階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法及例題.ppt

一、 f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,12.9 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,方程ypyqyf(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 其中p、q是常數(shù) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解yY(x)與非齊次方程本身的一個特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,設(shè)方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為,下頁,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),則得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此時2pq0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 則,y*Qm(x)ex,下頁,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,設(shè)方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),則得,提示,此時2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m1次多項式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm,(2)如果是特征方程r2prq0的單根, 則,y*xQm(x)ex,下頁,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 則,y*Qm(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,設(shè)方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),則得,提示:,此時2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為m2次多項式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm,(3)如果是特征方程r2prq0的重根, 則,y*x2Qm(x)ex,下頁,(2)如果是特征方程r2prq0的單根, 則,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 則,y*Qm(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,設(shè)方程ypyqyPm(x)ex 特解形式為,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),則得,結(jié)論,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ypyqyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2,下頁,提示,因為f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*b0xb1 把它代入所給方程 得,例1 求微分方程y2y3y3x1的一個特解,解,齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30,b0xb12b0xb13b0xb1,3b0x2b03b1,2b03b0x3b1,3b0x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,特解形式,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r 60,其根為r12 r23,提示,齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x ,因為f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所給方程 得,2b0x2b0b1x,提示,2b01 2b0b10,特解形式,首頁,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r 60,其根為r12 r23,2b0x2b0b1x,因此所給方程的通解為,因為f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的單根 所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所給方程 得,特解形式,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx 有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,下頁,結(jié)論,解,結(jié)束,特解形式,例3 求微分方程yyxcos2x的一個特解,因為f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根