（課程與教學(xué)論專業(yè)論文）高中生反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究與實(shí)踐.pdf

摘要 摘要 反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。由于受課堂模式的限制和高 考指揮棒的影響，目前對(duì)反思的相關(guān)理論的實(shí)施是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中較薄弱的一個(gè)環(huán) 節(jié)。本文對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思性理論進(jìn)行了較詳盡的論述，闡述了反思性數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的原則、方法及所處的地位和作用。本文運(yùn)用自然觀察、訪談?wù){(diào)查、文獻(xiàn)法、案 例法、實(shí)驗(yàn)法等研究方法，結(jié)合反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，提出了引導(dǎo)高中生進(jìn)行反思 性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，并進(jìn)行了初步的探索與實(shí)踐，旨在培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行反思 性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，從而達(dá)到高中學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)進(jìn)行反思性 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。 關(guān)鍵詞：反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高中生 教學(xué)策略 a b s t r a c t ab s t r a c t r e f l e c t i o ni nm a t h e m a t i c sl e a r n i n gi sak e yl i n ki nm a t h e m a t i c sl e a r n i n ga c t i v i t i e s h o w e v e r , d u et ot h eli m i t a t i o n so ft h ec l a s s r o o m - t e a c h i n gm o d e la n dt h ei m p a c to f t h e b a t o no fc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n i nt h i sp a p e r , t h et h e o r yo f t h er e f l e c t i v el e a r n i n g m e t h o di nt h el e a r n i n go fh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c si sg i v e nad e t a i l e de x p o s i t i o n ，t h e p r i n c i p l e sa n dc o n t e n t so ft h er e f l e c t i v el e a r n i n gm e t h o d ，t h es t a t u sa n dr o l eo ft h e r e f l e c t i v el e a r n i n gm e t h o da r ea l s od e s c r i b e d a n dt h e ya r ea l s ou s e dt og u i d et h er e s e a r c h i n t ot e a c h i n gp r a c t i c e t h ei m p l e m e n t a t i o no ft h er e f l e c t i v el e a r n i n gm e t h o di sar e l a t i v e l y w e a kl i n ki nt h em a t h e m a t i c st e a c h i n gi nh i g hs c h 0 0 1 i nt h i sp a p e r , b yu s i n go f n a t u r a i o b s e r v a t i o n 。i n t e r v i e w s ，s u r v e y s ，l i t e r a t u r em e t h o d ，c a s em e t h o d ，e x p e r i m e n ta n do t h e r r e s e a r c hm e t h o d s ，c o m b i n e dw i t hr e f l e c t i v em a t h e m a t i c sl e a r n i n gt h e o r y ，w ep u tf o r w a r d s o m et e a c h i n gs t r a t e g i e st og u i d eh i g hs c h o o ls t u d e n t st ou s er e f l e c t i v el e a r n i n gm e t h o d i n t h el e a r n i n go fm a t h e m a t i c s ，a n dc o n d u c t e dap r e l i m i n a r ye x p l o r a t i o na n dp r a c u c e o u r m a i na i mi st oh e l ps t u d e n t st od e v e l o pt h ea b i l i t i e sb o t hi nt h ei n d e p e n d e n tl e a r n i n go f m a t h e m a t i c sb yu s i n gt h er e f l e c t i v el e a r n i n gm e t h o da n di ni n d e p e n d e n tp r o b l e m - s o l v i n g s k i l l s t h ef i n a lg o a li st om a k et h es t u d e n t st ol e a r nm a t h e m a t i c sa c t i v e l yb yu s m gt h e r e f l e c t i v em a t h e m a t i c sl e a r n i n gm e t h o d k e y w o r d s ： r e f l e c t i v em a t h e m a t i c sl e a r n i n g s t u d e n to fs e n i o rh i g hs c h o o lc o u n t e r m e a s u r e s n 引言 習(xí)i 士 i 畝 當(dāng)今社會(huì)，知識(shí)更新的速度越來(lái)越快，學(xué)習(xí)不再是一次性的和終結(jié)性的，這就要 求學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)利用自我教育來(lái)提高自身獲得信息的能力。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)反 思，培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，有利于幫助學(xué)生建立合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，有利于提高 學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，為學(xué)生將來(lái)終身的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔 爾認(rèn)為，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。