2023年初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

數(shù)學(xué)親愛的2023屆平岡學(xué)子：?恭喜你進(jìn)入平岡中學(xué)!你們是高中生了，做好了充足的準(zhǔn)備嗎?其實(shí)學(xué)好高中數(shù)學(xué)并不難，你只要有堅(jiān)韌不拔的毅力,認(rèn)真做題,善于總結(jié)歸納，持之以恒,相信你一定能成功。?從２02３年開始,廣東省高考數(shù)學(xué)試題使用全國(guó)I卷,縱觀今年高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)它最大的特點(diǎn)就是區(qū)分度特別大,選拔性很明顯，難度相比以前廣東自主命題難度大大提高。打鐵還需自身硬,因此,讓自己變強(qiáng)大才是硬道理。假期發(fā)給你們的這本小冊(cè)子，是為了使你們?cè)诔醺咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上形成較好的連續(xù)性,能有效地克服知識(shí)和方法上的跳躍，利于激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好。你們一定要運(yùn)用好暑假，做好充足的準(zhǔn)備工作。這里給大家?guī)讉€(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的建議:2、建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭(zhēng)取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)成：能從反面入手進(jìn)一步理解對(duì)的東西；能由果朔因把錯(cuò)誤因素弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥;解答問(wèn)題完整、推理嚴(yán)密。3、熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論,使自己平時(shí)的運(yùn)算技能達(dá)成了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的純熟限度。4、經(jīng)常對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu),實(shí)行“整體集裝”,如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然;經(jīng)常對(duì)習(xí)題進(jìn)行類化,由一例到一類,由一類到多類,由多類到統(tǒng)一;使幾類問(wèn)題歸納于同一知識(shí)方法。5、閱讀數(shù)學(xué)課外書籍與報(bào)刊,參與數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題,加大自學(xué)力度，拓展自己的知識(shí)面。７、學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類。如：①?gòu)臄?shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識(shí)應(yīng)用上分類等,使所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、專題化、網(wǎng)絡(luò)化。8、經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的“反思”,思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么,為什么要這樣想,是否尚有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問(wèn)題時(shí)，是否也用到過(guò)。９、無(wú)論是作業(yè)還是測(cè)驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位,通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題。初高中數(shù)學(xué)銜接呼應(yīng)版塊1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“１”的涉及不多,并且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求,但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到,如解方程、不等式等。３.二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作規(guī)定，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對(duì)二次函數(shù)規(guī)定較低,學(xué)生處在了解水平,但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值,研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)在初中不作規(guī)定,此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)樸常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程互相轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，6．圖像的對(duì)稱、平移變換,初中只作簡(jiǎn)樸介紹,而在高中講授函數(shù)后,對(duì)其圖像的上、下;左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn),軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握。７．具有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式,初中不作規(guī)定，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考察常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。9．角度問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題。在初中只涉及36０°范圍內(nèi)的角,而高中是任意角。三角函數(shù)在初中也只是銳角三角函數(shù)，高中是任意角三角函數(shù)，定義的范圍大大不同。同時(shí),度量角也引進(jìn)了弧度制這個(gè)新的度量辦法。10.高中階段特別注重?cái)?shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。此外,像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。目錄1.１數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1絕對(duì)值1.1．2.乘法公式１.１.3．二次根式1.１.４．分式1．2分解因式2．１一元二次方程2．1．1根的判別式２.１.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）2．2二次函數(shù)２．2.1二次函數(shù)ｙ=ax2＋bｘ＋c的圖像和性質(zhì)２.２.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.２.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)樸應(yīng)用2.3方程與不等式２．３.１二元二次方程組解法２.3．2一元二次不等式解法1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1．1．絕對(duì)值一、概念:絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的自身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義:一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,是數(shù)軸上表達(dá)它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義:表達(dá)在數(shù)軸上,數(shù)和數(shù)之間的距離．二、典型例題： 例1解不等式：?解法一:由,得;①若,不等式可變?yōu)椋?得,又x＜1,∴x＜-3;②若，不等式可變?yōu)?，即又∴綜上所述，原不等式的解為或。1Ax-3CxP|x－1|圖1．1－1D5解法二：如圖1．