概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章.ppt

,湖南商學(xué)院信息系 數(shù)學(xué)教研室,第一章 概率論的基本概念,第一章 概率論的基本概念,第一節(jié) 概率論的基本概念 第二節(jié) 事 件 的 概 率 第三節(jié) 古典概率模型 第四節(jié) 條件概率 第五節(jié) 事件的獨立性,一、 隨機試驗與事件,I. 隨機試驗,1. 隨機試驗 把對某種隨機現(xiàn)象的一次觀察、觀測或測量等稱為一個試驗。如果這個試驗在相同的條件下可以重復(fù)進行，且每次試驗的結(jié)果事前不可預(yù)知，則稱此試驗為隨機試驗，也簡稱為試驗，記為E。 注：以后所提到的試驗均指隨機試驗。,隨機試驗舉例： E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾； E2: 觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)； E3: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命； E4: 對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命是否小 于200小時。,對于隨機試驗,僅管在每次試驗之前不能預(yù)知其試驗結(jié)果，但試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合卻是已知的。,若以i表示試驗Ei的樣本空間, i=1,2,3,4, 則 E1: 擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾， 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6；,稱試驗所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間,記為。,2. 樣本空間,樣本空間的元素, 即隨機試驗的單個結(jié)果稱為樣本點。,E2: 觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)， 2=0,1,2,； E3: 對某只燈泡實驗，觀察其使用壽命， 3=t,t0；,E4: 對某只燈泡做實驗,觀察其使用壽命是否 小于200小時， 4=壽命小于200小時，壽命不小于200小時。,II. 隨機事件 把樣本空間的任意一個子集稱為一個隨機事件,簡稱事件。常用大寫字母A,B,C,表示。 特別地,如果事件只含一個試驗結(jié)果(即樣本空間的一個元素),則稱該事件為基本事件。,寫出試驗E1的樣本空間 1=1,2,3,4,5,6的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。 A1=1,A2=2,A6=6 分別表示擲的結(jié)果為“一點”至“六點”,都是基本事件； B=2,4,6 表示擲的結(jié)果為“偶數(shù)點”，非基本事件； C=1,3,5, 表示“擲的結(jié)果為奇數(shù)點”，非基本事件； D=4,5,6 表示“擲的結(jié)果為四點或四點以上”，非基本事件。,例 1：,當結(jié)果A時, 稱事件A發(fā)生。 注意： (1).由于樣本空間包含了所有的樣本點,且是 自身的一個子集。故,在每次試驗中總 是發(fā)生。因此, 稱必然事件。 (2).空集不包含任何樣本點，但它也是樣本空 間的一個子集,由于它在每次試驗中肯定 不發(fā)生，所以稱為不可能事件。,注意: 只要做試驗,就會產(chǎn)生一個結(jié)果,即樣 本空間中就會有一個點(樣本點)出現(xiàn)。,二、事件的關(guān)系與運算,I. 集合與事件,回憶: 做試驗E時,若A,則稱事件A發(fā)生。,集合A包含于集合B：若對 A, 總有B，則稱集合A包含于集合B，記成 AB。,事件A包含于事件B:若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B,記成AB。,集合A與B的并或和：若 C, 當且僅當 A或B,則稱集合 C為集合A與B的并或和,記成AB 或 A+B。,事件A與B的并或和：若事件C發(fā)生，當且僅當事件A或C發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的并或和，記成AB 或 A+B。,若AB,且BA，則稱事件A與B相等，記成A=B。,無窮多個事件A1,A2,的和,n個事件A1,A2,An的和,C發(fā)生就是A1,A2,，An中至少一個事件發(fā)生。,C發(fā)生就是A1,A2中至少一個發(fā)生。,集合A與集合B的交或積：若 C，當且僅當 A且B, 則稱集合C為集合A與B的交或積, 記成AB或AB。,事件A與B的積或交： 若事件C發(fā)生，當且僅當事件A與B同時發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的積或交, 記成 AB或AB。,特別地,當AB=時,稱A與B為互斥事件(或互不相容事件),簡稱A與B互斥。也就是說事件A與B不能同時發(fā)生。,例 1(續(xù)) A1=1, A2=2,于是A1A2=。故A1與B2互斥； B=2,4,6,C=1,3,5,于是BC=,故B與C也互斥。,無窮多個事件A1,A2,的積,n個事件A1,A2,An的積,C發(fā)生就是A1,A2,，An都發(fā)生。,C發(fā)生就是A1,A2,，都發(fā)生。.,集合A與集合B的差： 若 C當且僅當 A且B ，則稱集合C為集合A與B的差，記成 A- B。,事件A與B的差：若事件C發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生,則稱事件C為事件A與B的差,記成 A-B。,特別地，稱-A為A的對立事件(或A的逆事件、補事件)等,記成A 。,例1(續(xù)) A1=1, B=2,4,6,于是,A就是A不發(fā)生。,交換律: AB=BA AB=BA 結(jié)合律: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC) 對偶律:,II. 事件的運算法則 (與集合運算法則相同),還有常用,不是A,B中至少 有一個發(fā)生,A,B都不發(fā)生,對于多個隨機事件,上述運算規(guī)則也成立,A(A1A2An) =(AA1)(AA2)(AAn),小結(jié),本節(jié)首先介紹了隨機試驗、樣本空間的基本概念，然后給出了隨機事件的各種運算及運算法則。,湖南商學(xué)院信息系 數(shù)學(xué)教研室,第一章第二節(jié) 事 件 的 概 率,頻率,一、頻率與頻率穩(wěn)定性,則稱m為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)或頻次,稱m與n的比值m/n為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率,記為fn(A)。