北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《等比數(shù)列的綜合應(yīng)用》 .doc

第4課時(shí)等比數(shù)列的綜合應(yīng)用知能目標(biāo)解讀1.進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式.2.掌握數(shù)列求和的常用方法錯(cuò)位相減法.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的理解及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.難點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.方法如下：設(shè)sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,當(dāng)q=1時(shí)，bn是常數(shù)列，sn=b1(a1+a2+a3+an)= ;當(dāng)q1時(shí)，則qsn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以sn-qsn=(1-q)sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d-anbn+1,所以sn=.知能自主梳理1.在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sn=中，如果令a=，那么sn=.2.若sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且sn=aqn-a(a0， q0且q1)，則數(shù)列an是.3.在等比數(shù)列an中，sn為其前n項(xiàng)和.(1)當(dāng)q=-1且k為偶數(shù)時(shí)，sk,s2k-sk，s3k-s2k (kn+);(2)當(dāng)q-1或k為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列sk，s2k-sk，s3k-s2k (kn+).答案1. aqn-a2.等比數(shù)列3.不是等比數(shù)列是等比數(shù)列思路方法技巧命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)等比數(shù)列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比數(shù)列bn中，b4=3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；(3)在等比數(shù)列an中，a2=-2，a5=54，求a8.分析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積等于首末兩項(xiàng)的積，與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七項(xiàng)之積為(32) 33=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5=54=-1458.解法二：a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，542=a8(-2).a8=-1458.說(shuō)明本題的求解，主要應(yīng)用了等比數(shù)列的性質(zhì)，若m,n,k,ln+且m+n=k+l，則aman=akal.由此可見(jiàn)，在等比數(shù)列問(wèn)題中，合理應(yīng)用性質(zhì)，可使解法簡(jiǎn)捷.變式應(yīng)用1已知an是等比數(shù)列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4a7=a1a10,a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84, ，或a7=3 a7=81q=或q=3.a11=3q4=3（）4=或a11=8134=6561.命題方向與前n項(xiàng)和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題例2各項(xiàng)都是正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an，前n項(xiàng)的和記為sn,若s10=10,s30=70,則s40等于（）a.150b.-200c.150或-200d.400或-50答案a分析本題思路較為廣泛，可以運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程，確定基本量a1,q后求解，也可以應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.解析解法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q，由題意知q1. =10由 ，=70由以上兩式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10，s40=-10(-15)=150.解法二：易知q1，由s10,s20-s10,s30-s20,s40-s30成公比為q10的等比數(shù)列,則s30=s10+(s20-s10)+(s30-s20)=s10+q10s10+q20s10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），s40=s10+(s20-s10)+(s30-s20)+(s40-s30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：運(yùn)用性質(zhì)sm+n=sm+qmsn求解，s30=s20+q20s10=s10+q10s10+q20s10從而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).s40=s30+q30s10=70+810=150.解法四：易知q1,=，q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以s40=150.說(shuō)明在與等比數(shù)列的和有關(guān)的問(wèn)題中，合理應(yīng)用和的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題的解法二運(yùn)用了當(dāng)q-1時(shí)，數(shù)列sm，s2m-sm,s3m-s2m,仍成等比數(shù)列，公比為qm，解法三運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)：sm+n=sm+qmsn，解法四運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)q1時(shí)，=.變式應(yīng)用2等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若s5=10,s10=20,則s15等于.答案30解析an為等比數(shù)列，s5，s10-s5，s15-s10成等比數(shù)列，（s10-s5）2=s5（s15-s10），即100=10（s15-20），解得s15=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和例3求數(shù)列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n項(xiàng)和（a0）.分析由題設(shè)可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)an-1,數(shù)列的每一項(xiàng)可分成兩個(gè)因式，前一個(gè)因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一個(gè)因式可構(gòu)成等比數(shù)列，故可選用錯(cuò)位相減法求和.解析當(dāng)a=1時(shí)，sn=1+3+5+(2n-1)= =n2.當(dāng)a1時(shí)，有sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,asn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,sn-asn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,sn=+.說(shuō)明一般來(lái)說(shuō)，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,則求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.變式應(yīng)用3求數(shù)列n2n的前n項(xiàng)和sn.解析sn=121+222+323+n2n2sn=122+223+（n-1）2n+n2n+1 -得-sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,sn=(n-1)2n+1+2.名師辨誤做答例4若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn=an-1（a0），則數(shù)列an是（）a.等比數(shù)列b.等差數(shù)列c.可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列d.可能是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列誤解a由sn=an-1，得an=(a-1)an-1，則有=a-1(常數(shù))，故選a.辨析錯(cuò)誤的原因在于：當(dāng)a=1時(shí)，an=0，an是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，這是沒(méi)有理解等比數(shù)列中an0而造成的.正解c由sn=an-1,得an=(a-1)an-1.