１-１，表達(dá)x軸上坐標(biāo)為x1Ax-3CxP|x－1|圖1．1－1D5所以的幾何意義即為|PA|＞４．可知點(diǎn)P在點(diǎn)Ｃ(坐標(biāo)為-3)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)Ｄ（坐標(biāo)5）的右側(cè). ∴或。練習(xí)A1．填空:(1）若,則x=＿_(dá)_______；若，則ｘ=___＿_(dá)_＿＿_(dá).（２）假如,且，則b＝________;若,則c＝_＿_(dá)___＿_(dá).２．選擇題:下列敘述對(duì)的的是（)（A）若,則（B）若,則(C)若,則(D）若,則練習(xí)B3.解不等式:4、化簡(jiǎn):|x-5|－|2x－13|（ｘ＞５).1.1.2.乘法公式一、復(fù)習(xí)：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式:(1）平方差公式;(2)完全平方公式.我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式:（1）立方和公式;必須記住(２)立方差公式;必須記住(3)三數(shù)和平方公式；(4)兩數(shù)和立方公式；(5)兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有愛好的同學(xué)可以自己去證明.二、典型例題例１計(jì)算：.解法一：原式===.解法二：原式==＝.例2已知,,求的值.解:．練習(xí)A1．填空:（1）（）;(2);(3）.2.選擇題:（１）若是一個(gè)完全平方式，則等于（）(A)(B)(C)(Ｄ）（2)不管,為什么實(shí)數(shù)，的值(）（A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(Ｃ)可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.１.3.二次根式一、概念:一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下具有字母、且不可以開得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如,等是無(wú)理式，而,，等是有理式.1.分母（子）有理化把分母(子)中的根號(hào)化去,叫做分母(子）有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)具有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不具有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式,例如與,與，與，與，等等.一般地，與,與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法,通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)度母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．二次根式的意義二、典型例題例１將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式:(1);(2）；（3)．解:(1）;(2);(3).例2計(jì)算：.解法一:＝＝===．解法二:===＝=．例3試比較下列各組數(shù)的大小:（1)和；(2)和.解：(1）∵,，又，∴＜．(2)∵又4>２eｑ\r(2)，∴eq\r（6)＋4＞eq＼r(6)＋2ｅｑ＼r(２),∴<.例4化簡(jiǎn):．解：＝＝=＝.例5化簡(jiǎn):（1)；（2).解:(1）原式=.（2)原式=，∵，∴，所以，原式=．練習(xí)A1．填空:(１)＝_____；(2)若，則的取值范圍是_____；（3）_＿_(dá)__；(4）若，則_______＿．???? ???? ?(提醒先簡(jiǎn)化后代入)２．選擇題:等式成立的條件是（)(Ａ)(B）(C)（D）練習(xí)Ｂ3.若,求的值.４.比較大小:2－eq\r(3)eq\ｒ(5）－eq＼r(4)(填“＞”，或“＜”)．1.1．4.分式一、概念：１.分式的意義形如的式子,若B中具有字母,且,則稱為分式．當(dāng)Ｍ≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；.上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2.繁分式像,這樣,分子或分母中又具有分式的分式叫做繁分式．二、典型例題：例１若,求常數(shù)的值．解:∵，∴解得.例2(1)試證:(其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：;．(1）證明:∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立.（２）解:由(1）可知＝．(3）證明：∵＝=,又n≥2,且n是正整數(shù)，∴eq\f(１,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2).例３設(shè)，且e＞1，2c2-5ａc+2a2＝0,求e的值．解:在2c２－5ac+2a2=0兩邊同除以ａ2，得2e2-5e＋2＝0,∴(2e-１)（e－2）=０，∴e＝ｅq\ｆ(１,2）<1,舍去;或e=２．∴e=2．練習(xí)A1.填空題：對(duì)任意的正整數(shù)ｎ,();２.選擇題：若，則＝()(A)１(Ｂ）(C）（D)3.正數(shù)滿足，求的值．４.計(jì)算．習(xí)題１．１A組１．解不等式:2．已知,求的值.３.填空：(1）＝_＿_(dá)_________＿_(dá)_＿_(dá)__；(2)若,則的取值范圍是__＿_(dá)___＿_(dá)＿_(dá)_＿＿_(dá)__＿_(dá)_;（3）___＿_(dá)__＿＿_(dá)____＿＿_(dá)___.４.填空:,，則__＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)__＿;５.已知：,求的值.B組1.選擇題：(1）若，則(）(A）（B）（C）（D）（２）計(jì)算等于()（Ａ）(B)（C）(D)２．計(jì)算:.１.2分解因式一、復(fù)習(xí)引申:因式分解的重要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,此外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：(1）x2-3x+２；(2)x２+4x-１2；（３）；(4）．解：（1）如圖1．２-1，將二次項(xiàng)ｘ2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成-1與－2的乘積,而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為-３x，就是x2-3x+2中的一次項(xiàng),所以,有ｘ２-３x＋2＝(x－1)（ｘ-２)．－1－1－2xx圖1．2－1－1－211圖1．2－2－2611圖1．2－3－ay－byxx圖1．2－4－11xy圖1．2－5說(shuō)明：此后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí),可以直接將圖１.2－１中的兩個(gè)x用１來(lái)表達(dá)(如圖1．２-2所示）．（2)由圖１．２-３，得x2+４x-12=(ｘ－2)(ｘ＋6）．(3）由圖1．2－4,得＝(4)＝ｘy+(x－y)-1=(x－1)（y+１)(如圖1．2-５所示）．２.提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1)；(2).解:(1)===．或=＝=＝=.二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（２）＝x+y2x-y2x+y2x-y2-3=.3．關(guān)于ｘ的二次三項(xiàng)式ax２+bｘ+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、,則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式:(1);(2）．解:(1）令＝0，則解得，,∴＝=.(2）令=０,則解得，,∴＝．二、練習(xí)Ａ１.選擇題:多項(xiàng)式的一個(gè)因式為(）（A）（B)(C）(D）２．分解因式:(1)x2＋6ｘ+8；（2)8a3－b3;(3）x2-2x-１；（4）.練習(xí)B組１．分解因式：（1）；（２）；(3）；2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）；（２）；（3）；3.分解因式：x2＋x－(a2－ａ).2.１一元二次方程2.１.1根的判別式一、概念：我們知道,對(duì)于一元二次方程ａx2+bx＋c＝0(a≠0）,用配方法可以將其變形為.①由于ａ≠0，所以,４a2＞0．