,設(shè)A是一個事件在相同的條件下進行n次試驗,在這n次試驗中,事件A發(fā)生了m次。,當試驗次數(shù)充分大時，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般說來擺動的幅度越小 。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。,請看下面試驗,擲硬幣試驗,擲骰子試驗,頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。僅管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率可能各不相同，但只要 n足當大，頻率就會非常接近一個固定值概率。,因此，概率是可以通過頻率來“度量”的。頻率是概率的近似。,考慮在相同條件下進行的S 輪試驗,事件A在各輪試驗中的頻率形成一個數(shù)列,下面我們來說明頻率穩(wěn)定性的含義,指的是：各輪試驗次數(shù)n1, n2, , ns 充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率之間、或者它們與某固定的數(shù)值相差甚微 。,穩(wěn)定在概率 p 附近,頻率穩(wěn)定性,這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率開拓了道路。,在實際中，當概率不易求出時，人們常用試驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值，并稱此概率為統(tǒng)計概率。,這種確定概率的方法為頻率法。,例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對這個射手在相同條件下大量的射擊情況進行觀察、并記錄。,假設(shè)他射擊n次,中靶m次, 當n很大時,可用頻率m/n作為其中靶概率之估計。,1 0 fn( A) 1； 2 fn()=1, fn()=0； 3. 若事件A1,A2,Ak兩兩互斥, 則:,性質(zhì),二、 事件概率,I. 概率的定義,下面介紹用公理給出的概率定義,1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義。,概率的公理化定義,公理2 P()=1 ; (2),公理3 若事件A1, A2 , 兩兩互不相容，則有 (3) 這里事件個數(shù)可以是有限或無限的 。,設(shè)E是隨機試驗， 是它的樣本空間，對于 中的每一個事件A，賦予一個實數(shù)，記為P(A) ，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù) P( ) 滿足下述三條公理:,公理1,(1),公理1說明，任一事件的概率介于0與1間；,公理2說明，必然事件的概率等于1；,公理3說明，對于任何兩兩互不相容(互斥)的事件序列，這些序列事件并的概率等于各事件概率之和。,II、概率的性質(zhì),1.P()=0，即不可能事件的概率為零；,2.若事件A1,A,，An兩兩互斥,則有: P(A1A2An)=P(A1)+P(An), 即互斥事件之并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性);,4.對兩個事件A和B,若AB, 則有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)。,3. 對任一事件A,均有,證明：,性質(zhì)5 對任意兩個事件A、B，有,因,得，,再由,及性質(zhì)3，得(8)式成立。,說明,n個事件并的多除少補公式,特別地，n=3時,小結(jié),本節(jié)首先介紹了頻率的概念，指出在試驗次數(shù)充分大條件下，頻率接近于概率結(jié)論；然后給出了概率的公理化定義及概率的主要性質(zhì)。,湖南商學(xué)院信息系 數(shù)學(xué)教研室,第一章第三節(jié) 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果試驗E滿足 (1) 試驗結(jié)果只有有限種， (2) 每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同。 則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ?，簡稱為等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因試驗E的結(jié)果只有有限種,即樣本點是有限個: 1,2 ,n ，其中 =12 n， i是基本事件，且它們發(fā)生的概率都相等。 于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =nP(i), i=1,2,n。,從而，P(i)= 1/n，i=1,2,n。,因此，若事件A包含k個基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。,III. 古典概模型的例,例1：,擲一顆均勻骰子， 設(shè):A表示所擲結(jié)果為“四點或五點”； B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點”。 求:P(A)和P(B)。,解：,由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。,例2：,解:,貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自產(chǎn)地甲, 3件來自地乙?，F(xiàn)從15件商品中隨機地抽取兩件,求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概率。,從15件商品中取出2商品,共有C215 =105種取法,且每種取法都是等可能的，故n=105。 令 A=兩件商品都來自產(chǎn)地甲,kA= C212=66, B=兩件商品都來自產(chǎn)地乙,kB= C23 =3， 而事件:兩件商品來自同一產(chǎn)地=AB,且A與B互斥,AB包含基本事件數(shù)66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。,例3,：有外觀相同的三極管6只,按其電流放大系數(shù)分類,4只屬甲類,2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只, (1).每次抽取一個只,測試后放回,然后再抽取 下一只(放回抽樣); (2).