由于數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性，數(shù)學(xué)活動(dòng)的探 索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生 不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，而是要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)地思考、深入探究、 自我調(diào)整，即堅(jiān)持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才可能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征。只有學(xué)生通過(guò) 自己的思考來(lái)構(gòu)建起自己的知識(shí)體系時(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。因此反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。 英國(guó)教育家洛克在人類理解論中談到，“反省”是對(duì)獲得觀念的心靈的反觀 自照，在此過(guò)程中，心靈獲得不同于感覺(jué)得來(lái)的觀念。而斯賓諾莎把自己的認(rèn)識(shí)論方 法稱作“反思的知識(shí)”，即“觀念的觀念”，是認(rèn)識(shí)所得的結(jié)果。它本身又是理智認(rèn)識(shí) 的對(duì)象。對(duì)于認(rèn)識(shí)結(jié)果的觀念的再認(rèn)識(shí)和對(duì)于這種再認(rèn)識(shí)之觀念的再認(rèn)識(shí)，這種理智 向著知識(shí)的推進(jìn)，即“反思”。 美國(guó)教育家杜威將反思稱為“反省思維”，他認(rèn)為反思是“一種得以產(chǎn)生思維活 動(dòng)的懷疑、猶豫、困惑，心靈困難的狀態(tài)，和一種為了發(fā)現(xiàn)解決這種懷疑，消除和清除 這種困惑而進(jìn)行的探索、搜集和探究的行為 。反思能引起主體內(nèi)心的沖突，動(dòng)搖主 體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，從而喚起思維，進(jìn)入問(wèn)題探索者的角色，實(shí)現(xiàn)由學(xué)習(xí)者到 “研究者”的轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)教育家波利亞把解題分成網(wǎng)步，對(duì)于其中“檢驗(yàn)回顧”步驟， 就強(qiáng)調(diào)了解題反思。 2 0 世紀(jì)8 0 年代以來(lái)，反思型教師的教育思潮在以美國(guó)、加拿大、英國(guó)、澳大利 亞等國(guó)為首的西方教育界興起。美幽學(xué)者舍恩開(kāi)展了將反思理論運(yùn)用?。航逃龑?shí)踐的研 究，提出了“反思性實(shí)踐者”觀念。他把傳統(tǒng)的自上而下的“理論一實(shí)踐”教學(xué)模式 翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，提出“在做中學(xué)”、“在做中反思”。美國(guó)巴里斯教授在培養(yǎng)反思力一 書中介紹了教師和家長(zhǎng)如何通過(guò)學(xué)習(xí)檔案來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的反思能力。英國(guó)的布里頓大學(xué) 用了近十年的時(shí)間研究了如何運(yùn)用專業(yè)上的“相關(guān)陳述”來(lái)提高學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)能 力和學(xué)習(xí)績(jī)效。 二十世紀(jì)九十年代隨著西方教師教育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，反思性教學(xué)的思想和理念逐步 。洛克著，關(guān)文運(yùn)譯：人類理解論，商務(wù)印書館1 9 5 9 年 扳，第6 9 一7 1 頁(yè)。 曲黃克劍，洛克的“反省”和斯賓諾莎的“反思”哲學(xué)研究，1 9 8 6 年3 引言 被介紹進(jìn)來(lái)，同內(nèi)涌現(xiàn)出一批研究反思性教學(xué)的學(xué)者。華東師大熊川武教授在反思 性教學(xué)中系統(tǒng)地闡述了反思性教學(xué)的文化背景、模型、反思性教學(xué)豐體合理性、教 學(xué)目的合理性、教學(xué)工具合理性以及反思性教學(xué)的完整實(shí)踐過(guò)程。這也成為我國(guó)從事 反思性教學(xué)研究的經(jīng)典。南師大涂榮豹教授的論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提出了數(shù)學(xué)反 思的具體內(nèi)容及形式。北師大曹才翰教授及其弟子章建躍也非常重視并倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生 對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思習(xí)慣，他們認(rèn)為“培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思的習(xí)慣，提 高學(xué)生的思維自我評(píng)價(jià)水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的行之有效的方法”。 南京大學(xué)的鄭毓信教授從建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育的角度指出：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中， 只有不斷地反思，才能夠使自己的建構(gòu)的知識(shí)不斷的與數(shù)學(xué)共同體所擁有的知識(shí)靠 近，并最終達(dá)到一致。 一些一線教師結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐來(lái)闡述教學(xué)中對(duì)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)的培養(yǎng)策略。 如有的教師指導(dǎo)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)反思日記和建立學(xué)生成長(zhǎng)記錄袋；有的教師提m 反思不 僅要有智力加工，而且要有情感因素的支持；有的教師認(rèn)為對(duì)學(xué)生反思能力的培養(yǎng)可 從對(duì)新知的學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)習(xí)慣、態(tài)度兩大方面著手。這些研究都表明一線教師已逐 漸開(kāi)始對(duì)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)的重視。在“以學(xué)生為本”、倡導(dǎo)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的今天，筆者覺(jué) 得這一選題具有很好的實(shí)際意義。 本文在對(duì)元認(rèn)知理論、建構(gòu)主義理論的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，針對(duì)高中學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)、 當(dāng)今高中課堂模式的限制以及教育理論界對(duì)反思性學(xué)習(xí)實(shí)踐研究較少的狀況，著眼于 探究高中生如何進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在教學(xué)實(shí)踐中提煉出反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原則、 具體內(nèi)容以及促進(jìn)高中生反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效手段，提出了反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué) 策略。為師生理解和運(yùn)用這種新的學(xué)習(xí)活動(dòng)類型提供理論基礎(chǔ)。 本課題的研究過(guò)程具有很強(qiáng)的操作性。通過(guò)本課題的研究，試圖達(dá)到以下效果： 1 通過(guò)反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生的數(shù) 學(xué)成績(jī)： 2 提高學(xué)牛學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，使學(xué)生逐步由學(xué)會(huì)變成會(huì)學(xué)，發(fā)展學(xué)牛的自豐學(xué)習(xí) 能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的能力、交流的能力及問(wèn)題解決的能力， 3 總結(jié)高巾學(xué)生反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的的主要途徑和策略，提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力。 