2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷分類匯編8.3拋物線.doc

高考地理復(fù)習(xí)第八章圓錐曲線方程三拋物線【考點(diǎn)闡述】拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【考試要求】（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【考題分類】（一）選擇題（共3題）1.（海南寧夏卷理11）已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（41，1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，2）解：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖PFPQPSPQ,故最小值在,SPQ三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí),PQ的縱坐標(biāo)都是1，所以選A。（點(diǎn)P坐標(biāo)為1(,1)4）2.（遼寧卷理10）已知點(diǎn)P是拋物線22yx上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A172B3C5D92A.172B.3C.5D.92答案：A解析：本小題主要考查拋物線的定義解題。依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P,拋物線的焦點(diǎn)為F,則1(,0)2F,依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PPPF,則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)A的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和22117|()2.22dPFPAAF3.（四川卷理12）已知拋物線2:8Cyx的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上且2AKAF，則AFK的面積為()（）4（）8（）16（）32【解】：拋物線2:8Cyx的焦點(diǎn)為20F，準(zhǔn)線為2x20K，高考地理復(fù)習(xí)設(shè)00Axy，過A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線AB，則02By，2AKAF，又0022AFABxx由222BKAKAB得22002yx，即20082xx，解得24A，AFK的面積為01144822KFy故選B【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察雙曲線的第二定義，雙曲線中與焦點(diǎn)，準(zhǔn)線有關(guān)三角形問題；【突破】：由題意準(zhǔn)確畫圖，利用離心率轉(zhuǎn)化位置，在ABK中集中條件求出0x是關(guān)鍵；（二）填空題（共6題）1.（江西卷理15）過拋物線22(0)xpyp的焦點(diǎn)F作傾角為30的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則AFFB【解】：132.（全國(guó)卷理14文14）已知拋物線21yax的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為答案：2.由拋物線21yax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1(0,1)4a為坐標(biāo)原點(diǎn)得，14a，則2114yx與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1),(2,0),(2,0)，則以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為141223.（全國(guó)卷理15）已知F是拋物線24Cyx：的焦點(diǎn)，過F且斜率為1的直線交C于AB，兩點(diǎn)設(shè)FAFB，則FA與FB的比值等于【答案】322【解析】設(shè)A（1x，1y）B（2x，2y）由0164122xxxyxy2231x，2232x，（21xx）；由拋物線的定義知22322222242241121xxFBFA【高考考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用4.（全國(guó)卷文15）已知F是拋物線24Cyx：的焦點(diǎn)，AB，是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為(22)M，則ABF的面積等于高考地理復(fù)習(xí)AyxOBGFF1圖4【答案】2【解析】設(shè)過M的直線方程為)2(2xky，由0)1(444)2(22222kkxxkxyxkykxx421，2221)1(4kkxx，由題意144kk，于是直線方程為xy421xx，021xx，24AB，焦點(diǎn)F（1，0）到直線xy的距離21dABF的面積是25.（上海卷文6）若直線10axy經(jīng)過拋物線24yx的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a【答案】-1【解析】直線10axy經(jīng)過拋物線24yx的焦點(diǎn)(1,0),F則101.aa6.（天津卷理13）已知圓C的圓心與拋物線xy42的焦點(diǎn)關(guān)于直線xy對(duì)稱.直線0234yx與圓C相交于BA,兩點(diǎn)，且6AB,則圓C的方程為.解析：拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以圓心坐標(biāo)為(0,1)，2222(032)3105r，圓C的方程為22(1)10xy.（三）解答題（共7題）1.（廣東卷理18文20）設(shè)0b，橢圓方程為2212xybb，拋物線方程為28()xyb如圖4所示，過點(diǎn)(02)Fb，作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)1F（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)AB，分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）【解析】（1）由28()xyb得218yxb，當(dāng)2yb得4x，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2)b，14yx，4|1xy，高考地理復(fù)習(xí)過點(diǎn)G的切線方程為(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)b，由橢圓方程得1F點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)b，2bb即1b，即橢圓和拋物線的方程分別為2212xy和28(1)xy；（2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P,以PAB為直角的RtABP只有一個(gè)，同理以PBA為直角的RtABP只有一個(gè)。若以APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為21(,1)8xx，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。關(guān)于2x的二次方程有一大于零的解，x有兩解，即以APB為直角的RtABP有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得ABP為直角三角形。2.（湖南卷理20）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x02.（I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(II)試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由.