每次抽取一只,測試后不放回,然后在剩下 的三極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。 設(shè)A=抽到兩只甲類三極管,B=抽到兩只同類三極管,C=至少抽到一只甲類三極管,D=抽到兩只不同類三極管。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。,解:,(1).由于每次抽測后放回,因此,每次都是在6只三極管中抽取。因第一次從6只中取一只,共有6種可能取法；第二次還是從6只中取一只,還是有6種可能取法。故,取兩只三極管共有66=36 種可能的取法。從而,n=36。,注意:這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過的 乘法原理,因每個基本事件發(fā)生的可能性相同,第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。所以,取兩只甲類三極管共有 44=16 種可能的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9； 令E=抽到兩只乙類三極管,kE=22=4。故 P(E)=4/36=1/9; 因C是E的對立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= AE ,且A與E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽測后不放回,因此,第一次從6只中取一只,共有6種可能的取法；第二次是從剩余的5只中取一只,有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n=65=30種可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的對立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=AE,且A與E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。,解:,例4：n個球隨機地放入N(Nn)個盒子中,若盒子的容量無限制。求“每個盒子中至多有一球”的概率。,因每個球都可以放入N個盒子中的任何一個, 故每個球有N種放法。由乘法原理,將n個球放入N個盒子中共有Nn種不同的放法。 每個盒子中至多有一個球的放法(由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn 種。 故， P(A)= ANn/Nn。,設(shè)每個人在一年(按365天計)內(nèi)每天出生的可能性都相同,現(xiàn)隨機地選取n(n365)個人,則他們生日各不相同的概率為 A365n/365n。 于是, n個人中至少有兩人生日相同的概率為 1- A365n/365n。,(請打開P14 表1.3.1),許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。,例如(生日問題):,某人群有n個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？,把n個物品分成k組,使第一組有n1個,第二組有n2個, ,第k組有nk個,且 n= n1+ n2+nk 。 則:不同的分組方法有,公式,種。,解:,例5: 某公司生產(chǎn)的15件品中,有12件是正品,3件是次品。現(xiàn)將它們隨機地分裝在3個箱中,每箱裝5件，設(shè):A=每箱中恰有一件次品, B=三件次品都在同一箱中。 求: P(A)和P(B)。,15件產(chǎn)品裝入3個箱中,每箱裝5件,共有,種等可能的裝法。,故, 基本事件總數(shù)有,個。,續(xù):,把三件次品分別裝入三個箱中,共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后, 把其余12件正品再平均裝入3個箱中,每箱裝4件,有,個基本事件。,再由乘法原理,可知裝箱總方法數(shù)有,即A包含,從而，,續(xù):,把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法.這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有,個基本事件。故，,由乘法原理，知裝箱方法共有,即B包含,解:,例6：設(shè)N件產(chǎn)品中有K件是次品,N-K件是正品,KN。現(xiàn)從N件中每次任意抽取1件產(chǎn)品,在檢查過它是正品或是次品后再放回,這樣共抽取了n次。 求:事件A=所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率,k=0,1,2,n。,假定N件產(chǎn)品是有編號的,從中任意取出一件,每次都有N種取法.由乘法原理,n次共有Nn種取法,故,基本事件總數(shù)為Nn。 當所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品時,由于取到這k件次品的次序的不同,因此從次序考慮共有Cnk種情況。,續(xù):,這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件,共有Kk種取法。從N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k種取法。由乘法原理,共有Cnk Kk (N-K)n-k種取法, A中基本事件個數(shù)為Cnk Kk (N-K)n-k。,小結(jié),本節(jié)首先給出古典概型的定義；然后討論了古典概型中事件概率求法：,若事件A包含k個基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n；,最后，給出了幾個古典概型中求隨機事件概率的應(yīng)用實例。,湖南商學(xué)院信息系 數(shù)學(xué)教研室,第一章第四節(jié) 條件概率,在解決許多概率問題時，往往需要求在有某些附加信息(條件)下事件發(fā)生的概率。,一、條件概率,1. 條件概率的概念,通常記事件B發(fā)生的條件下, 事件A發(fā)生的概率為P(A|B)。,一般情況下， P(A|B) P(A) 。,第一章第四節(jié) 條件概率,P(A )=1/6，,例如：擲一顆均勻骰子，A=擲出2點，,B=擲出偶數(shù)點，,P(A|B)=？,已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。,于是，P(A|B)= 1/3。,B中共有3個元素，每個元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有1個(2點)在集合A中。