2014年國慶自主招生高三理科班型（數(shù)學(xué)+物理）入學(xué)測試答案及課程建議

2014 年國慶自主招生高三理科班型 入學(xué)測試 答案及課程建議 試卷說明 本測試與 2014 年自主招生真題難度相當(dāng)。 本測試用于學(xué)生對水平進行提前自我評估。如有學(xué)員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進行評閱并進行個性化分析。 （ 2014 年 國慶 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-3 2014-9-10 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學(xué)競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年國慶自主招生高三理科班型 入學(xué)測試 答案 數(shù)學(xué)部分 一、 選擇題（每題 6 分，共 48 分） 1、設(shè) ()是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 0時， () = 2，若對任意的 , +2，不等式 ( +) 2()恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ） A.2,+ B.2,10,2 C.2,+ D.(0,2 【清北解析】 本題用推演法求解，將參數(shù)的取值范圍問題利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題。 設(shè) 0， () = ()2 = 2，又 ()為奇函數(shù)，故 () = 2( 45 B.18 4 +5 D.18 = 45 【清北解析】 本題用特例法求解。 依題，可取 1 = 1,2 = 2,8 = 8。 18 = 8,45 = 20，所以 18 45。故選 B。 3、若 (2 3)2 = 0 +1 +22 +33 +44 +55，則 1 +22 +33 +44 +55 =（ ） A.-10 B.-5 C.5 D.10 【清北解析】 本題用特殊函數(shù)法求解。 (2 3)5 = 10(2 3)4 = 1 +22 +332 +443 +554 ，令 = 1 得，1 +22 +33 +44 +55 = 10。故選 B。 4、設(shè)函數(shù) ()的定義域為 -2,4，則 (2)的定義域為（ ） A.-2,4 B.-2,2 C.-2,2 D.4,16 【清北解析】 本題考查函數(shù)的基本概念，并不困難，需要考生對基本概念有所掌握。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 抽象函數(shù)求定義域指的是自變量的取值范圍，且在同一對應(yīng)法則 下括號內(nèi)取值范圍相同。 2 2 4 2 2。故選 C。 5、已知定義在 R 上的奇函數(shù) ()滿足 ( +2) = ()，則 (6)的值為（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【清北解析】 本題考查函數(shù)的周期性問題，此類題除零以外無法得到其它函數(shù)值，答案多為零。 ( +2) = () ( +4) = ( +2) () = ( +4) = 4。又對于奇函數(shù)，(0) = 0，所以 (6) = (2) = (0) = 0。故選 B。 6、已知函數(shù) = 1 + +3的最大值為 M，最小值為 m，則 的值為（ ） A.1/4 B.1/2 C.2/2 D.3/2 【清北解析】 本題考查函數(shù)的極值問題。 確定函數(shù)的值域，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，為 3 1。將原函數(shù)平方處理的2 = 4+22 2 +3。令 () = 2 2 +3， 3 1時， ()單調(diào)遞增，1 1， ()單調(diào)遞減。所以 ()的最大值和最小值可以確定為 4 和 0。因此， = 22， = 2。故選 C。 7、（ 2013 北約） 復(fù)數(shù) A 、 B 、 C 的模都等于 1，且 0A B C ，則復(fù)數(shù) AB BC CAA B C的模等于 A.1/2 B.1 C.3 D.不確定 【清北解析】 1AA BB CC ， 則 +C C A B A A B C B B C A A B CABCA B C A B C ，模為 1。 8、（ 2013 北約） 在 66 棋盤上放 3 個完全相同的紅色的車和 3 個完全相同的黑色的車，若這 6 個車不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有 種 A.720 B.518400 C.20 D.14400 【清北解析】 考慮 6 個棋子均不相同，則不同行且不同列的方法共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 ，考慮棋子有兩種顏色，且相同顏色的棋子完全相同，則放法有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 144003 ! 