè)有觀測值L，觀測量的真值為 ， 綜合誤差：,是觀測值L的數(shù)學(xué)期望對于觀測