,容易看到：,P(A|B),P(A )=3/10，,又如：10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品?，F(xiàn)從這10件中任取一件，記,B=取到正品，,A=取到一等品，,P(A|B),P(A )=3/10，,B=取到正品，,P(A|B)=3/7。,本例中，計算P(A)時，依據(jù)前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例。,A=取到一等品，,計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件。,這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題。,若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點 , 即此點必屬于AB。 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B就變成了新的樣本空間 , 于是 就有(1)。,設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)0，則稱 (1),2. 條件概率的定義,為在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率。,3. 條件概率的性質(zhì),設(shè)B是一事件，且P(B)0,則,1. 對任一事件A，0P(A|B)1;,2. P(|B)=1；,而且，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。,例如：對任意事件A1和A2 ,有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)等。,其他性質(zhì)請同學(xué)們自行寫出。,2)從加入條件后改變了的情況去算,4. 條件概率的計算,1) 用定義計算:,P(B)0。,P(A|B）=,B發(fā)生后的 縮減樣本空間 所含樣本點總數(shù),在縮減樣本空間 中A所含樣本點 個數(shù),例1 ：擲兩顆均勻骰子, 已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于10， B=第一顆擲出6點。,應(yīng)用定義,在B發(fā)生后的 縮減樣本空間 中計算,例2: 設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4。問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？,解:設(shè)A=能活20年以上, B=能活25年以，,依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，,所求為P(B|A) 。,條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別,每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設(shè)A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小。,P(A)與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同。,而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。,由條件概率的定義：,即 若P(B)0, 則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),而 P(AB)=P(BA)，,二、 乘法公式,在已知P(B), P(A|B)時, 可反解出P(AB)。,將A、B的位置對調(diào)，有,故 P(A)0,則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3),若 P(A)0, 則P(BA)=P(A)P(B|A) ，,(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用 它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。,例3: 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的。而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？,所求為P(AB)。,甲、乙共生產(chǎn) 1000 個,189個是 標準件,300個 乙廠生產(chǎn),設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)，,A=是標準件，,所求為P(AB) 。,設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)，,A=是標準件，,若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的, 問它是標準件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) 。,B發(fā)生, 在P(AB)中作為結(jié) 果; 在P(A|B)中作為條件。,當P(A1A2An-1)0時，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。,推廣到多個事件的乘法公式:,解:,例 4:,一批燈泡共100只,其中10只是次品,其余為正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。,設(shè)Ai =第i次取到正品, i=1,2,3。 A=第三次才取到正品。 則:,解:,例5:,袋中有同型號小球b+r個，其中b個是黑球，r個是紅球。每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回,并再放入同顏色，同型號的小球c個。若B=第一，第三次取到紅球,第二次取到黑球，求P(B)。,設(shè)Ai=第i次取到紅球, i=1,2,3, 則:,一場精彩的足球賽將要舉行, 但5個球迷只搞到一張球票，但大家都想去。沒辦法，只好用抽簽的方法來確定球票的歸屬。,5張同樣的卡片，只有一張上寫有“球票”，其余的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓5個人依次抽取。,先抽的人比后抽的人抽到球票的機會大嗎？,后抽的人比先抽的人吃虧嗎？,請回答：,到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?,“大家不必爭，你們一個一個按次序來， 誰抽到入場券的機會都一樣大?！?