(考試資料下載)微分幾何教案曲面論（三）

微分幾何教案（十一） 曲面的第一基本形式： 2.1-2.32 曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲線的弧長(zhǎng)給出曲面S:上的曲線(C):u=u(t),v=v(t)或。對(duì)于曲線(C)有或，若以S表示曲面上曲線的弧長(zhǎng)，則有。令，則 ，這個(gè)二次形式?jīng)Q定曲面上曲線(C)的弧長(zhǎng)，曲線(C)上兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)是 是關(guān)于du,dv的二次形式，稱為S的第一基本形式，用表示，即=，它的系數(shù)叫做曲面的第一類(lèi)基本量。說(shuō)明 因?yàn)?， 因此第一基本形式是正定的。例1 求曲面z = z(x,y)的第一基本形式。 解 z=z(x,y)表示的曲面即，其中，所以第一基本形式是。例2 求球面 的第一基本形式。解 例3 求正螺面的第一基本形式。 解 。2.2曲面上兩方向的夾角曲面上一點(diǎn)的切方向稱為曲面上的方向，它能表示為，其中是過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量。任給一組du;dv，由上式就確定曲面的一個(gè)方向，以后常用du;dv或(d)或表示曲面上的一個(gè)方向。兩方向的夾角：給出兩個(gè)方向與我們把向量與間的夾角稱為方向與 間的角。與總代表過(guò)的兩條曲線的方向，所以這兩方向的夾角也叫做兩曲線的夾角。設(shè)與的夾角為，則， ， 故 推論1 兩方向與垂直的充分必要條件是推論2 設(shè)坐標(biāo)曲線的切向量與的夾角為則cos= 。 推論3 坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充分必要條件是F=0.例4 證明旋轉(zhuǎn)曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交的。 證明 因?yàn)镕 = 0,所以坐標(biāo)網(wǎng)是正交的。同理可證：圓柱面、球面、正螺面的坐標(biāo)網(wǎng)也是正交的。2.3 正交曲線族和正交軌線1 定義 給出曲面上的兩族相交曲線，如果兩族曲線在曲面上每一點(diǎn)處兩曲線的方向總是垂直的，則稱這兩族曲線為曲面上的正交曲線族。并稱一族為另一族的正交軌線。 2 兩族曲線為正交的充要條件 正交軌線的方程（1）設(shè)曲面上的兩族曲線為，。如果它們正交，則由曲面上兩方向垂直條件知， 所以即，這就是兩曲線為正交曲線的條件。(2) 如果為已知曲線族（即A:B為已知），設(shè)其正交的軌線方程為，則即與聯(lián)立消去參數(shù)du,dv得： 這就是的正交軌線的微分方程。 例 求拋物面z=axy的直母線的正交軌線。解 把拋物面方程z=axy改寫(xiě)為。則x-線、y-線都是直母線。先求與x-線正交的軌線，因?yàn)閤-線方程為dy=0,所以A=0，B=1. 由拋物面方程可得： ，所以與x-線正交的軌線的微分方程為： ，積分得或（C為常數(shù)） 這就是