4 提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革提供新的思路。 2 第l 章反思性學(xué)爿的理論l j 認(rèn)識(shí) 第1 章反思性學(xué)習(xí)的理論與認(rèn)識(shí) 1 1 反思與反思性學(xué)習(xí)的涵義 1 1 1 反思的涵義 反思，是哲學(xué)上的專用詞語(yǔ)，它是指對(duì)思想本身進(jìn)行反復(fù)思索，是思想的自我運(yùn) 動(dòng)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是對(duì)過(guò)去經(jīng)歷的再認(rèn)識(shí)，以不同的時(shí)空視點(diǎn)對(duì)原有的經(jīng)歷進(jìn)行重新 思考，運(yùn)用比較、綜合、推理、抽象、概括等提煉出許多的規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)來(lái)，從而使原 有的活動(dòng)不再停留在原有對(duì)象的個(gè)體水平上，而是使思維上升到更高層次，或拓展延 伸到其他對(duì)象上。 1 1 2 反思性學(xué)習(xí)的涵義 反思性學(xué)習(xí)，就是通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程的反思來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)， 就是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程的反思來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這是一種有效的學(xué)習(xí)方式。因 此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思不僅是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，而是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中所 涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等的深究，具備較強(qiáng)的科學(xué)研究的性質(zhì)。反思的目的 不僅是為了回顧學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是一種指向未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。 1 2 反思及反思性學(xué)習(xí)的相關(guān)理論 1 2 1 元認(rèn)知理論 元認(rèn)知概念是二十世紀(jì)七十年代初，由美國(guó)心理學(xué)家弗拉維爾首先提m 的。他認(rèn) 為：元認(rèn)知就是個(gè)人在對(duì)自身認(rèn)知過(guò)程意識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)其認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行自我反省、 自我控制和自我調(diào)節(jié)，是個(gè)人對(duì)認(rèn)知領(lǐng)域和知識(shí)的控制。因此，元認(rèn)知就是關(guān)于認(rèn)知 的認(rèn)知，關(guān)于思維的思維。它包括元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知調(diào)控三個(gè)相互關(guān) 聯(lián)的岡素。 用元認(rèn)知的理論來(lái)描述，反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對(duì)自身學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程及活動(dòng)過(guò) 程中所涉及的有關(guān)的事物( 材料、信息、思維、結(jié)果等) 的學(xué)習(xí)特征的反向思考。元 認(rèn)知思想的核心在于強(qiáng)調(diào)認(rèn)知活動(dòng)中認(rèn)知主體對(duì)目標(biāo)的制定和確立，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知主體對(duì) 認(rèn)知過(guò)程與結(jié)果的自我控制、自我管理、自我調(diào)節(jié)以及自我修正，即強(qiáng)調(diào)認(rèn)知主體對(duì) 自身認(rèn)知過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)。 元認(rèn)知策略要求學(xué)生在老師傳授知識(shí)、習(xí)得解決問(wèn)題策略的基礎(chǔ)上，通過(guò)反思， 去理解狀得知識(shí)的過(guò)程，在反思過(guò)程中同時(shí)修正自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)策略等，從而 對(duì)自己習(xí)得的知識(shí)、方法策略形成深刻的印象，在今后遇到相似的情境時(shí)能進(jìn)行自覺(jué) 。鄭鏑萍，反思性學(xué)習(xí)簡(jiǎn)淪 j ，卜海教研，2 0 0 2 ( 8 ) 涂榮豹，試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) j ，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2 0 0 0 ( 1 1 ) 3 第l 章反思性學(xué)習(xí)的理論與認(rèn)識(shí) 運(yùn)用。 1 2 2 建構(gòu)主義理論 最早提出建構(gòu)主義理論的是瑞士心理學(xué)家皮弧杰，他認(rèn)為兒童是在與周同環(huán)境的 相互作用的過(guò)程中，逐步建構(gòu)起關(guān)于外部世界的知識(shí)，從而使自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到發(fā)展。 這個(gè)相互作用涉及兩個(gè)基本過(guò)程：同化和順應(yīng)。同化，就是把同認(rèn)知結(jié)構(gòu)相一致、相 協(xié)調(diào)的新知識(shí)改造、容納到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；而順應(yīng)是指對(duì)那些與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不 協(xié)調(diào)的知識(shí)，為了吸收它，就要改造、調(diào)整已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。兒帝就是通過(guò)同化和順應(yīng) 這兩種形式來(lái)達(dá)到與劇圍環(huán)境的平衡。 建構(gòu)主義理論的核心是“知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的”。人 們對(duì)客體的認(rèn)識(shí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上的“生成”過(guò)程，而不 是思維對(duì)于外部事物或現(xiàn)象的簡(jiǎn)單的、被動(dòng)的反應(yīng)。學(xué)習(xí)不是死記硬背和機(jī)械模仿， 而是學(xué)習(xí)對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容作出解釋，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。它的學(xué)習(xí)過(guò)程包含 兩個(gè)方面的建構(gòu)，一是通過(guò)同化對(duì)新知識(shí)的意義的建構(gòu)，另一方面通過(guò)順應(yīng)對(duì)原有經(jīng) 驗(yàn)本身進(jìn)行改造和重組。 在人們的認(rèn)知框架巾，主體的自我反思是構(gòu)成認(rèn)知結(jié)構(gòu)更新的一個(gè)必要條件。學(xué) 習(xí)不能足被動(dòng)地接受，也不能足簡(jiǎn)單地復(fù)制，而是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)同化和 順應(yīng)主動(dòng)地去建構(gòu)知識(shí)體系，對(duì)所學(xué)內(nèi)容不斷地進(jìn)行概括、歸納和反省。學(xué)生在學(xué)習(xí) 中應(yīng)適時(shí)進(jìn)行自我分析，自我評(píng)價(jià)和自我監(jiān)控，從而獲得自我體驗(yàn)。只有主動(dòng)進(jìn)行自 我反思，才能促進(jìn)學(xué)習(xí)者知識(shí)觀念的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行建構(gòu)活動(dòng)。 4 第2 章反思性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)巾的意義 第2 章反思性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義 2 1 反思性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)體現(xiàn)和升華 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)技能和能力的一種思維活動(dòng)。學(xué) 生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)從具體到逐步抽象的認(rèn)識(shí)、反思活動(dòng)?！八伎肌笔菙?shù)學(xué)知識(shí)的本 質(zhì)特征。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有不斷的思考、反思，才能使自己建構(gòu)的知識(shí)不 斷地與數(shù)學(xué)共同體所擁有的知識(shí)靠近，最終達(dá)到一致。 數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)就是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。和以往的“以數(shù)學(xué)學(xué)科為本” 的教育教學(xué)觀念相比，新一輪的改革確立了“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育教學(xué)觀念，其 最終目的是為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實(shí) 驗(yàn)) 強(qiáng)調(diào)應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷反思與改進(jìn)的過(guò)程，“通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù) 學(xué)學(xué)刊評(píng)價(jià)培養(yǎng)學(xué)生反思的意識(shí)，使他們能夠從不同方面多角度地觀察事物，思考問(wèn) 題，逐漸養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣、善于思考的能力?！薄敖處熆梢赃M(jìn)一步通過(guò)寫評(píng)語(yǔ)、交 談、參與研討等方法關(guān)注學(xué)生的反思情況，指導(dǎo)學(xué)生有效地進(jìn)行反思?！?數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性，數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)評(píng)議的特殊性， 決定了正處于思維發(fā)展階段的巾學(xué)生不可能，一次性地直接把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，必須 要經(jīng)過(guò)多次地反復(fù)思考、深入研究、自我調(diào)整，即堅(jiān)持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能洞察數(shù) 學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征。 數(shù)學(xué)的特性，決定了它在發(fā)展人的素質(zhì)方面有獨(dú)特的功能，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須幫助學(xué) 生發(fā)展更有力的思考方法和“思考工具”。這其中就包括學(xué)生自我反思。反思性數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)不僅可以訓(xùn)練學(xué)生思維的周密性和批判性，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，而 且能使學(xué)生的注意力從指向問(wèn)題本身轉(zhuǎn)移到自身的認(rèn)知加工過(guò)程，從而更好的監(jiān)視、 評(píng)價(jià)、調(diào)節(jié)、修正自己的認(rèn)知活動(dòng)。 2 2 反思性學(xué)習(xí)有利于優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì) 數(shù)學(xué)思維是人腑和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過(guò)程 與活動(dòng)，所以數(shù)學(xué)思維是具有數(shù)學(xué)內(nèi)容和特點(diǎn)的思維，其結(jié)構(gòu)在總體上與一般思維的 結(jié)構(gòu)相同，但其思維的數(shù)學(xué)材料與結(jié)果的不同引起的思維操作手段的差異，必然要求 數(shù)學(xué)思維形式與思維方法的使用有不同的側(cè)重和差異。 數(shù)學(xué)思維問(wèn)題是數(shù)學(xué)教育的核心問(wèn)題，數(shù)學(xué)思維的主要形式為：形象化、運(yùn)作、 反思。反思是數(shù)學(xué)化過(guò)程中的一種重要活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力，數(shù)學(xué)的彳i 少發(fā)現(xiàn)來(lái)自于直覺(jué)，而分析直覺(jué)理解的原因是通向數(shù)學(xué)化的道路。 數(shù)學(xué)思維的發(fā)展水平?jīng)Q定了整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能。反思就是元認(rèn)知在數(shù)學(xué) 嚴(yán)士健普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 實(shí)驗(yàn)) 解讀江蘇教育出版社2 0 0 4 年4 月p 3 3 1 國(guó)鄭毓信，數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐，上海教育出版社，2 0 0 1 第1 3 8 頁(yè) 5 第2 章反思性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)巾的意義 思維中發(fā)揮作用的基本形式。只有以反思為核心的教育，才能使學(xué)生真正深入到數(shù)學(xué) 化過(guò)程之中，也才能真正抓住數(shù)學(xué)思維。 2 3 反思性學(xué)習(xí)有利于提高學(xué)生元認(rèn)知技能 反思是元認(rèn)知在數(shù)學(xué)思維中發(fā)揮作用的基本形式。學(xué)生通過(guò)反思，把問(wèn)題過(guò)程上 升n - 一定的高度，構(gòu)成一定的認(rèn)知策略，進(jìn)而形成元認(rèn)知能力。反思性學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行地 越全面、越及時(shí)、越深刻，那么對(duì)元認(rèn)知能力的訓(xùn)練也就進(jìn)行地越全面越深入，使學(xué) 生從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué) 轉(zhuǎn)變，提高自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。學(xué)生通過(guò)自我反思來(lái)達(dá)到 較高的元認(rèn)知水平。 在整個(gè)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)方面都能體 現(xiàn)出來(lái)，比如思考這道題主要考查什么數(shù)學(xué)知識(shí)? 用到什么思想方法? 在解決過(guò)程中可 能會(huì)遇到哪些問(wèn)題? 通過(guò)邊思考邊評(píng)價(jià)解題進(jìn)程，評(píng)價(jià)解題計(jì)劃的有效性，解題策略 和解題思路的有效性，并不斷地調(diào)整和修f 自己的解答，使解題一步一步向前推進(jìn)直 到成功。在一次解題活動(dòng)暫告結(jié)束后，反思一下自己解題過(guò)程中所走過(guò)的路，想一想 自己探索問(wèn)題的一1 5 路歷程，有何經(jīng)驗(yàn)有何教訓(xùn)等等，這些都是反映元認(rèn)知水平的重要 指標(biāo)。學(xué)會(huì)反思性數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的策略，培養(yǎng)反思性數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的習(xí)慣是獲得元認(rèn) 知知識(shí)、加深元認(rèn)知體驗(yàn)的重要途徑，也是提高元認(rèn)知水平的重要方式。 在反思過(guò)程中，不但元認(rèn)知能力可以得到實(shí)際的鍛煉和提高，而且通過(guò)反思后的 總結(jié)、提高可以使學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)得n i l - 充、豐富和完善。因此存數(shù) 學(xué)教學(xué)中進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的重要途徑。 6 b 達(dá) 褥妒- ( 4 妒+ 玲- 4 p 娟 礎(chǔ)勰翹溉徽赫 第3 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原則 只要直線a b 過(guò)定點(diǎn)( 2 ，0 ) ，就必有o a 上o b 。此結(jié)論易證明。又可以進(jìn)一步 反恩定點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率及拋物線系數(shù)的關(guān)系，從而引出問(wèn)題二。 問(wèn)題二：直線y = k ( x - 2 p ) - 與拋物線y 2 = 2 p x ( p 0 ) 相交于彳，b ，o a _ 1 _ o b 成立嗎? 解：設(shè)a ( x 1 1 ) b ( x 2 ，y 2 ) ，聯(lián)立方程組 fy = 舷一2 p ) l ，= 2 艘 得七￥( 印爐+ 勁弦+ 4 七鏟= o x l x 2 = 4 p 2y l y 2 = - 4 ， 殍x l x 2 + y l y 2 = o o a 上o b 仍成立，于是總結(jié)整理有 結(jié)論：設(shè)a b 是拋物線y 2 = 2 p x ( p 0 ) 的一條弦，0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則o a1 0 b 的充要條件是直線a b 過(guò)定點(diǎn)( 2 p ，0 ) 。 這道例題的內(nèi)涵極為豐富，學(xué)生通過(guò)對(duì)其進(jìn)行深入探究、反思，有了較大發(fā)現(xiàn)， 從具體問(wèn)題反思探究得到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)抽象的結(jié)論。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng) 造能力大有裨益的。所以反思具有很強(qiáng)的探究性，它使學(xué)生在進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)過(guò)程中 很快進(jìn)入探究狀態(tài)，在探究中尋找問(wèn)題的本質(zhì)，重構(gòu)和加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。 3 1 2 自主性 反思是一個(gè)冷靜、主動(dòng)的自我反省領(lǐng)悟過(guò)程，通過(guò)自悟來(lái)獲得新的體會(huì)與理解， 是一種良好的自我教育。善于反思的人，善于提出問(wèn)題，不盲從，不迷信，能發(fā)表自 己的獨(dú)到見(jiàn)解。這種自豐性是需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期地逐漸培養(yǎng)，形成穩(wěn)固不變的思維品質(zhì)。 它能使學(xué)習(xí)者形成自覺(jué)而主動(dòng)的思維習(xí)慣。反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程是學(xué)習(xí)者自豐 活動(dòng)的過(guò)程。它以追求自身學(xué)習(xí)的合理性為動(dòng)力，進(jìn)行主動(dòng)的、自覺(jué)的、積極的探究。 它是通過(guò)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中的自我認(rèn)識(shí)、自我分析、自我評(píng)價(jià)來(lái)獲得自我體驗(yàn)。 反思性學(xué)習(xí)是建市在學(xué)習(xí)者具有內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)基礎(chǔ)上的“想學(xué)”，和建立在意志努力 基礎(chǔ)上的“堅(jiān)持學(xué)”。因此，反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的自主性。 【例3 2 】已知函數(shù)j ，i 俐 問(wèn)題一：若函數(shù)y i ，m 的定義域?yàn)?吾告】，求y 可釅吾) 的定義域。 解：。y i ，m 的定義域?yàn)椤緦＃? 1 】 x 2 吖- 1 i 1 解得x 伴，o 】u 1 ，畢】 問(wèn)題二：若函數(shù)y = j ( 2 x - x 2 ) 的定義域?yàn)椤疽? ，2 】，則函數(shù)y 可的定義域。 解：j ，舡吖鄉(xiāng)的定義域?yàn)椤疽? ，2 】，即x - 1 , 2 】 第3 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原則 及【一3 ，l 】 從而y = f c x ) 定義域?yàn)?一3 ，l 】 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的知識(shí)點(diǎn)，也是高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù) 學(xué)的始終。在函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)難以理解，這直接影響到后面的學(xué)習(xí)。 只有對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)做到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。教學(xué)中可以通數(shù)學(xué)中 復(fù)雜和抽象的外部刺激來(lái)引起學(xué)生反思，促使學(xué)生自覺(jué)進(jìn)入反思階段，在解決問(wèn)題的 活動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行自我分析、自我評(píng)價(jià)來(lái)獲得自我體驗(yàn)，形成自己的認(rèn)知體系。 反思能優(yōu)化已有知識(shí)，讓學(xué)生充分地意識(shí)到自己如何從不知到知的過(guò)程，在該過(guò) 程中自己存在的問(wèn)題是什么，問(wèn)題的難點(diǎn)在哪能里，在解決上述兩個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生通 過(guò)反思自悟，來(lái)獲得對(duì)函數(shù)符號(hào)新的體會(huì)與理解。 3 1 3 發(fā)展性 反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種復(fù)雜且又理性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，它是以學(xué)?！皩W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué) 為目的，它既關(guān)注學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的直接結(jié)果又關(guān)注學(xué)習(xí)的間接結(jié)果，即學(xué)生眼前的 學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)生自身未來(lái)的發(fā)展。