【大學(xué)資料】線性代數(shù)講稿 la5-1b

第五章 矩陣的相似變換5.1 矩陣的特征值與特征向量 定義： 對(duì)于階方陣, 若有數(shù)和向量滿足, 稱為的 特征值, 稱為的屬于特征值的特征向量 特征方程： 或者 有非零解 特征矩陣： 或者 特征多項(xiàng)式： 例1 求 的特征值與特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , , （不同時(shí)為0） 例2 求 的特征值與特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , 注 在例1中, 對(duì)應(yīng)2重特征值有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量； 在例2中, 對(duì)應(yīng)2重特征值只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 一般結(jié)論：對(duì)應(yīng)重特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù) 定理1 設(shè)的特征值, , 則 (1) ； (2) 證 由特征值的定義可得 其中都是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式由題設(shè), 又有 比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得 推論 0是的特征值 一元多項(xiàng)式： 矩陣多項(xiàng)式： 定理2 設(shè), 則 (1) ； (2) 證 (1) 因?yàn)?（） 所以 (2) 注 一般結(jié)論：若的全體特征值為,則的全體特征值 為 例3 設(shè)的特征值為, 求 解 設(shè), 則的特征值為 故 定理3 設(shè)的互異特征值為, 對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 , 則向量組線性無關(guān) 證 采用數(shù)學(xué)歸納法 時(shí), 線性無關(guān) 設(shè)時(shí), 線性無關(guān), 下面證明線性無關(guān) 設(shè)數(shù)組使得 左乘, 利用可得 ： 因?yàn)榫€性無關(guān)（歸納法假設(shè)）, 所以 代入可得 故線性無關(guān) 根據(jù)歸納法原理, 對(duì)于任意正整數(shù), 結(jié)論成立 定理4 設(shè)的互異特征值為, 重?cái)?shù)依次為, 對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為, 則向量組線性無關(guān)（自證）5.2 相似對(duì)角化 1相似矩陣：對(duì)于階方陣和, 若有可逆矩陣使得, 稱相似于, 記作 (1) ： (2) ： (3) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 可逆, 可逆, 且 性質(zhì)3 （為正整數(shù)） 性質(zhì)4 為多項(xiàng)式, 性質(zhì)5 與的特征值相同 證 由可得 2相似對(duì)角化：若方陣能夠與一個(gè)對(duì)角矩陣相似, 稱可對(duì)角化 定理5 階方陣可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量證 必要性設(shè)可逆矩陣使得 即劃分, 則有 因?yàn)闉榭赡婢仃? 所以它的列向量組線性無關(guān)上式表明：是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量 充分性設(shè)線性無關(guān), 且滿足, 則為可逆矩陣, 且有 即 注 的主對(duì)角元素為的特征值 推論1 有個(gè)互異特征值可對(duì)角化 推論2 設(shè)的全體互異特征值為, 重?cái)?shù)依次為, 則可對(duì)角化的充要條件是, 對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值,有個(gè)線性 無關(guān)的特征向量 例4 判斷下列矩陣可否對(duì)角化： (1), (2), (3) 解 (1) 有3個(gè)互異特征值 可對(duì)角化 對(duì)應(yīng)于的特征向量依次為 , , 構(gòu)造矩陣 , 則有 (2) 例1求得有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量 可對(duì)角化 對(duì)應(yīng)于的特征向量依次為 , , 構(gòu)造矩陣 , 則有 (3) , 例2求得,