數(shù)學(xué)物理方法第十三章.ppt

從前面的定解問題的解法中，我們?nèi)菀紫氲接捎谶吔缧螤钶^為復(fù)雜，或由于泛定方程較為復(fù)雜，或由于其它各種條件發(fā)生變化，將使得定解問題難以嚴(yán)格解出，因此又發(fā)展了一些切實(shí)可用的近似方法，通過本章的學(xué)習(xí)我們會(huì)看到近似解的價(jià)值一點(diǎn)也不低于嚴(yán)格解的價(jià)值事實(shí)上，我們應(yīng)該已經(jīng)注意到，從推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程時(shí)難免要作一些簡化假定，定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴(yán)格解其實(shí)也是某種程度的近似,第十三章 變分法,如果某個(gè)定解問題不能嚴(yán)格解出，但另一個(gè)與它差別甚微的定解問題能嚴(yán)格解出，那么就可以運(yùn)用微擾法求近似解量子力學(xué)教科書中一般都要介紹微擾法，限于課時(shí)，這里就不再重復(fù)介紹,近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等,變分法是研究求解泛函極值（極大或極小）的方法，變 分問題即是求泛函的極值問題把定解問題轉(zhuǎn)化為變分 問題，再求變分問題的解,變分法的優(yōu)點(diǎn):,(2) 變分法易于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化因?yàn)橐话愣?，?shù)學(xué)物理方程的定解問題都可以轉(zhuǎn)化為變分問題尤其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉(zhuǎn)化為變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；,(1) 變分法在物理上可以歸納定律因?yàn)閹缀跛械淖匀欢啥寄苡米兎衷淼男问接枰员磉_(dá)；,(3) 變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問題常用的近似方法，其基本思想是把數(shù)學(xué)物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是里茨 （Ritz）法 由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為麻煩，計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計(jì)算機(jī)的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；,(4) 變分法的應(yīng)用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用,有限差分法：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 然后通過電子計(jì)算機(jī)求定解問題的數(shù)值解,模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題， 而在模型上實(shí)測解的數(shù)值,變分法是這些方法中最為重要和切實(shí)有效的方法， 已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程計(jì)算之中，限于篇幅故 本書主要詳細(xì)介紹經(jīng)典變分法的基本概念和理論,13.1 變分法的基本概念,定義： 變分法 變分問題,變分法就是求泛函極值的方法變分問題即是求 泛函的極值問題,一、泛函 變分法研究的對象是泛函，泛函是函數(shù)概念的推廣 為了說明泛函概念先看一個(gè)例題：,考慮著名的最速降線落徑問題。如圖13.1 所示， 已知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點(diǎn)，要求 找出A、B間的這樣一條曲線，當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿 這條曲線無摩擦地從A滑到B時(shí)，所需的時(shí)間T最小,圖13.1,我們知道，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度是,因此從 A滑到B所需的時(shí)間為,即為,（13.1.1）,式中,代表對,求一階導(dǎo)數(shù) 我們稱上述的,為,的泛函，而稱,為可取的函數(shù)類，為泛函,的定義域。簡單地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)（不是復(fù)合函數(shù) 的那種含義）,一般來說，設(shè)C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的集合，,如果對于C的任一元素,在B中都有一個(gè)元素,與之對應(yīng)，,則稱,為,的泛函，記為,必須注意，泛函不同于通常講的函數(shù)決定通常函數(shù)值的,因素是自變量的取值，而決定泛函的值的因素則是函數(shù)的取形如上面例子中的泛函T的變化是由函數(shù),（即從A到B的不同曲線）,值，也不取決,所引起的它的值既不取決于某一個(gè),本身的變化,于某一個(gè),值，而是取決于整個(gè)集合C中,與,的函數(shù)關(guān)系,定義：泛函 泛函的核,泛函通常以積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線 落徑問題的式（13.1.1）更為一般而又典型的泛函定義為,(13.1.2),其中,稱為泛函的核,二、泛函的極值變分法,對于不同的自變量函數(shù),，與此相應(yīng)的泛函,也有不同的數(shù)值找出一個(gè)確定的自變量函數(shù),，使泛函,具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大 值統(tǒng)稱為泛函的極值,引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變?yōu)榉汉?的極小值問題物理學(xué)中常見的有光學(xué)中的費(fèi)馬(Fermat),原理，分析力學(xué)中的哈密頓(Hamiton)原理等，都是泛函的極值問題,即直接分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分,三、 變分,定義： 變分,如果我們將泛函取極值時(shí)的函數(shù)（或函數(shù)曲線）定義為,并定義與函數(shù)曲線,鄰近的曲線（或略為變形的,定義： 變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法,研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，,曲線）作為比較曲線，記為,其中,是一個(gè)小參數(shù)；,是一個(gè)具有二階導(dǎo)數(shù)的任意,選定函數(shù)，規(guī)定,它在一個(gè)小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛,函在極值處連續(xù)在研究泛函極值時(shí)，通常將,固定，,而令,變化，這樣規(guī)定的好處在于：建立了由參數(shù),到泛函,值之間的對應(yīng)關(guān)系，因此泛函,就成為了參數(shù),的普通函數(shù)原來泛函的極值問題就成為,普通函數(shù)對,的求極值的問題同時(shí)，函數(shù)曲線,的變分定義為,(13.1.3),因此可得,(13.1.4),這里,代表對,求一階導(dǎo)數(shù),所以,(13.1.5),即變分和微分可以交換次序,(13.1.6),在極值曲線,附近，泛函,的增量，定義為,(13.1.7),依照上述約定，當(dāng),時(shí)，泛函增量,的線性,主要部分定義為泛函的變分，記為,四、 