3 ! 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 二、 解答題 9、（ 17 分） 函數(shù) f(x) 對任意 xR 都有 1( ) 1( 2)fx fx ， 若 (1 ) 5 1 ( 7 4 ) ( )nf , f n N 求 的 值。 【清北解析】 由 ()fx= 11( 2)fx 得 1( 2) 1 ( )fx fx， 1( 4)1 ( 2)fx fx= 111 1 ( )fx = 11()fx ， 1 1 ( ) 1( 8 ) 1 111 ( 4) ( ) 1 1 ( )1()fxfx f x f x f xfx ， ( 2) ( 8)f x f x ，故有 ( ) ( 6)f x f x， 這說明 ()fx是 R上的周期函數(shù)，且 6 是 ()fx的一個周期。 利用二項式定理可以證明 7 +4能被 6 除余 5， (7 4) (5)nff 而 1( 5 ) (1 4 ) 1 , (1 ) 5 1(1)f f ff ， 35(5)4f 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 10、（ 16 分） 設(shè)如圖，是一人出差從 A 城到 B 城去，沿途可能經(jīng)過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時間標在兩城市的連線上（單位：時）。試求此人從城 A 到城 B 所需時間的最小值。 【清北解析】 記各城市至 B 城所需時間最短的時數(shù)為 S(x),x 為城市記號，則 12( ) 12 , ( ) 18,S E S E 11( ) 17 ( ) 29,S D S E 2 1 2( ) m i n 1 0 ( ) , 5 ( ) 2 2 ,S D S E S E 32( ) 9 ( ) 27,S D S E 1 1 2( ) m i n 6 ( ) , 1 3 ( ) 3 5 ,S C S D S D 2 2 3( ) m i n 1 1 ( ) , 7 ( ) 3 3 ,S C S D S D 12( ) m i n 1 4 ( ) , 1 5 ( ) 4 8 .S A S C S C 所以最短路徑為 2 2 1A C D E B, ，共需時間 48 小時。 AB2C151C1D3D2D2E1E146131175917121810清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 11、（ 19 分） 設(shè) 0k ，在直線 y kx 與 y kx 上分別取點 ,AAAx y 與 ,BBB x y ，使0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐標原點記 AB 中點 M 的軌跡為 C 求 C 的方程； 若拋物線 2 2x py （ 0p ）與 C 在兩點相切，證明：兩個切點分別在兩條定直線上，并求在這兩切點處的切線方程 【清北解析】 （ 1） M 為 AB 中點 ，設(shè)其坐標為 (, )xy ，則 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx ，可得 1ABxx 。 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 為 222 1yx k，可知曲線 C 為雙曲線。 （ 2） 聯(lián)立方程組 22 2212yxkx py 得 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由雙曲線與拋物線相切得到二次方程的判別式 22440p k ，故 1kp 。 由方程 22 2 1 0p y py 得到兩切點坐標為 1( 2, )p。 由此可知當(dāng) p 的值發(fā)生變化時，兩切點的橫坐標不變，故可得 兩個切點分別在兩條定直線 2x 和 2x 上。 拋物線 2 2x py 在兩切點的導(dǎo)數(shù)值分別為 2p和 2p，可求得兩切線方程為 21( 2 )yxpp 和 21( 2 )yxpp 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 物理部分 三、 選擇題（每題 6 分，共 42 分） 1、 如圖 ，光滑水平面上有質(zhì)量為 M 的物塊 a，左端與一個固定在墻上的彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)為 k , 物塊 a 上面有質(zhì)量為 m 的物塊 b， ab 之間的最大靜摩擦力為 f0。 現(xiàn)用以水平力緩慢向左推動物塊 a，使彈簧壓縮 若在撤去此力后物塊 b 與 a 沒有相對運動，彈簧壓縮的最大距離為 （ ） A. 0Mfmk B. 0(M m)fmk C. 0Mf(M m)k D. 0mf(M m)k 【清北解析】 a 和 b 沒有相對運動，可將二者看做一個整體 設(shè)彈簧壓縮的最大距離為 L，則二者可獲得的最大加速度為 kLmM此時 b 只受到 a 給它的摩擦力 f0，故 b 的加速度等于0fm，而 a 與b 之間沒有相對運動，故0f kLm m M 得0(M m)fL mk，選 B 2、如圖， 在 xOy 平面內(nèi)有一列沿 x 軸傳播的簡諧橫波，頻率為2.5Hz在 t=0 時， P 點位于平衡位置，且速度方向向下， Q 點位于平衡位置下方的最大位移處 則在 t=0.35s 時， PQ 兩質(zhì)點的（ ） A. 