這與常規(guī)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有很大區(qū)別的。常規(guī)性數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)是學(xué)生憑借自己有限的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的、重復(fù)的、直覺(jué)的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)。它 是以“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)”為目的，關(guān)注的是學(xué)習(xí)的直接結(jié)果，即眼前的學(xué)習(xí)成績(jī)。常規(guī) 性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只要完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，就達(dá)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求，而反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅 要完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)，還要使學(xué)習(xí)者的理性思維得到發(fā)展，不同的學(xué)生應(yīng)得到不同 的發(fā)展，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。 通過(guò)反思，學(xué)生逐漸根據(jù)題設(shè)中的已知條件和問(wèn)題的具體特征及時(shí)地提出新的設(shè) 想和解決方案。反思不僅是簡(jiǎn)單的同顧或檢驗(yàn)，而是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 從解題思路、解題途徑進(jìn)行多角度的觀察、聯(lián)想，從而將問(wèn)題引申、變形。 一- l 【例3 3 】求尸若的值域 法一：常數(shù)分離法 解：尸1 南 x z o jx 2 + 2 ；2 o i 皂 三j 丟 主西 o 即主 o 時(shí)，a = a 2 - 4 a 百1 o 恒成立， 當(dāng)口= 0 時(shí)，i 1 0 當(dāng)口 0 時(shí)，= a 2 0 4 口耳1 o得o 口 o 恒成立，過(guò)程同上 變式五：若函數(shù)尸七的定義域?yàn)槌?，求?shí)數(shù)口的取值范圍。 戢餓十2 解：由題意得似2 甜+ _ 1 ：0 無(wú)解 x = a 2 - 4 a 互1 o 得o 4 變式一：刪= l o g 州刪2 + 8 x + 4 的定義域?yàn)閞 ，求m 的取值范圍 解：由題意m x 2 + 8 x + 4 0 在r 上恒成立 。m 0 且a 4 變式二：j x ) = l 0 9 3 ( m x 2 + 8 什4 ) 的值域?yàn)閞 ，求m 的取值范圍 解：令f = ，菥+ 斷+ 4 ，則要求t 能取到所有大于0 的實(shí)數(shù)， 當(dāng)m = 0 時(shí)，t 能取到所有大于0 的實(shí)數(shù) 當(dāng)m # o 時(shí)，m 0 且a 0 得0 m 4 。0 m o 恒成立。到變式二，就成了由 第3 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原則 坂x ) = l 0 9 3 ( m x 2 + 8 什4 ) 的值域?yàn)閞 ”這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為t = m x 2 + 甑+ 4 能取到所有大于0 的實(shí) 數(shù)，當(dāng)朋o 時(shí)，群+ 料4 必須滿足大于或等于0 這個(gè)條件，少了等于0 就無(wú)法保證 t 能取到所有大于0 的實(shí)數(shù)，反思到這個(gè)變化就是使思維上了一個(gè)臺(tái)階，將二次函數(shù) 圖象的運(yùn)用更深入了一步。 由于函數(shù)的值域受定義域的約束，到變式三，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域縮小在 0 ，2 】這個(gè) 區(qū)間，轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)x r 時(shí)，“的值域?yàn)?1 ，9 】。解決時(shí)從鏟m x 了 + 8 x + n 出發(fā)，將式了 變形為以甜為參數(shù)的二次方程( 甜m ) x 2 8 x + u 門= o ( 當(dāng)“朋時(shí)) ，如何使x e 尺? 利片j 判別 式0 得到礦( m + n ) u + m n 1 6 0 ，又轉(zhuǎn)化為以“為自變量的二次不等式，從而得到 l 和9 就是方程u 2 - ( m + n ) u + m n 1 6 = 0 的兩根，得出結(jié)論。在變式三的解決過(guò)程中，學(xué) 生的反思是分階段逐步去實(shí)行操作，從而形成螺旋形上升。教學(xué)中教師要安排好知識(shí) 的鋪墊順序和層次，不f j e - + _ e 學(xué)生同時(shí)消化所有知識(shí)，而是按照學(xué)生的思維規(guī)律，逐步 進(jìn)入劍反思的高層境界，從而體會(huì)到反思的樂(lè)趣。 3 3 引導(dǎo)學(xué)生反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可行性 在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是完全可行和必要的。在每節(jié) 課的過(guò)程中，教師可以利用每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)向?qū)W生逐步滲透反思性學(xué)習(xí)。例如在新課 的預(yù)習(xí)上，可以指導(dǎo)、幫助學(xué)生檢查自己的預(yù)習(xí)情況。如哪些問(wèn)題預(yù)習(xí)時(shí)就己經(jīng)掌握， 哪些問(wèn)題預(yù)習(xí)時(shí)不明白，經(jīng)課上老師講解后弄明白了，當(dāng)時(shí)為什么不明白，問(wèn)題出在 在什么地方；練習(xí)反饋完全可以留一定時(shí)間給學(xué)生思考和做題，盡量讓學(xué)生暴露出錯(cuò) 誤后通過(guò)自己的反思來(lái)改正錯(cuò)誤；課堂小結(jié)時(shí)可讓學(xué)生自己先總結(jié)，同學(xué)問(wèn)討論，最 后教師概括。高中生已具備一定自我學(xué)習(xí)的能力和自覺(jué)意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生建立課堂反思 記錄本和錯(cuò)題集。像這樣進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)，在我們，f 丘時(shí)的課堂教學(xué)中，是 完全切實(shí)町行的。 1 4 第4 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與教學(xué)策略 第4 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與教學(xué)策略 4 1 反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容 4 1 1 反思學(xué)習(xí)活動(dòng)所涉及的知識(shí) 大多數(shù)高中學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，并不是在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中就能完全領(lǐng) 會(huì)和理解的。每次數(shù)學(xué)活動(dòng)都可能提供對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象提升認(rèn)識(shí)水平的機(jī)會(huì)，每一 次的學(xué)習(xí)活動(dòng)背景不同，學(xué)生對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行反思后每次就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的新知 識(shí)，與情境聯(lián)系在一起的認(rèn)識(shí)，才是活的認(rèn)識(shí)，才是能夠遷移的認(rèn)識(shí)，才是真正有用 的認(rèn)識(shí)。 反思學(xué)習(xí)活動(dòng)所涉及的知識(shí)的過(guò)程并不是說(shuō)眉毛胡子一把抓，沒(méi)有重點(diǎn)地去反思 學(xué)習(xí)過(guò)程。實(shí)際上，數(shù)學(xué)反思應(yīng)該對(duì)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)有所側(cè)重，只有這樣才能使數(shù) 學(xué)反思更好的進(jìn)行下去，產(chǎn)生良好的效果。對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中的每個(gè)環(huán)節(jié)都平均用力，這樣 不僅浪費(fèi)了時(shí)間，而且還有可能使學(xué)生產(chǎn)牛厭煩情緒，使反思活動(dòng)進(jìn)行不下去。此時(shí)， 如果在全面回顧的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)抓住自己困難的地方或者是出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方進(jìn)行重點(diǎn) 反思，或是對(duì)于這類問(wèn)題的共同特點(diǎn)、共同解法和應(yīng)用等進(jìn)行反思，這樣不僅有意義， 對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有切實(shí)的幫助，而且學(xué)生也比較愿意進(jìn)行。這才是我們提倡學(xué)生進(jìn)行反 思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的所在。 匝案例4 1 衛(wèi)兩角和與差的三角函數(shù)教學(xué)片斷實(shí)錄 一、提出學(xué)習(xí)課題 教師：由前面我們學(xué)的單角的三角函數(shù)知識(shí)，能求出7 5 0 ，l5 0 的三角函數(shù) 值嗎? 在研究三角函數(shù)時(shí)我們常遇到這樣的問(wèn)題：“已知任意角a ，的三 角函數(shù)值，求僅+ a 侈2 a 的三角函數(shù)值” 今天我們就來(lái)研究這類問(wèn)題。我們把剛才問(wèn)題具體化，即已知任意角的三 角函數(shù)值，來(lái)推導(dǎo)以下三組公式： fs i n ( a + f 1 ) = ?fs i n ( a - , b ) = ? fs i n 2 a = ? ( 1 ) 1c o s + 勵(lì)= ?( 2 ) 1c o s ( a - p ) = 7( 3 ) 1c o s 2 a = ? lt a n ( a + 所= ?lt a n ( a - , b ) = ? lt a n 2 a = ? 二、確定研究方案 教師：我們要研究的共有三級(jí)九個(gè)公式，從哪個(gè)公式開(kāi)始研究呢? 是否需 要對(duì)每一個(gè)公式進(jìn)行單獨(dú)的研究呢? 請(qǐng)同學(xué)c f 思考并提出研究方案。 學(xué)生1 ：我認(rèn)為不需要研究( a 節(jié)) 的三角函數(shù)值，因?yàn)槿绻? 僅+ ) 的三角函數(shù)公式，用印代替就可以得到( a 侈) 的三角函數(shù)公式。 教師：很好，也就是說(shuō)，如果和角公式有了，差角公式就很容易求得，那 么二倍角公式又如何呢? 第4 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)爿的內(nèi)容與教學(xué)策略 學(xué)生l ：可以讓和角公式中的口等于a 教師：用代替的過(guò)程用到了什么數(shù)學(xué)方法? 學(xué)生2 ：換元的方法 教師：讓和角公式中的等于0 c 用到了什么數(shù)學(xué)方法? 學(xué)生3 ：( 思考后回答) 是特殊化的方法 教師：現(xiàn)在我們一起來(lái)看一下剛才同學(xué)們提出的研究方案 rs i n 2 a = ? 僅鄧 rs i n + 勵(lì)= ? 侈代替 rs i n ( a - f 1 ) = ? c o s 2 a = ? o = = c o s ( a + 勵(lì)= ? 匕= = jc o s ( 嘲= ? 【t a n 2 a = ?特殊化【t a n ( a 邯) = ? 換元 【t a n ( a - f 1 ) = ? 教師：從這里我們可以先研究和角公式，那么在和角公式中先研究誰(shuí)呢? 學(xué)生4 ：可先推出正余弦公式，兩者相除就可得到正切公式。 教師：這用到了什么數(shù)學(xué)方法? 學(xué)生5 ：化切的方法 教師：那正、余弦先研究誰(shuí)呢? 學(xué)生6 ：正弦 教師：先研究余弦不行嗎? 學(xué)生7 ：可以，通過(guò)同角關(guān)系中的平方關(guān)系 教師：很好，但通過(guò)同角關(guān)系中的平方關(guān)系要涉及開(kāi)方，有其它方法嗎? 學(xué)生8 ：( 思考片刻后) 用誘導(dǎo)公式c o s a = s i n ( 曇伉) ，可以有 e o s ( a + z ) 2s i n 【一( a 邯) 】 z 教師：我們一起來(lái)看這個(gè)研究思路 廣s i n ( a + 歷= ? 化切 一1 f 誘導(dǎo)公式匕令t a n ( a + f 1 ) = ? lc o s ( a 、f 1 ) = ? 教師：通過(guò)剛才的分析，我們現(xiàn)在得到了一個(gè)完整的研究方案，對(duì)此進(jìn)行 反思，我們得到一個(gè)啟示，就是我們?cè)谘芯繂?wèn)題的時(shí)候，應(yīng)該要講究一些 策略，要抓住問(wèn)題的主要矛盾，下面我們集中精力來(lái)解決這個(gè)矛盾。即研 究?jī)H+ 的正余弦公式 這節(jié)課采用了開(kāi)門見(jiàn)山，直接給出課題的方法引入新課，所給的問(wèn)題不是某個(gè)或 某組公式怎樣推導(dǎo)，而是給出三組九個(gè)需要研究解決的公式的左端，讓學(xué)生制定研究 方案。在由九個(gè)需要解決的公式逐步推導(dǎo)到只研究一個(gè)公式的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生對(duì)前面 學(xué)過(guò)的一些思想方法，三角函數(shù)基本知識(shí)有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)該只限于接受記憶，模仿和練 1 6 第4 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與教學(xué)策略 習(xí)。高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)牛的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo) 下的“再創(chuàng)造”的過(guò)程。新課程理念也要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中不應(yīng)該是“結(jié)果”的教 學(xué)，而應(yīng)是“過(guò)程”的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，即要把知識(shí)的形成，發(fā)展過(guò)程展現(xiàn)給 學(xué)生。 4 1 2 反思思想方法 在高中數(shù)學(xué)活動(dòng)中總要涉及一些具體的數(shù)學(xué)思想和方法，如化歸思想、特殊與一 般思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等；消元法、換元法、降次法、降維法、配方 法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法以及反證法等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)掌 握和運(yùn)用十分重要，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。而數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有獨(dú)立的存在形式， 在各類教科書上沒(méi)有也很難有系統(tǒng)的講述，它往往蘊(yùn)涵在具體內(nèi)容，或伴隨在具體的 某個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)片斷之中。數(shù)學(xué)思想方法的傳播和學(xué)習(xí)，除了要靠教師在長(zhǎng)期的教學(xué)中 提示、歸納和點(diǎn)撥外，主要還是靠學(xué)生自己在長(zhǎng)期的反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)葉j 領(lǐng)悟、吸收和 運(yùn)用。 因此，反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要特別注意發(fā)掘活動(dòng)中涉及了哪些數(shù)學(xué)的思想方法，這 些思想方法是如何具體運(yùn)用的，運(yùn)用的過(guò)程中有什么特點(diǎn)、有什么限制條件? 運(yùn)用后 達(dá)到了什么效果? 以前有沒(méi)有運(yùn)用過(guò)這種思想方法? 在什么地方用的? 那時(shí)是怎么 運(yùn)用的? 把兩次運(yùn)用的情況比較一下，現(xiàn)在的運(yùn)用和過(guò)去的運(yùn)用有何聯(lián)系、又有何差 異? 相i 司點(diǎn)和不i 一點(diǎn)分別有哪些? 能否從中總結(jié)出有規(guī)律性的東兩? 有了這樣的反 思，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)、把握、運(yùn)用的水平就會(huì)不斷提高。如在數(shù)列問(wèn)題的 解決中，對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前門項(xiàng)和公式應(yīng)用的問(wèn)題，還可以運(yùn) 用方程和函數(shù)思想來(lái)分析和解決讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的重要作用和指導(dǎo) 意義，使學(xué)生由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精髓，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，由“學(xué) 會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變。 【例4 1 】已知集合a = ( zix 2 3 x + 2 = 0 ) ，b = ( xix 2 - a x + a 1 = 0 ) ，且彳ub = a ， 求實(shí)數(shù)a 分析：解此題可先由al jb = 彳得出b 彳，然后對(duì)集合b 中的元素個(gè)數(shù)進(jìn) 行分類討論。 解：由題意可得a = ( 1 ，2 ) ，再由aub = a 得b 彳 所以b = 函或b = ( 1 ) 或b = ( 2 ) 或b = ( 1 ，2 ) 當(dāng)b = 時(shí)，方程x 2 a x + a 1 _ o 無(wú)實(shí)根，即么= ( a - 2 ) 2 0 ，此時(shí)a 不存在。 當(dāng)b = ( 1 ) 或b = ( 2 ) 時(shí)， 1 = ( a - 2 ) 2 = 0 ，解得a = 2 ，此時(shí)b = ( 1 ) ，所以 a = 2 符合條件 當(dāng)b = ( 1 ，2 ) 時(shí)，方程x 2 3 x + 2 = 0 和a x + a 1 = 0 的根完全相同，由這兩 1 7 第4 章反思陀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與教學(xué)策略 個(gè)方程對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得a = 3 綜上，a = 2 或3 這是集合中最常見(jiàn)的分類討論問(wèn)題，解題時(shí)需對(duì)已知集合的子集元素的個(gè)數(shù)進(jìn)行 分類討論，尤其要注意空集是任何集合的子集。分類討論的思想方法在我們高中數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)中是一個(gè)很重要的方法，所以在高一第學(xué)期就要滲透下去，讓學(xué)生盡快掌握。 高中生因其認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還不夠完善，不可能將教材具體內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù) 學(xué)思想方法一下子就徹底領(lǐng)悟，很多時(shí)候只停留在例題表面，解決后并沒(méi)有思想方法 的反思，因而學(xué)習(xí)也就停留在題目的表層，所以總是出現(xiàn)講過(guò)的題會(huì)做，沒(méi)講過(guò)的就 不會(huì)做。所以在教學(xué)中教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思、領(lǐng)會(huì)、掌握和 運(yùn)用。 4 1 3 反思題意的理解過(guò)程 理解題意是數(shù)學(xué)解題學(xué)爿的首要環(huán)節(jié)。在獲取信息時(shí)，要明確已知什么、求解什 么，即從題日本身去獲取從何處入手、向何方前進(jìn)的信息。題目的條件和結(jié)論是兩個(gè) 信息源，從條什發(fā)出的信息預(yù)示著可知并啟發(fā)解題思路，從結(jié)論發(fā)出的信息預(yù)告需知 并誘導(dǎo)出解題方向。在解題時(shí)，很多學(xué)生常常找不到解題途徑，其主要原岡是“理解題 意”這一環(huán)節(jié)出了問(wèn)題他們經(jīng)常被一些信息的表面形式所迷惑，經(jīng)常遺漏一些重要的 信息，對(duì)條件與結(jié)淪之間的某些關(guān)系不能發(fā)現(xiàn)，同樣的地方反復(fù)錯(cuò)誤或面對(duì)題目無(wú)從 下手。這些現(xiàn)象表明學(xué)生不會(huì)理解題意，要真正學(xué)會(huì)理解題意，除了直接從“理解題意” 的過(guò)程中學(xué)以外，一個(gè)十分重要的途徑是在解題后的“反思”中來(lái)學(xué)。 反思題意理解就是在解題活動(dòng)完成以后，回顧自己從最初理解題意時(shí)怎樣扶取信 息及如何加工信息方面進(jìn)行思考，尤其是對(duì)那些有過(guò)反復(fù)曲折過(guò)程的問(wèn)題進(jìn)行反思， 如獲得過(guò)哪些信息? 遺漏過(guò)哪些信息? 為什么會(huì)遺漏這些信息? 題目中哪些信息是一目 了然的? 哪些信息是隱藏的? 對(duì)條件與結(jié)論之間的某些關(guān)系為什么不能發(fā)現(xiàn)? 關(guān)系的轉(zhuǎn) 化是否有錯(cuò)誤? 為什么會(huì)發(fā)生這樣的錯(cuò)誤? 以后在理解題意時(shí)要注意什么事項(xiàng)? 通過(guò)反 思，能使學(xué)生學(xué)會(huì)在理解題意方面尋找規(guī)律，積累更多的經(jīng)驗(yàn)，這也是元認(rèn)知方面的訓(xùn) 練。要思考題意中的哪些信息是自己不很清楚? 為什么會(huì)不清楚? 條件與目標(biāo)之間有 哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)現(xiàn)? 關(guān)系的轉(zhuǎn)化是否有錯(cuò)誤? 是什么原因?qū)е碌膶?duì)題意的理解錯(cuò)誤 等等，象這樣去對(duì)其原因追根究底。 2 【例4 2 】已知 + 2 ) 2 + 等= j ，求x 2 的取值范圍。 錯(cuò)解：由已知得y 2 = 彬1 6 x 1 2 ，因此x 2 = 3 x 2 1 6 x - 1 2 = 3 斛詈) 2 + 等 當(dāng)x ：一i 8 時(shí)，有最大值孕，即，的取值范圍是( 一，2 f 8 0 0 】。當(dāng)x = 一i 時(shí)，+ 廣有最大值等，即，的取值范圍是( 一，丁】。 反思：沒(méi)有注意x 的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。 1 8 第4 章反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與教學(xué)策略 事實(shí)上，由于”2 ) 2 + 寺= lj ”2 ) 2 = 1 一等 lj 一3 x o ，圓錐曲線 的有界性等。 在解完一道題后很有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行審查自己的解題是否混淆了概念，是否忽 視了隱含條件，是否是特殊代替了一般，是否忽視了特殊情況，邏輯上是否有問(wèn)題， 運(yùn)算是否正確，條件是否充分，題目本身是否有誤等在教學(xué)中，教師可以經(jīng)常有意 識(shí)地選用一些題意理解上易錯(cuò)或易遺漏條件的題，去引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題意理解的合理性進(jìn) 行反思，讓學(xué)生在“誤”中“悟”，在“錯(cuò)”中“磋”，使學(xué)生真正意識(shí)到反思題意的重要性。 【例4 3 】過(guò)點(diǎn)p ( 2 ，3 ) 向圓c ：，+ 伊= 4 引切線，求切線方程。 解