泛函的變分,定義： 泛函的變分 泛函的增量 變分問題,泛函的變分定義為,(13.1.8),在求一元或多元函數(shù)的極值時(shí)，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時(shí)，變分起著類似微分的作用因此，通常稱泛函極值問題為變分問題；稱求泛函極值的方法為變分法,解,注意：最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實(shí)，即,例 1 計(jì)算泛函的變分,132 泛函的極值,泛函的極值問題，一般來說是比較復(fù)雜的因?yàn)樗c泛函包含的自變量個(gè)數(shù)，未知函數(shù)的個(gè)數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等相關(guān)另外，在求泛函極值時(shí)，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我們首先討論泛函的極值的必要條件,一、 泛函的極值的必要條件歐拉拉格朗日方程,設(shè),的極值問題有解,（13.2.1）,現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)解所滿足的常微分方程，這是用間接法 研究泛函極值問題的重要一環(huán)設(shè)想這個(gè)解有變分,則,可視為參數(shù),的函數(shù),而當(dāng),時(shí)，,對應(yīng)于式(13.2.1),即為,取極值于是原來的泛函極值,問題，就化為一個(gè)求普通函數(shù),的極值問題由函數(shù),取極值的必要條件，有,即有,（13.2.2）,1.泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù) 的積分形式,泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，,（13.1.2）,若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點(diǎn),的任意曲線進(jìn)行的，其中,泛函中,為,由于兩端固定，所以要求,，即,由(13.1.8)，有,（13.2.3）,式(13.2.3)的積分號(hào)下既有,，又有,，對第二項(xiàng),應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn),(13.2.4),根據(jù)（17.2.2）,所以,再根據(jù),（13.2.4）故有,（13.2.5）,因?yàn)?并且,是任意的，所以,(13.2.6),上式(13.2.6)稱為歐拉（Euler）拉格朗日（Lagrange） 方程，簡稱為E-L方程,此即泛函取極值的必要條件即泛函,的極值函數(shù),必須是滿足泛函的變分,的函數(shù)類,因此，,把泛函的極值問題稱為變分問題,注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件如果討論充分條件，則要計(jì)算二階變分，并考慮其正、負(fù)值,但對于實(shí)際問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的極值,E-L方程除了上面給出的形式(13.2.6)之外， 另外還有四種特殊情況：,(1),不顯含,且,因?yàn)?若,E-L方程等價(jià)于,（13.2.7）,(2),不依賴于,且,則E-L方程化為,（13.2.8）,(3),不依賴于,且,則E-L方程化為,（13.2.9）,由此可見,僅為,的函數(shù),(4),關(guān)于,是線性的：,則E-L方程化為,（13.2.10）,對于含有一個(gè)自變量，多個(gè)變量函數(shù)，以及有較高階變量 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：,2. 泛函表示為多個(gè)函數(shù)的積分形式,則與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為,（13.2.11）,3. 泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù),與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為,（13.2.12）,4.泛函的積分形式中含有多元函數(shù),設(shè),為,的二元函數(shù)，則,與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為,（13.2.13）,不顯含,，故其E-L方程為（13.2.7）式,令,故有,例2 試求解最速降線落徑問題，即變分問題,解目前，我們只能用間接方法來求解，由于,令,分離變量得到,再令,代入上式得到,即得到,此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置,（圖13.1的A,B兩點(diǎn)）決定,13.2.2泛函的條件極值問題,在許多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件 的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制 條件,（13.2.14）,即所謂的等周問題：,(13.2.15),（注：這種問題之所以稱為等周問題，是因?yàn)樵跉v史上起源 于求一條通過兩點(diǎn)，長度固定為l的曲線,使面積,取極大值）,其中,為常數(shù)此類問題可以仿照普通函數(shù)的,條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件(13.2.14)乘以,參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到,于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題,其對應(yīng)的E-L方程為,這是通過,和,兩點(diǎn)的,之下使泛函取極值的必要條件它實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于,在附加條件（13.2.14）,的二階常微分方程其通解中含有三個(gè)參數(shù)，即,和兩個(gè)積分,常數(shù)它們可由條件,（13.2.14）來確定 .,和附加條件,例3 求,的極值，其中,是歸一化的，即,，且已知,解 本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題,對應(yīng)的E-L方程為,其通解為,代入附加條件,得到,代入歸一化條件得到,于是得到,，故原極值問題的解為,而題中要求的泛函,的極值為,當(dāng),時(shí)，極值函數(shù),使得泛函數(shù)取得最小值,例4 求泛函,在條件,下的極值曲線.,解 此時(shí),則偏導(dǎo)數(shù),.對應(yīng)的Euler方程為,其通解為,代入邊界條件可得,所以極值曲線為,13.3 光學(xué)中的泛函極值典型例子,泛函極值問題的求解,通常有兩種結(jié)果：,（i）解析解,由變分法得到的E-L方程求解，一般來說，是很困難的 但在分析力學(xué)中往往還是采用這一辦法來求解因?yàn)闅v史悠 久，它自有一套辦法,（ii）近似解,所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解極值曲線,因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法,例5 假設(shè)大氣的光折射率,只依賴于高度,利用費(fèi)馬（Fermat）原理導(dǎo)出在大氣中光線軌跡的微分方程；,解（1）根據(jù)費(fèi)馬原理：光線的實(shí)際路徑上，光程的變分為零,（13.3.1）,其中,為介