當(dāng)a=1時(shí)，an=0,數(shù)列an為等差數(shù)列；當(dāng)a1時(shí)，=a-1,(不為零的常數(shù))，則數(shù)列an為等比數(shù)列，故選c.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.（2011遼寧文，5）若等比數(shù)列an滿(mǎn)足anan+116n，則公比為（）a.2b.4c.8d.16答案b解析本題考查了靈活利用數(shù)列的特點(diǎn)來(lái)解題的能力.anan+1=16n,an-1an=16n-1=q2=16q=4.2.在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,則a1+a2+a3+a4+a5的值是（）a.1061b.1023c.1024d.268答案b解析由題意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3.在等比數(shù)列an中，a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5，則m=（）a.9b.10c.11d.12答案c解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,m-1=10,m=11.二、填空題4.若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n+1+r,則r的值為.答案-2解析解法一：a1=s1=4+r,a2=s2-s1=8+r-4-r=4,a3=s3-s2=16+r-8-r=8,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,16=8(4+r),r=-2.解法二：sn=2n+1+r=22n+r,數(shù)列an為等比數(shù)列，sn=aqn-a=22n+r,r=-2.5.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為sn,若sn+1,sn,sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.答案-2解析sn+1,sn,sn+2成等差數(shù)列，2sn=sn+1+sn+2(sn+1-sn)+(sn+2-sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答題6.（2011重慶文，16）設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和sn.分析（1）問(wèn)設(shè)出公比q，由已知建立有關(guān)q的方程，求出公比q，寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）甲分組求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得sn.解析（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，q=2an=a1qn-1=22n-1=2n（2）數(shù)列bn=1+2(n-1)=2n-1sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.點(diǎn)評(píng)此題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比數(shù)列的公比為正數(shù)，此題屬基礎(chǔ)保分題.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知等比數(shù)列an中，an=23n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）a.3n-1b.3(3n-1)c. (9n-1)d. (9n-1)答案d解析a2=6,q=9,sn= (9n-1).2.(2010遼寧文)設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3s3=a4-2,3s2=a3-2,則公比q=（）a.3b.4c.5d.6答案b解析3s3=a4-2,3s2=a3-2,3s3-3s2=a4-a3,3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=4.3.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n-1+a,則a的值為（）a.- b.- c. d. 答案b解析sn=2n-1+a=2n+a,又sn=aqn-a,a=-.4.等比數(shù)列an的公比為，且s3=1,則s6等于（）a. b. c. d. 答案b解析q=,s3=2a1（1-）=a1=1,a1=.s6=（1-）=.5.數(shù)列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n-1的前n項(xiàng)和sn1020,那么n的最小值是（）a.7b.8c.9d.10答案d解析因?yàn)?+2+22+2n-1=2n-1,所以sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-21020,所以n的最小值為10.6.已知等比數(shù)列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,則a1+a2+a3+a100=（）a.100b.90c.120d.30答案b解析a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=6030a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,c（）a.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列b.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列c.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列d.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案a解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a2c=36=(2b) 2,a+c=2b,故選a.8.（2011四川文，9）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a1=1,an+1=3sn(n1),則a6=（）a.344b.344+1c.45d.45+1答案a解析該題考查已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和sn與an+1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式an.注意的問(wèn)題是用an=sn-sn-1時(shí)(n2)的條件.an+1=3snan=3sn-1-得an+1-an=3sn-3sn-1=3an即an+1=4an=4.(n2)當(dāng)n=2時(shí)，a2=3a1=3,=3=4an為從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，且公比q=4,a6=a2q4=344.二、填空題9.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn=3n+1+m,則a1=.答案6解析a1=s1=9+m,a2=s2-s1=27+m-9-m=18,a3=s3-s2=81+m-27-m=54,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,182=54(9+m)，解得m=-3.a1=9+m=6.10.實(shí)數(shù)，1，成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)a2,1,c2成等比數(shù)列，則=.答案1或- +=2 ac=1 ac=-1解析由條件 ，得 或 ，a2c2=1 a+c=2 a+c=-2=1或-.11.已知an是公比為q(q1)的等比數(shù)列，an0,m=a5+a6,k=a4+a7,則m與k的大小關(guān)系是.答案mk解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)a4(1-q2)=-a4(1+q)(1-q) 20).mk.12.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn(nn+)，關(guān)于數(shù)列an有下列三個(gè)命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+1 (nn+);若sn=an2+bn(a、br)，則an是等差數(shù)列；若sn=1-(-1) n，則an是等比數(shù)列.這些命題中，正確命題的序號(hào)是.答案解析對(duì)于命題，易知它是各項(xiàng)不為零的常數(shù)數(shù)列，有an=an+1.對(duì)于命題，由sn=an2+bn(a、br)得an=b+a+(n-1)2a，當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式.an為等差數(shù)列.對(duì)于命題，由sn=1- (-1) n得an=2(-1) n-1，當(dāng)n=1時(shí)也適合上式.故an為等比數(shù)列.三、解答題13.(2011新課標(biāo)文，17)已知等比數(shù)列an中，a1=，公比q=.(1)sn為an的前n項(xiàng)和，證明：sn=；(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.分析第一問(wèn)先利用等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式求出an，sn,再證明sn=,第二問(wèn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.解析(1)因?yàn)閍n=（）n-1=,sn=，所以sn=.(2)bn=log3a1+log3a2