解:（I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1,y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因?yàn)閤1x2,所以y1+y20.設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm,ym）,則k=12121242myyxxyyy.從而AB的垂直平分線l的方程為().2mmmyyyxx又點(diǎn)P（x0,0）在直線l上，所以0().2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.()由()知，弦AB所在直線的方程是()mmyykxx，代入24yx中，整理得2222()2()0.mmmmkxkykxxykx（）則12xx、是方程（）的兩個(gè)實(shí)根，且2122().mmykxxxk高考地理復(fù)習(xí)設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則22222121212()()(1)()lxxyykxx22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3).mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因?yàn)?2my3,則2(x0-3)(0,4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)時(shí),l有最大值2(x0-1).若2x03,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4x0-8）上是減函數(shù)，所以0l23時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值為2（x0-1）；當(dāng)2x03時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.3.（江西卷文22）已知拋物線2yx和三個(gè)點(diǎn)00000(,)(0,)(,)MxyPyNxy、2000(,0)yxy，過點(diǎn)M的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，APBP、的延長(zhǎng)線分別交曲線C于EF、（1）證明EFN、三點(diǎn)共線；（2）如果A、B、M、N四點(diǎn)共線，問：是否存在0y，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點(diǎn)？如果存在，求出0y的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線AB的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由（1）證明：設(shè)221122(,)(,)AxxBxx、，(,)(,)EEFFExyBxy、則直線AB的方程：222121112xxyxxxxx即：1212()yxxxxx因00(,)Mxy在AB上，所以012012()yxxxxx又直線AP方程：21001xyyxyxyxPNOMAEBF高考地理復(fù)習(xí)由210012xyyxyxxy得：2210010xyxxyx所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理，200222,FFyyxyxx所以直線EF的方程：201201212()yxxyyxxxxx令0xx得0120012()yyxxxyxx將代入上式得0yy，即N點(diǎn)在直線EF上，所以,EFN三點(diǎn)共線（2）解：由已知ABMN、共線，所以0000,(,)AyyByy以AB為直徑的圓的方程：2200xyyy由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy（舍去），01yy要使圓與拋物線有異于,AB的交點(diǎn)，則010y所以存在01y，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于,AB的交點(diǎn),TTTxy則01Tyy，所以交點(diǎn)T到AB的距離為00011Tyyyy4.（山東卷理22）如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，410AB，求此時(shí)拋物線的方程；（）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線22(0)xpyp上，其中，點(diǎn)C滿足OCOAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.高考地理復(fù)習(xí)解：（）證明：由題意設(shè)221212120(2)22xxAxBxxxMxppp，由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp因此直線MA的方程為102()xypxxp，直線MB的方程為202()xypxxp所以211102()2xxpxxpp，222202()2xxpxxpp由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx所以AMB，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列（）解：由（）知，當(dāng)02x時(shí)，將其代入、并整理得：2211440xxp，22440xxp，所以12xx，是方程22440xxp的兩根，因此124xx，2124xxp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp由弦長(zhǎng)公式得2221212241()411616ABkxxxxpp又410AB，所以1p或2p，因此所求拋物線方程為22xy或24xyyxBAOM2p高考地理復(fù)習(xí)（）解：設(shè)33()Dxy，由題意得1212()Cxxyy，則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為12312322xxxyyyQ，設(shè)直線AB的方程為011()xyyxxp，由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)121222xxyy，也在直線AB上，代入得033xyxp若33()Dxy，在拋物線上，則2330322xpyxx，因此30x或302xx即(00)D，或20022xDxp，（1）當(dāng)00x時(shí)，則12020xxx，此時(shí)，點(diǎn)(02)Mp，適合題意（2）當(dāng)00x，對(duì)于(00)D，此時(shí)2212022xxCxp，2212022CDxxpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾對(duì)于20022xDxp，因?yàn)?212022xxCxp，此時(shí)直線CD平行于y軸，又00ABxkp，所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以00x時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn)綜上所述，僅存在一點(diǎn)(02)Mp，適合題意5.（陜西卷理20文21）已知拋物線C：22yx，直線2ykx交C于AB，兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N（）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；高考地理復(fù)習(xí)（）是否存在實(shí)數(shù)k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由解：解法一：（）如圖，設(shè)211(2)Axx，222(2)Bxx，把2ykx代入22yx得2220xkx，由韋達(dá)定理得122kxx，121xx，1224NMxxkxx，N點(diǎn)的坐標(biāo)為248kk，設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為284kkymx，將22yx代入上式得222048mkkxmx，直線l與拋物線C