于是(1）當(dāng)ｂ2－4ac>０時(shí),方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x１，２=;(2)當(dāng)b2-４aｃ＝0時(shí)，方程①的右端為零,因此,原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x１=x2＝－；（３)當(dāng)ｂ2-4ac＜0時(shí),方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零,因此,原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.由此可知,一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的根的情況可以由b２－4ac來(lái)鑒定,我們把ｂ2－4ac叫做一元二次方程aｘ2+bx＋c=0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表達(dá)．綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx+ｃ＝0(ａ≠0)，有當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,2＝;(2)當(dāng)Δ＝０時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x２＝-;(3）當(dāng)Δ<０時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.二、典型例題：例1鑒定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),假如方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.(1）x２-3x＋3=０；（2）x2-ax－1＝0;（3)ｘ２－ax+(ａ-1)=0;(4）ｘ2-２x+ａ=０.解:（１)∵Δ＝３2－4×1×3＝－３＜０,∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（２）該方程的根的判別式Δ＝a２-4×１×(－1）＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，.(３）由于該方程的根的判別式為Δ=a２－4×1×（a-１)＝a２－4a+4＝(a-2)2,所以,?①當(dāng)a=2時(shí),Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2＝１； ②當(dāng)ａ≠2時(shí)，Δ>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝a-1.(4）由于該方程的根的判別式為Δ=22-4×１×a=4－４ａ＝４（1－a),所以①當(dāng)Δ＞0,即４（1－a)>０,即a<1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,；?②當(dāng)Δ=０,即ａ=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x１＝ｘ２=1； ③當(dāng)Δ<0，即a>1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.說(shuō)明:在第３,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是,在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論,這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在此后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)一、概念:1、若一元二次方程ａx2+ｂｘ＋ｃ＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則有?；. 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系: 假如ax２＋bx＋ｃ=0(ａ≠０)的兩根分別是x１，x2,那么ｘ1＋x?2＝,x１·x2＝.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．?2、特別地,對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x２+px+q=0，若ｘ1，x2是其兩根,由韋達(dá)定理可知ｘ1＋x2=-p，x１·x2=q， 即p＝－（x１+x2),q＝x1·ｘ2,?所以,方程x2＋pｘ+q＝0可化為x2-(x1+ｘ2)ｘ＋x1·ｘ２=0，由于ｘ1，ｘ2是一元二次方程x2＋ｐx+q=0的兩根,所以,x1，ｘ2也是一元二次方程x２-(x１+x?2)x+x1·x2＝０的兩根,因此有以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為１）是x２－（ｘ1＋x２)x+x1·x２＝0．二、典型例題：例2已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及ｋ的值.分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值,再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),于是可以運(yùn)用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值.解法一:∵2是方程的一個(gè)根,∴５×22+k×2-６=０，∴k＝-7.所以,方程就為５x2-7x-6＝0,解得x1=2，x2＝－．所以,方程的另一個(gè)根為-，k的值為－7.解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則2x1＝－，∴x１=-.由（-）+2=－，得k=-7.所以，方程的另一個(gè)根為-,k的值為－7．例3已知關(guān)于x的方程ｘ2＋2(m－2)x+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大２1，求m的值.分析:?本題可以運(yùn)用韋達(dá)定理,由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程,從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是,由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因此,其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理,得x1＋x2=－2(m-2),x1·x2＝m2＋4．∵x１2＋x22-x1·x2＝２1,∴(x1＋x2）2-3x1·x2＝２1,即[－2(ｍ-2)]2－３(m2+4)＝21，化簡(jiǎn)，得ｍ２－１6m-1７＝０,解得ｍ=-１，或m＝17.當(dāng)m=-1時(shí)，方程為x2＋６x＋５=0,Δ>0，滿足題意；當(dāng)m=17時(shí)，方程為x2+3０x+２93＝０,Δ＝302-4×1×293<0，不合題意,舍去.綜上，m＝-1．說(shuō)明：（1)在本題的解題過(guò)程中,也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所相應(yīng)的m的范圍,然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大2１”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．(★）在此后的解題過(guò)程中,假如用由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于等于零．由于，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為-12，求這兩個(gè)數(shù).分析:我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,ｙ，運(yùn)用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也可以運(yùn)用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一:設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,則ｘ＋y=4，①xy=－12．②由①，得y=4-ｘ，代入②，得x(４-x)=-12，即ｘ2－4ｘ-12＝0,∴x１=－2,x2＝6.∴或因此,這兩個(gè)數(shù)是-2和6．解法二:由韋達(dá)定理可知,這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程,得x１=－2,x2＝6． 所以，這兩個(gè)數(shù)是-2和6. 說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)解題)要比解法一簡(jiǎn)捷. 例5若ｘ1和x２分別是一元二次方程2ｘ２+５x-3=0的兩根． （1)求｜x1-x2｜的值;(2）求的值；(3）ｘ１３+ｘ23.?解：∵x１和ｘ２分別是一元二次方程２ｘ2＋５x-3＝０的兩根，∴,． （１)∵|x１－x２|２＝x1２+ｘ22-２x1x２＝（x1+x２)2－4ｘ1x2=＝+6=,∴|x1-x2｜=． (2）． （3)x1３+x23＝（x1+x2）(x12－x１x2+x22）=(x1+ｘ２)［(x1+x２）2-3x1ｘ2］=(－)×［(-)2－3×(）]=－.注意:說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，此后我們經(jīng)常會(huì)碰到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ａｘ2+bx+c=0(a≠０),則，，∴|x1-x2|=.于是有下面的結(jié)論：若ｘ1和x2分別是一元二次方程ax2+bx+ｃ＝0（a≠0)，則｜ｘ1-x2|=（其中Δ=b2-4ac)．此后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí),可以直接運(yùn)用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于x的一元二次方程x2-ｘ+a－４＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解:設(shè)x1，ｘ2是方程的兩根，則ｘ1x2＝a－4＜０，①且Δ＝(-1)2-４（a－4)＞０.②由①得a＜4,由②得ａ＜eq\f(17，4).∴a的取值范圍是a＜4.練習(xí)A１．選擇題：（1）方程的根的情況是（)（A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根(2）若關(guān)于x的方程mx2＋（2m+1)x＋ｍ＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)ｍ的取值范圍是()(Ａ)ｍ＜(Ｂ）m＞-（C)m<，且m≠0（D）m＞-，且ｍ≠0(3)已知關(guān)于x的方程x２＋kx-2＝０的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是（)(A)-3(B)３（C)-2(Ｄ）2（4)下列四個(gè)說(shuō)法:①方程x2+2x-7＝０的兩根之和為－２,兩根之積為－7;②方程ｘ2-２x＋7＝0的兩根之和為-2，兩根之積為7；③方程3x2-7=0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3ｘ２+2x=0的兩根之和為-2，兩根之積為0．其中對(duì)的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是(）(A）1個(gè)(B）２個(gè)(C）3個(gè)（D)4個(gè)（５）關(guān)于x的一元二次方程ax２-５x＋ａ2+a＝０的一個(gè)根是0，則ａ的值是（)(Ａ）0（B）１(C)-1(Ｄ)0，或－12.填空:(1)若方程x2-3x－1＝0的兩根分別是ｘ1和x２，則=．(2）方程mx2+x-２ｍ＝0(ｍ≠0）的根的情況是．(3)以-3和1為根的一元二次方程是．(4）方程kx2+4x－1=0的兩根之和為－2，則k＝．（5)方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β,則α2+β2＝.(６)已知關(guān)于ｘ的方程x2-ax－３a＝0的一個(gè)根是-2，則它的另一個(gè)根是．（7)方程２x2＋２x－1＝０的兩根為x1和x2,則|x1-x2|=.3．已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kｘ2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?4.已知方程x2－3x-１＝0的兩根為x1和x2,求（x1－3）(x2-3)的值.5.試鑒定當(dāng)m取何值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程m2ｘ2-(2ｍ＋１)ｘ＋1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？6．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－７x－１＝0各根的相反數(shù)．練習(xí)B組１．選擇題:若關(guān)于x的方程x２＋(k2-1）x+k+１=０的兩實(shí)根互為相反數(shù),則k的值為（）(A）１，或－1(Ｂ)1（C）－1(Ｄ）0２．填空:(１）若m，n是方程ｘ2+2０23x－1=０的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2ｎ＋ｍｎ2-mn的值等于．(2）假如a,b是方程x２＋x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b+aｂ2+b３的值是．3.已知關(guān)于x的方程x2-ｋx-2=0.（1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2）設(shè)方程的兩根為x1和x2,假如２(x１+x２)>ｘ1ｘ2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.４.一元二次方程aｘ2+bx+c＝0（a≠0)的兩根為ｘ１和x2.求:（1）|x１－x2|和;(２）x1３+x23．５.關(guān)于ｘ的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足｜x1－ｘ2｜＝2,求實(shí)數(shù)m的值．2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y=ax2＋ｂx＋ｃ的圖像和性質(zhì)一、復(fù)習(xí)引申：?jiǎn)栴}1函數(shù)y=aｘ2與y＝x2的圖象之間存在如何的關(guān)系?為了研究這一問(wèn)題,我們可以先畫出y＝2x２，ｙ=ｘ2，ｙ＝－2ｘ2的圖象,通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y=x２的圖象之間的關(guān)系,推導(dǎo)出函數(shù)y＝aｘ2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y=x2，ｙ＝2x2的圖象.先列表：x…－３-2-10123…x2…９41014９…2x２…1８8２０2818從表中不難看出,要得到2x2的值,只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)ｙ=x2,y=2x２的圖象(如圖2－1所示)，從圖２-1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=２x2的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛?lái)的兩倍得到.y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y=x2，y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：1、二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象可以由ｙ=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛?lái)的a倍得到.在二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）中,二次項(xiàng)系數(shù)ａ決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小．問(wèn)題2函數(shù)y＝a(x＋h)2+k與ｙ=ax2的圖象之間存在如何的關(guān)系？同樣地，我們可以運(yùn)用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝２(x＋１）２+1與ｙ=2ｘ2的圖象（如圖２-2所示）,從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn),只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個(gè)單位,再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝２(x+1)２+1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).類似地，還可以通過(guò)畫函數(shù)y＝-3x２,y＝－３(x－1)2＋１的圖象,研究它們圖象之間的互相關(guān)系．圖2.2-2x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋12、二次函數(shù)ｙ=ａ（x+h)2＋k(a≠0）中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向;h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，并且“h正左移,h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，并且“k正上移,k負(fù)下移”.由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)ｙ＝ax2＋bx+c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax２+bｘ+c＝a（x2＋)＋c＝a(ｘ2+＋）＋c-,所以,y＝ａｘ2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝aｘ2的圖象作左右平移、上下平移得到的,于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bｘ＋c（ａ≠0)具有下列性質(zhì):３、（1）當(dāng)a＞０時(shí)，函數(shù)y=ax2＋bx＋c圖象開口向上;頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著ｘ的增大而減小;當(dāng)x>時(shí)，ｙ隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最小值y=．(2）當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax２+ｂx+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí),y隨著x的增大而增大;當(dāng)x>時(shí)，y隨著x的增大而減小;當(dāng)ｘ=時(shí),函數(shù)取最大值ｙ＝.xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4二、典型例題：例1求二次函數(shù)y＝-3x２－6x＋１圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(或最小值),并指出當(dāng)ｘ取何值時(shí)，ｙ隨x的增大而增大(或減小)?并畫出該函數(shù)的圖象.解:∵y=－3x2－6x＋１=－３(x+1)2＋４,xOyxOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5對(duì)稱軸是直線ｘ＝-１；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,４）;當(dāng)ｘ=－1時(shí)，函數(shù)ｙ取最大值ｙ=4；當(dāng)x＜－１時(shí)，ｙ隨著ｘ的增大而增大;當(dāng)x＞-1時(shí)，ｙ隨著x的增大而減小;采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(-1,4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D（０，１），過(guò)這四點(diǎn)畫出圖象（如圖2－5所示).說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出,根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象,可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件,試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間關(guān)系如下表所示:x/元１301501６５y／件70５０3５若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么,要使天天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)天天的銷售利潤(rùn)是多少？分析:由于天天的利潤(rùn)＝日銷售量y×(銷售價(jià)ｘ－１２0）,日銷售量ｙ又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求天天所獲得的利潤(rùn)最大值,一方面需規(guī)定出天天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系,然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出天天利潤(rùn)的最大值．解:由于ｙ是x的一次函數(shù),于是，設(shè)ｙ=ｋｘ+b將x＝130，y＝70;ｘ=15０，y＝5０代入方程，有解得k=-1,b=200．∴y＝-x+20０.設(shè)天天的利潤(rùn)為z(元），則ｚ＝（－x＋200)(x－120)=-x２+３20x－2400０＝-(x-160）2＋1６00,∴當(dāng)x=160時(shí),z取最大值1６00.答:當(dāng)售價(jià)為１６０元/件時(shí)，天天的利潤(rùn)最大，為1６0０元.例3把二次函數(shù)y＝x2+ｂx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，求b，c的值.解法一：y=x２＋bx+ｃ=(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移４個(gè)單位,得到的圖像,也就是函數(shù)y=x２的圖像，所以,解得b＝－8,ｃ=１４． 解法二：把二次函數(shù)y=ｘ2+bx＋c的圖像向上平移２個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移２個(gè)單位，再向右平移４個(gè)單位,得到函數(shù)y＝x2＋bx+c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移２個(gè)單位,再向右平移４個(gè)單位,得到函數(shù)y＝(x-4)2＋2的圖像,即為y=ｘ2-8x+14的圖像，∴函數(shù)ｙ＝x２-８x＋１4與函數(shù)y=x2＋ｂx＋c表達(dá)同一個(gè)函數(shù)，∴ｂ＝-8，c=14.說(shuō)明:本例的兩種解法都是運(yùn)用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題,所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法:解法一,是直接運(yùn)用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的,其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是運(yùn)用逆向思維,將本來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn).此后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題.三、練習(xí)A1.選擇題：(1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是()（Ａ)y＝2x２（B）ｙ＝2x2-４x＋2（Ｃ)y=2x２－1（D）ｙ＝2ｘ２-4x（２)函數(shù)y＝2(ｘ-1）2+２是將函數(shù)y＝2x２（)(A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的(B)向右平移２個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的（Ｃ)向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的(Ｄ)向上平移２個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題(1)二次函數(shù)y＝２x2－ｍx+ｎ圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－２），則m＝,ｎ=.（2)已知二次函數(shù)y＝x2+（m-2)ｘ-2ｍ,當(dāng)ｍ＝時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m=時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)m＝時(shí),函數(shù)圖象通過(guò)原點(diǎn)．（3）函數(shù)y＝-３(x＋２)2+5的圖象的開口向,對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取最值ｙ＝;當(dāng)ｘ時(shí),y隨著x的增大而減小．3.求下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大(小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象.（1）y=ｘ2－2x－3;（2）y=1＋6ｘ－ｘ2.2．2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式一、復(fù)習(xí)引申：通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí),我們知道，二次函數(shù)可以表達(dá)成以下兩種形式：1.一般式:ｙ＝aｘ2+bｘ+c(ａ≠0);2.頂點(diǎn)式:y＝a（x＋h)2＋ｋ(a≠０),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán),k).除了上述兩種表達(dá)方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表達(dá)．為了研究另一種表達(dá)方式,我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與ｘ軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y=ａｘ2＋bｘ+ｃ(ａ≠0）與x軸相交時(shí),其函數(shù)值為零，于是有ａx2+bｘ+c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y=ａx2＋bｘ＋c（ａ≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn),拋物線y=aｘ2＋bｘ+c(a≠０）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2-４ａc有關(guān)，由此可知，拋物線ｙ＝ax２＋bx＋ｃ(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝ｂ2－４ａc存在下列關(guān)系:（１）當(dāng)Δ>0時(shí)，拋物線y＝ax2+bｘ+c(ａ≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0）與ｘ軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立.（２）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y=ax2＋bｘ+c（a≠0）與ｘ軸有一個(gè)交點(diǎn)(拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠０）與x軸有一個(gè)交點(diǎn),則Δ＝０也成立．（３）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái),若拋物線ｙ=ａx2+bx＋ｃ(a≠０）與ｘ軸沒(méi)有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立．于是,若拋物線y＝ax2＋bｘ+ｃ(a≠０)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(ｘ１，0)，B（x2,0）,則ｘ1,ｘ2是方程ａx２+bx+c＝0的兩根,所以x1＋ｘ2=，x１x2=,即＝－(x1+x2),＝ｘ1x2.?所以,y=ａx2＋bx＋c=ａ()=a[x2－(x１+x2)ｘ+x1x2]＝a(x－ｘ1)（x－x２).由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0)與x軸交于A(x1，０)，Ｂ(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表達(dá)為y=ａ(ｘ－x1）(x-ｘ2)(a≠０).?這樣，也就得到了表達(dá)二次函數(shù)的第三種方法:3．交點(diǎn)式：y=a(x－ｘ1)（x－ｘ2)（a≠0)，其中x１，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).此后,在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件,選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題.二、典型例題:例1已知某二次函數(shù)的最大值為２，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上,并且圖象通過(guò)點(diǎn)（3，-1)，求二次函數(shù)的解析式.分析：在解本例時(shí),要充足運(yùn)用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式,再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)ａ．解:∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.又頂點(diǎn)在直線ｙ＝x＋1上,所以，2=x+１,∴x=１．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2).設(shè)該二次函數(shù)的解析式為,∵二次函數(shù)的圖像通過(guò)點(diǎn)（3，－１）,∴，解得a＝．∴二次函數(shù)的解析式為,即y＝說(shuō)明：在解題時(shí),由最大值擬定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),再運(yùn)用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,最終解決了問(wèn)題.因此,在解題時(shí),要充足挖掘題目所給的條件,并巧妙地運(yùn)用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－3，0）,(１，0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)事實(shí)上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式.解法一:∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-3,０）,（１,0）,∴可設(shè)二次函數(shù)為ｙ=ａ(x＋3)(ｘ-1）（a≠0),展開,得ｙ=aｘ２+２ax-3ａ,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴｜-4a｜=２，即ａ=．所以,二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝,或y=-. 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3,０)，(1，0），所以,對(duì)稱軸為直線ｘ=－1,又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2,可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或-2，于是,又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解,然后再運(yùn)用圖象過(guò)點(diǎn)（－3，0)，或(1,０），就可以求得函數(shù)的表達(dá)式.?解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3,０),(1,0)，∴對(duì)稱軸為直線x=－1．又頂點(diǎn)到x軸的距離為2,∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,或-2.于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋１）2+２,或y＝a(x＋1)2－2,由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，０)，∴0=a(1＋1）2+2,或0＝ａ(1＋１)2-2．∴a＝－，或ａ＝．所以,所求的二次函數(shù)為y＝－(x+1)2＋２，或y=(x+１)２－２. 說(shuō)明:上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度,運(yùn)用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在此后的解題過(guò)程中,要善于運(yùn)用條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題.例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,-２2),（0，－8)，（2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)該二次函數(shù)為y=ａx２+bｘ+ｃ(a≠０).由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(-１，-22),(0，-8),(2,８),可得解得ａ=－2,b=1２，c=-８．所以，所求的二次函數(shù)為y＝-2x2＋1２x-８．通過(guò)上面的幾道例題,同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別運(yùn)用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式?三、練習(xí)Ａ1．選擇題:（1)函數(shù)y=-x２＋ｘ-1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()（Ａ）0個(gè)(B）１個(gè)(C）2個(gè)(Ｄ)無(wú)法擬定（2）函數(shù)y＝－eq\f(１,２)(x＋1)２+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()(Ａ)(1，2）(B)(1,－2)(C）(-1,2）（D)(－1,－2)2．填空:（1）已知二次函數(shù)的圖象通過(guò)與x軸交于點(diǎn)(-1，０)和(2，０),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(ａ≠0)．(2）二次函數(shù)y＝-ｘ2+２eq＼r（3)x+１的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.（1）圖象通過(guò)點(diǎn)(1,－2),(0，－3),(-1，-6);（2)當(dāng)ｘ=３時(shí)，函數(shù)有最小值5，且通過(guò)點(diǎn)(１，1１);（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1-eq\r(2),０)和（1+eｑ\ｒ(2)，0)，并與y軸交于(0,-2).２.２.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)樸應(yīng)用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換?１.平移變換 問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí),有什么特點(diǎn)?依據(jù)這一特點(diǎn),可以如何來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn):在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí),具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí),只需運(yùn)用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可.?例1求把二次函數(shù)y＝ｘ2－4ｘ＋3的圖象通過(guò)下列平移變換后得到的圖象所相應(yīng)的函數(shù)解析式：?(1）向右平移２個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位； (2)向上平移３個(gè)單位,向左平移2個(gè)單位． ?分析:由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項(xiàng)系數(shù)),所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置(即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)）,所以，一方面將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式,然后,再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所相應(yīng)的解析式．??解:二次函數(shù)ｙ＝2ｘ２－４ｘ－3的解析式可變?yōu)閥＝2（ｘ－1)2－1,??其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(１,－１)． ?（1)把函數(shù)y＝2(x-1）２－1的圖象向右平移2個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位后,其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,－2），所以,平移后所得到的函數(shù)圖象相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y=2（x-3)2－2．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7xyOxyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)圖2.2－8? 2.對(duì)稱變換 問(wèn)題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，有什么特點(diǎn)?依據(jù)這一特點(diǎn)，可以如何來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移???例2求把二次函數(shù)y＝２x2-4x+1的圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式:?（1)直線x=-1;?（2)直線ｙ＝１.? 解：（1）如圖2.2－7，把二次函數(shù)y＝2x2－4ｘ＋1的圖象關(guān)于直線ｘ=－1作對(duì)稱變換后,只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀. 由于y＝2x２-４x+１=2（x－1）2-１，可知，函數(shù)y=2x２-４ｘ+１圖象的頂點(diǎn)為A(1，-1），所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為A１（－３，-1)，所以,二次函數(shù)y=2x2-4x＋１的圖象關(guān)于直線x=-１對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y=２(ｘ+3)2-1,即y=２x2+1２x＋1７.??（２)如圖2．2－8,把二次函數(shù)y＝2x2-4x＋1的圖象關(guān)于直線y=-1作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀.??由于y＝２ｘ２－4x＋1＝2（x－1）２－1，可知，函數(shù)y=2x２-４x＋1圖象的頂點(diǎn)為A(１，-１),所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1,3),且開口向下，所以，二次函數(shù)y=2x２-4x+1的圖象關(guān)于直線y＝１對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為ｙ=－２(x－1)2+3,即ｙ＝－2x2＋４ｘ+1．二、分段函數(shù) 一般地，假如自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù).?例3在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資８0分，超過(guò)20g不超過(guò)４0g付郵資1６0分,超過(guò)４0g不超過(guò)6０g付郵資24０分,依此類推，每封xg(0<x≤1００)的信應(yīng)付多少郵資（單位:分）?寫出函數(shù)表達(dá)式,作出函數(shù)圖象. 分析:由于當(dāng)自變量ｘ在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以,可以用分段函數(shù)給出其相應(yīng)的函數(shù)解析式.在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)ｘ在各個(gè)小范圍內(nèi)(如２0＜x≤４0）變化時(shí),它所相應(yīng)的函數(shù)值(郵資)并不變化（都是160分).?解:設(shè)每封信的郵資為y(單位:分），則y是x的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的解析式為x(克)yx(克)y(分)O圖2.2－92040608010040032024016080 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2.２-9所示.三、配方法及其應(yīng)用1、同學(xué)們知道，在求二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或求最大(小)值時(shí)需用到變形：,這種變形的過(guò)程就叫配方。具體過(guò)程為 ?? 用配方來(lái)解決最大(小)值等問(wèn)題的方法叫作配方法,這是高中數(shù)學(xué)最重要的方法之一，望同學(xué)們給予足夠的重視,在上高中之前務(wù)必先學(xué)會(huì)并掌握配方。例1、將下列二次函數(shù)式配方:(1) ? （2)（３) ?? (4）解：（1)（2)（３）（４)例2、求下列二次函數(shù)的最大（或最小)值：（1)? ?(2）(3)????（４）解：(1）∴當(dāng)時(shí)ｙ取最小值(2)∴當(dāng)x=3時(shí)，ｙ取最大值10(3)∴當(dāng)x=-2時(shí),y取最小值-1(4）∴當(dāng)ｘ＝－２時(shí)，ｙ取最大值-３思考:1、二次函數(shù)式的配方和分解因式的區(qū)別是什么？２、你是否已概括出了配方的幾個(gè)環(huán)節(jié)？(注:最佳不要用公式去套）四、練習(xí)A組將下列二次函數(shù)配方 ? ?(１）? ?? ?（2）? ? (3)? ?? ?(4) ? ?（5) ? ????（6）? ?? （7） ?（8）? ? ?（9）? ? (10)? ? ?(1１) ? ? （1２） ? ?(13）?? ???(１4） ???（15) 2．３方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法一、概念：方程是一個(gè)具有兩個(gè)未知數(shù),并且具有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程.其中,，叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng),，叫做一次項(xiàng),6叫做常數(shù)項(xiàng).我們看下面的兩個(gè)方程組：第一個(gè)方程組是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的,第二個(gè)方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組.下面我們重要來(lái)研究由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法．一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來(lái)解．二、典型例題：①②例1解方程組①②分析：二元二次方程組對(duì)我們來(lái)說(shuō)較為生疏,在解此方程組時(shí),可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式．注意到方程②是一個(gè)一元一次方程,于是，可以運(yùn)用該方程消去一個(gè)元,再代入到方程①，得到一個(gè)一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題．解：由②，得ｘ=2y＋2，③把③代入①,整理,得8y２＋8ｙ＝０,即y(ｙ+1)＝0．解得y1＝0,y2=-1.把y１＝0代入③,得x1＝２;把y2=－1代入③,得x２=0.所以原方程組的解是說(shuō)明：在解類似于本例的二元二次方程組時(shí),通常采用本例所介紹的代入消元法來(lái)求解．例2解方程組①②①②解法一：由①，得③把③代入②,整理，得解這個(gè)方程，得．把代入③,得；把代入③，得.xO－23y＝xO－23y＝x2－x－6yy＞0y＞0y＜0圖2.3－1解法二:對(duì)這個(gè)方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,把看作一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，通過(guò)解這個(gè)一元二次方程來(lái)求.這個(gè)方程組的是一元二次方程的兩個(gè)根，解這個(gè)方程,得,或.所以原方程組的解是三、練習(xí)A１.下列各組中的值是不是方程組的解?（)（1)（2)(3)(4)2.解下列方程組:（1)(2)(3)（4)２.3.2一元二次不等式解法一、引入：二次函數(shù)y＝x2-x－6的相應(yīng)值表與圖象如下：x-３－2-1012３4y60－4-6-6－40６由相應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.3－１)可知當(dāng)x＝-２,或x＝3時(shí),y＝０,即x2－x-6=0;當(dāng)x<-2,或x＞3時(shí),y＞0,即x2－x－6＞0;當(dāng)-2＜x＜3時(shí)，y<0，即ｘ２－x－6＜0.這就是說(shuō)，假如拋物線y=x2－x-6與x軸的交點(diǎn)是(－２，０）與(3，０），那么一元二次方程x2－ｘ-6=０的解就是x１=-2,x2＝3;同樣，結(jié)合拋物線與ｘ軸的相關(guān)位置,可以得到一元二次不等式ｘ2－x-6>0的解是x<－2,或x＞3；一元二次不等式x2-x-６<０的解是-2<x＜3.上例表白:由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以擬定相應(yīng)的一元二次方程的解和相應(yīng)的一元二次不等式的解集. 那么,如何解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0)呢??我們可以用類似于上面例子的方法,借助于二次函數(shù)y＝ax2+bｘ＋c(ａ≠0)的圖象來(lái)解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0).為了方便起見,我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a>０時(shí)的一元二次不等式的解.我們知道，對(duì)于一元二次方程ax２+bx+c＝0（ａ>0),設(shè)△=ｂ2-4ac,它的解的情形按照△＞0,△=０，△<0分別為下列三種情況——有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解,相應(yīng)地,拋物線y＝ax２+ｂx＋ｃ(ａ＞0)與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)(如圖2.3-２所示），因此,我們可以分下列三種情況討論相應(yīng)的一元二次不等式ａｘ2＋ｂx+c＞０(a>0）與ａx2＋ｂx+ｃ<０（a>0)的解． (1）當(dāng)Δ>0時(shí)，拋物線y=ａx2+bx+ｃ（a>0）與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(ｘ1,０)和（ｘ2,0),方程ax２＋bx＋c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x１和x2(x1<x2）,由圖2.３-２①可知xxyOx1x2xyOx1=x2yxO圖2.3－2②③①不等式ax2＋bx＋ｃ>0的解為x＜x１,或x＞ｘ2；不等式ax２＋bｘ＋c＜０的解為ｘ1＜x＜x2．（2）當(dāng)Δ=０時(shí)，拋物線y=ａx2＋bx+c（a＞0)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),方程aｘ2＋bx+ｃ＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x１＝x2=－eｑ\f(b，2a)，由圖2．3－2②可知不等式ａx2+bx+ｃ>0的解為x≠－ｅq＼f(ｂ,2a);不等式aｘ2＋ｂx＋c<0無(wú)解． (3）假如△<0,拋物線y＝ａx2＋bx＋c（ａ＞0）與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程ａx2+bｘ＋c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,由圖2.3－2③可知不等式ax2+bｘ＋c＞0的解為一切實(shí)數(shù);不等式aｘ2+bｘ+c＜0無(wú)解.?此后,我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，假如二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以運(yùn)用上面的結(jié)論直接求解;假如二次項(xiàng)系數(shù)小于零,則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再運(yùn)用上面的結(jié)論去解不等式． 二、典型例題:例3解不等式：（1）x２+2x-3<0；（2)x－x2+６＜０;(3)４ｘ２＋4x+１≥０；(4)x２－６ｘ+9≤0;(5)－4+x－x２＜０．解:（１）∵Δ＞０,方程x2＋2x-3=0的解是x１＝－３,x2＝１.∴不等式的解為－3<x<１．(2)整理,得x2－ｘ-6>0．∵Δ>0，方程x２－x-6＝0的解為x1=－2,x2＝3．∴所以,原不等式的解為x<-2,或x>3．（3)整理,得(２x＋１)2≥0.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,∴原不等式的解為一切實(shí)數(shù).（４）整理,得(x-3）2≤0.由于當(dāng)x=3時(shí),（ｘ-3）2＝0成立;而對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,（x-3)2<０都不成立，∴原不等式的解為ｘ=3．（5）整理，得ｘ2－x+