清北學堂 2014年暑假高中數(shù)學競賽班型入學測試

2014 年 暑假 高中 數(shù)學 競賽 班型 入學測試 試卷說明 本測試與 2014 年 全國高中數(shù)學聯(lián)賽 難度相當。 希望學員經(jīng)由本試卷了解數(shù)學聯(lián)賽題型及難度，對 14 年 9 月 全國高中數(shù)學聯(lián)賽 舉辦之前的學習進度給出合理安排。 本測試用于學生對水平進行提前自我評估，測試答案將于 6 月 20 日中午 12:00，在清北學堂官方網(wǎng)站進行發(fā)布。如有學員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進行評閱并進行個性化分析。 （ 2014 年 暑假 集中培訓課程使用） QBXT/JY/RXCS2014/6-1 2014-6-15 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程 入學測試 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 暑假 高中 數(shù)學 競賽 班 型 入學測試 一試難度 一、 填空題：本大題共 8 小題，每小題 8 分，共 64分 1、 正整數(shù) 500n ，具有如下性質：從集合 1,2, ,500 中任取一個元素 m，則 m 整除 n的概率是 1100 ，則 n 的最大值是 . 2、 數(shù)列 0 1 2,a a a ， ， 滿足：01 13 , nn na a a a （ na與 na 分別表示 na 的整數(shù)部分和小數(shù)部分），則 2014a . 3、 將棱 長為 1的正方體 的八個頂點按紅、藍間隔染色，使得每條棱上的兩頂點不同色；那么，由紅色頂點連成的四面體與由藍色頂點連成的四面體的公共部分的體積是 4、 設偶函數(shù) fx滿足： 12f ，且當 0xy 時， 22 f x f yf x yf x f y ，則 5f 5、 zyx , 是 不 同 的 正 整 數(shù) ， 若 )2(,)1(, 222 nnnxzzyyx ，則222 zyx 的最小值是 _ 6、 如果 2 12|c o ss in| qp 對于任意的 2,0 恒成立，則 qp = . 7、 四棱錐 P ABCD 的底面 ABCD 是頂角為 060 的菱形，側面與底面的夾角都為 060 ，棱錐內(nèi)有一點到底面及各側面的距離皆為 1，則棱錐的體積為 8、 橢圓 22 1 0xy abab 的中心，右焦點，右頂點，右準線與 x 軸的交點依次為, , ,OFGH ，則 FGOH 的最大值為 . 清北學堂集中培訓課程 入學測試 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 二、 解答題：本大題共 3 個小題，共 56 分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 9、（ 16 分 ） 給定圓 P： 222x y x及拋物線 S： 2 4yx ，過圓心 P 作直線 l ，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次記為 , , ,ABCD ，如果線段 ,ABBCCD 的長按此順序構成一個等差數(shù)列，求直線 l 的方程 . 10、（ 20 分 ） 已知函數(shù) )(nf 是定義在 N 上的嚴格增函數(shù)，其值域也在 N 之中，且滿足nnff 3)( .求 (2014)f 11、 （ 20 分 ） 各項均為正數(shù)的數(shù)列 na ， 12,a a a b，且對滿足 m n p q 的正整數(shù), , ,mnpq 都有 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a （ 1）當 14,25ab時，求通項 ；na （ 2）證明：對任意 a ，存在與 a 有關的常數(shù) ，使得對于每個正整數(shù)對于每個正整數(shù) n ，都有 1 .na 清北學堂集中培訓課程 入學測試 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 加試難度 一、（本題滿分 40 分） P 為銳角 ABC 內(nèi)一點，直線 al 和 PA 關于 A 的角平分線對稱，直線 bl 和 PB 關于 B 的角平分線對稱， 直線 cl 和 PC 關于 C 的角平分線對稱， 1 證明,a b cl l l 三線交于一點 Q ； 2 若 P 在三條邊 ,BCCAAB 上的投影分別為 ,DEF ，證明 P為 DEF 的重心的充分必要條件是 Q 為 ABC 的重心。 二、（ 本題滿分 40 分）已知 ,xyz 是正實數(shù)， 證明2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 4x y y z zxx y z x y z x y z 。 三、（ 本題滿分 50 分） 求不定方程 n14 +n24 +n134 = 2014的所有非負整數(shù)解。 四、（ 本題滿分 50 分） 設正八邊形 P 的所有頂點和對角線的交點的集合為 M ，所有邊和對角線上兩個端點屬于