“先抽的人當然要比后抽的人抽到的人機會大?！?我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”， i1,2,3,4,5。,顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5，,第1個人抽到入場券的概率是1/5。,也就是說，,則 表示“第i個人未抽到入場券”，,因為若第2個人抽到 入場券時，第1個人 肯定沒抽到。,也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，,由于,由乘法公式， 得,計算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。,這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答,同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到。因此，,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，,繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到“入場券” 的概率都是1/5。,抽簽不必爭先恐后。,請看演示,“抽簽問題”,全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用。,綜合運用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三、全概率公式和貝葉斯公式,例6: 有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。,解：記 Ai=球取自i號箱, i=1,2,3; B =取得紅球。,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運用加法公式得,1,2,3,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式。,對求和中的每一項 運用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15。,設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它總是與A1, A2, ,An之一同時發(fā)生，則,全概率公式:,設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n,稱滿足上述條件的A1,A2,An為完備事件組。,則對任一事件B，有,在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：,在較復(fù)雜情況下，直接計算P(B)不容易, 但總可以適當?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai ，使B伴隨著某個Ai的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個 容易計算?？捎盟?之和計算P(B)。,由上式不難看出:,“全部”概率P(B)可分成許多“部分”概率 之和。,它的理論和實用意義在于:,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式。,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式。,我們還可以從另一個角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達了因果之間的關(guān)系 。,諸Ai是原因 B是結(jié)果,例 7: 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7。飛 機被一人擊中而擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機必定被擊落, 求飛機被擊落的概率。,設(shè)B=飛機被擊落， Ai=飛機被i人擊中, i=1,2,3。,由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),則 B=A1B+A2B+A3B，,解:,可求得,為求P(Ai ) , 設(shè) Hi=飛機被第i人擊中, i=1,2,3。,將數(shù)據(jù)代入計算，得 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。,于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3),=0.458，,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飛機被擊落的概率為0.458。,該球取自哪號箱的可能性大些?,實際中還有下面一類問題已知結(jié)果求原因,這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。,某人從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自1號箱的概率。,或者問:,接下來我們介紹解決這類問題的,貝葉斯公式,有三個箱子，編號分別為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率 。,1,1紅4白,某人從任一箱中任意摸出 一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率。,記 Ai=球取自i號箱, i=1,2,3; B =取得紅球。,求P(A1|B)。,運用全概率公式 計算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率。,貝葉斯公式：,設(shè)A1,A2,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它總是與A1,A2,An 之一同時發(fā)生，則,貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因.,例 8: 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,求解如下:,設(shè) C=抽查的人患有癌癥， A=試驗結(jié)果是陽性，,求P(C|A)。,已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義,由貝葉斯公式，得,代入數(shù)據(jù)， 計算得 P(CA)= 0.1066。,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？