D11512高斯,2斯托克斯公式(合).ppt

,第五節(jié),一、高斯公式,二、通量與散度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,高斯公式 斯托克斯公式,第十一章,三、斯托克斯公式,四、環(huán)流量與旋度,一、高斯( Gauss )公式,定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲, 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,下面先證:,函數(shù) P, Q, R 在,面 所圍成,則有,(Gauss 公式),高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束, 的方向取外側(cè),證明:,為XY型區(qū)域 ,則,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),所以,若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進(jìn)輔助面將其分割,成若干個(gè) XY型區(qū)域,故上式仍成立 .,負(fù)抵消,在輔助面正反兩側(cè)面積分正,類似可證,三式相加, 即得所證 Gauss 公式：,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 用Gauss 公式計(jì)算,其中 為柱面,閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).,解: 這里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐標(biāo)),及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間,思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化?,若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分,其中 為錐面,解: 作輔助面,取上側(cè);,介于 z = 0 及,z = h 0 之間部分的下側(cè).,所圍區(qū)域?yàn)?則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用重心公式, 注意,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,設(shè) 為曲面,取上側(cè), 求,解:,作取下側(cè)的輔助面,先二后一,輪換對(duì)稱性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在閉區(qū)域 上具有一、,二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式,例4. 設(shè)函數(shù),其中 是整個(gè) 邊界面的外側(cè).,分析:,高斯公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:令,由高斯公式得,移項(xiàng)即得所證公式.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、通量與散度,引例.,設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場為,理意義可知,設(shè) 為場中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面 的流量為,則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物,由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若 為方向向外的閉曲面,當(dāng) 0 時(shí),說明流入 的流體質(zhì)量少于,當(dāng) 0 時(shí),說明流入 的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過 的流量為,當(dāng) = 0 時(shí),說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 .,流出的,表明 內(nèi)有涌出;,表明, 內(nèi)有吸入 ;,根據(jù)高斯公式, 流量也可表為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方向向外的任一閉曲面 ,記 所圍域?yàn)?設(shè) 是包含點(diǎn) M 且,為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性,在式兩邊同除以 的體積 V,并令 以,任意方式縮小至點(diǎn) M,則有,此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M 的特點(diǎn):,其值為正,負(fù)或 0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義:,設(shè)有向量場,其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)的一片有向,則稱,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在場中點(diǎn) M(x, y, z) 處,divergence,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.,例如, 勻速場,故它是無源場.,P16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,由引例可知, 散度是通量對(duì)體積的變化率, 且,例5.,置于原點(diǎn), 電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為,解:,計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式),個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的,側(cè)與 的正向符合右手法則,在包含 在內(nèi)的一,則有,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域,則變成格林,公式：,( 格林公式 ),或用第一類曲面積分表示:,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(斯托克斯公式),行列式輔助記憶式,例6. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分,其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè),解: 記三角形域?yàn)? 取上側(cè),則,邊界, 方向如圖所示.,利用對(duì)稱輪換性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 為柱面,與平面 y = z 的交線,從 z,軸正向看為順時(shí)針, 計(jì)算,解: 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得,則其法線方向余弦,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、 環(huán)流量與旋度,斯托克斯公式,設(shè)曲面 的單位法向量為,曲線 的單位切向量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令, 引進(jìn)一個(gè)向量,rotation,定義:,沿有向閉曲線 的環(huán)流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則斯托克斯公式可寫為,設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一,點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則,點(diǎn) M 的線速度為,(此即“旋度”一詞的來源),旋度的力學(xué)意義:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意 與 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意義:,例8.,求電場強(qiáng)度,的旋度 .,解:,(除原點(diǎn)外),這說明, 在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外, 整個(gè)電場無旋.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的外法向量,計(jì)算,解:,例9. 設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),所圍立體,判斷下列演算是否正確?,(1),(2), 為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),則,提示: