部分第8講空間直角坐標系.ppt

第九部分 立體幾何 第八講 空間直角坐標系,1通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性 2了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置 3通過表示特殊長方體(所有棱與坐標軸平行)頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式,1在空間直角坐標系中，點P(3,2,1)到y(tǒng)Oz平面的距離是( ) A. 2 B1 C3 D3,D,解：點P(x，y，z)到坐標平面yOz的距離為|x|3，選D.,2點P(x，y，z)在xOz平面上的射影為P1，則P1的坐標為( ) A(x，y, 0) B(0，y，z) C(x, 0，z) D(0，y, 0),C,解：(x，y，z)在xOz的射影為(x,0，z)，x，z的坐標不變，y的坐標為0，選C.,3點P(3，2,1)關于坐標平面yOz的對稱點的坐標為 . 4ABC中，A(2,0,1)，B(4，2,3)，C(3，1，2)，則AB邊上的中線CM的長為 .,(3，2,1),解：因為M為AB的中點，所以M的坐標為， 即M(1，1,2)， 所以|CM|,題型1：空間直角坐標系的建立及點的坐標 例1 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA底面ABCD，PDA30，AEBD.試建立適當的坐標系，求出各點的坐標,因為平面PAD平面ABCD，作EFAD于F，則F為E在底面ABCD的射影在RtADE中，因為EDA30， 所以AE ADa. 在RtEFA中，EAF60，所以EFAEsin60a a，AFAEcos60 . 故E .,點評：建立空間坐標系的原則是讓更多的點落在坐標軸上點的坐標的概念是求空間中的點的坐標的依據，即點的空間坐標為該點在坐標軸上的射影在這些坐標軸上的坐標,【變式遷移】 1已知正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標,解：因為正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側棱長為10， 所以正四棱的高為2 . 以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC、AB所在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2 ),題型2：空間直角坐標系的中點公式及兩點間的距離公式 例2 (1)已知ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，求頂點D的坐標 (2)空間坐標系中，A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，求|AB|的最小值,解：(1)因為平行四邊形的對角線互相平分， 所以AC的中點即為BD的中點 又AC的中點O ，,所以x5，y13，z3. 故D(5,13，3) (2)|AB| 即|AB|的最小值為.,點評： 求中點坐標和距離可類比平面直角坐標系中的方法進行求最值時要建立函數模型，利用求函數的值域的方法求解,【變式遷移】 2(1)若點P(x，y，z)關于點A(1,0,3)的對稱點為B(2，1,4)，則P關于xOy平面的對稱點C的坐標為 ； (2)已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，則A、B兩點間的距離取得最小值時，x的值為( ),(0,1，2),C,解：(1)因為點P(x，y，z)和B(2，1,4)的對稱中心為A(1,0,3)， 所以 解之得 所以P點坐標為(0,1,2)， 又C與點P(0,1,2)關于xOy平面對稱， 所以C的坐標為(0,1，2),題型3：空間直角坐標系的應用 例3 正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側棱長為 a，建立適當的坐標系，寫出A，B，A1，C1的坐標，求出AC1與其在側面ABB1A1內的射影所成的角,解法1：如圖所示，以點A為 坐標原點，以AB所在直線 為y軸，以AA1所在直線為z 軸，以經過原點且與平面 ABB1A1垂直的直線為x軸， 建立空間直角坐標系 由已知，得A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0， a)， C1 取A1B1的中點M，則M,在RtAMC1中， |C1M| |AM| 所以tanMAC1 所以MAC130. 所以AC1與其側面ABB1A1上的射影所成的角為30.,連接AM，MC1，則MC1A1B1. 所以AC1在平面ABB1A1上的射影為AM. 所以MAC1為AC1與其在平面ABB1A1上的射影所成的角，,解法2：設AB的中點為D，以C為坐標原點，CD所成直線為x軸，過點C與AB平行的直線為y軸，以CC1所在直線為z軸，建立如圖所示的坐標系,點評：利用空間直角坐標系可以解決長度、角、距離等問題但要注意角和距離仍需通過圖中的線面關系找到所求角或距離，再利用坐標求得相應長度，通過解三角形解決問題,【變式遷移】 3在正四棱錐SABCD中，底面邊長為a，側棱長也為a，以底面中心O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，P點在側棱SC上，Q點在底面對角線BD上，試求P、Q兩點間的最小距離,解：由于SABCD是正四棱錐，所以P點在底面上的射影R在OC上，又底面邊長為a，所以OC a， 而側棱長也為a，所以SOOC，于是RPRC，