,如果不做試驗, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 。,患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(CA)= 0.1066 。,說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義。,從0.005增加到0.1066, 將近增加約21倍。,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.1066。,即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認。,貝葉斯公式,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為 原因的驗前概率和驗后概率。,P(Ai)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下, 人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。,當有了新的信息(知道B發(fā)生), 人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai | B)有了新的估計。,8支步槍中有5支已校準過,3支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時,中靶的概率為0.8;用未校準的槍射擊時,中靶的概率為0.3?，F(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊,結(jié)果中靶。 求:所用的槍是校準過的概率。,設(shè)A=射擊時中靶,B1=使用的槍校準過, B2=使用的槍未校準,則B1,B2是一個劃分,由貝葉斯公式,解:,例9：,解:,例 10:,一批同型號的螺釘由編號為I,II,III的三臺機器共同生產(chǎn)。各臺機器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%, 25%。各臺機器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%, 2%和1%。現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品。求:這顆螺釘由I, II, III號機器生產(chǎn)的概率各為多少?,設(shè)A=螺釘是次品, B1=螺釘由1號機器生產(chǎn), B2=螺釘由2號機器生產(chǎn),B3=螺釘由3號機器生產(chǎn)。則:,由貝葉斯公式，得,同理,P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。,小結(jié),本節(jié)首先介紹了條件概率的定義及其計算公式；然后利用條件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式；通過多個實例，從各方面分析、講解了上述公式理論意義、實際意義及應(yīng)用范圍。但這還遠遠不夠，為達到正確理解、熟練運用這些公式的目的，我們還需要做一定數(shù)量的習(xí)題，并從中揣摩出這些公式的內(nèi)涵。,湖南商學(xué)院信息系 數(shù)學(xué)教研室,第一章第五節(jié) 事件的獨立性,顯然 P(A|B)=P(A)。,這就是說：已知事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率，這時稱事件A、B獨立。,一、兩事件的獨立性,A=第二次擲出6點， B=第一次擲出6點，,先看一個例子：,將一顆均勻骰子連擲兩次，,設(shè),由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B)。,用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)0或P(A)0的制約。,P(AB)=P(B)P(A|B),若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立。,兩事件獨立的定義,例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的。,可見, P(AB)=P(A)P(B)。,由于 P(A)=4/52=1/13,說明事件A、B獨立。,問事件A、B是否獨立？,解：,P(AB)=2/52=1/26。,P(B)=26/52=1/2，,前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計算條件概率去做:,從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的。,在實際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立 。,由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， P(A)= P(A|B), 說明事件A、B獨立。,在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立。,由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立 。,(即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率)。,一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第i件是合格品， i=1,2。,若抽取是有放回的, 則A1與A2獨立。,因為第二次抽取的結(jié)果受到 第一次抽取的影響。,又如：,因為第二次抽取的結(jié)果 不受第一次抽取的影響。,若抽取是無放回的，則A1 與A2不獨立。,請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 則A與B不獨立。,反之，若A與B獨立，且P(A)0, P(B)0, 則A 、B不互斥。,而P(A) 0, P(B) 0。,故 A與B不獨立。,我們來計算：,P(AB)=0,問：能否在樣本空間中找兩個事件,它們既相互獨立又互斥?,這兩個事件就是 和,所以， 與獨立且互斥。,不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨立。,設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是：,前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四個結(jié)論中，正確的是：,1.