位移大小相等，方向相反 B. 速度大小相等，方向相同 C. 速度大小相等，方向相反 D. 加速度大小相等，方向相反 【清北解析】 由頻率解得周期 1 04T / f . s，根據(jù) t=0 時刻 PQ 的波動圖像得波沿 x 正方向傳播 經(jīng)過 0.35s 即 7/8 個周期時，波形與8t T/ 時波形相同 由圖易知 ，此時 PQ 兩點位移大小相等，方向相反 ；相應(yīng)的加速度也是大小相等，方向相反 ；速度大小相等，方向均向下 故選擇 ABD 3、 如圖， 用等長絕緣線分別懸掛兩個質(zhì)量 電量都相同的小球 A 和 B，兩線上端固定于 O 點， B 球固定在 O 點正下方 當(dāng) A 球靜止時，兩懸線夾角為 能保持夾角 不變的方法是 （ ） A. 同時使兩懸線長度減半 B. 同時使 A 球的質(zhì)量和電量都減半 C. 同時使兩球的質(zhì)量和電量都減半 D. 同時使兩懸線長度和兩球的電量都減半 a b清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 【清北解析】 本題綜合考查受力分析及庫侖定律 由于 B 球下方為固定端 ， 不能確定受力方向 ， 因此無法判斷其庫侖力方向 ， 則首先對 A 球進行受力分析 如 圖 所示 ， A 球受到 3 個力作用而保持平衡 ， 重力 G= 1mg， 庫侖力1 2 1 2222q kq q kq qF r ( l sin )， 而由qF G F可知 ， 絕緣線的拉力 FG ， 則22qF F sin G sin， 因此有 2 12 22 kq m g sin( l sin ) 題中要求夾角 不變 ，則有12 12 22kqq mg( l) ， 選項 A 為 2l l/ ， 等式不成立 ， 因此不正確 ；選項B 為 1 1 1 122q q / ,m m /， 則等式成立 ， 選 B； 選項 C 為1 1 2 2 1 12 2 2 q q / q q / m m / ， ， 等式不成立 ， 因此不正確 ；選項 D 為1 1 2 222q q / q q /， ，2l l/ ， 則等式成立 ， 選 D因此本題答案為 BD 4、 關(guān)于物體的內(nèi)能，下列說法中正確的是 ( ) A. 1g 0 水的內(nèi)能比 1g 0 冰的內(nèi)能大 B. 電流通過電阻后電阻發(fā)熱 ， 它的內(nèi)能增加是通過 “熱傳遞 ”方式實現(xiàn)的 C. 氣體膨脹 ， 它的內(nèi)能一定減少 D. 橡皮筋被拉伸時 ， 分子間勢能增加 【清北解析】 0 的冰變成水吸熱，分子平均動能未變，但吸熱增加了分子勢能 氣體膨脹雖對外做功，但溫度怎么變化未知，故內(nèi)能變化未知 橡皮筋被拉伸時克服引力做功，分子勢能增加，選 AD 5、如圖所示， 當(dāng)滑動變阻器的滑動觸頭 P 向右移動時 .三個燈泡亮度的變化情況是 （ ） A. L1 變亮， L2 和 L3 皆變暗 B. L1 變亮， L2 不能確定， L3 變暗 C. L1 變暗， L2 變亮， L3也變亮 D. L1 變亮， L2 變亮， L3變暗 【清北解析】 電路中任一局部發(fā)生變化 ， 將引起各處的電流和電壓的變化 判斷這類問題 ， 可以先從局部的變化推出總電流 路端電壓的變化 ， 再根據(jù)串 并聯(lián)電路的特點以及部分電路歐姆定律作出相應(yīng)的判斷 當(dāng) P 向右移動時 ， 滑動變阻器的電阻減小 ， 則總電阻減小 ， 總電流增大 ， 內(nèi)電壓增大 ，路端電壓減小 ， 所以 L3變亮 ；因為 U3變大 ， 且路端電壓變小 ， 所以 L1 變暗 ；總電流變大 ， 又I1 變小的 ， 所以 L2 的電流增大 ， L2 變亮 因此 ， 本題的正確選項應(yīng)為 C。 6、 邊長為 10cm 的正方形木塊 (密度為 305. g/cm )浮在有水的杯中 ， 杯的橫截面積為 2200cm ，平衡時杯內(nèi)水深 10cm， g 取 210/ms ， 用力使木塊慢慢沉到杯底 ， 外力所做的功的焦耳數(shù)是（ ） A.1/4 B.1/8 C.3/16 D.3/10 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 【清北解析】 設(shè)木塊沉到杯底時水深為 x ， 由 1 0 2 0 0 1 0 1 0 5 2 0 0 1 0 1 0 1 0x ， 解得 125cmx. 施加的外力與位移關(guān)系 如圖 所示 ， 其中 3 3 62 1 0 1 0 1 0 1 0 2 5F g V / / N N 故 25 2 5 2 5 2 5 1 0 0 1 8 7 5FW ( . / . ) . J 故 答案 為 C。 7、 剛性細直棒長為 2l，質(zhì)量不計，其一端 O 用光滑鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細棒的中點固定一個質(zhì)量為 4m 的小球 A，在細棒的另一端固定一個質(zhì)量為 m 的小球 B將棒置于水平位置由靜止開始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)作無摩擦的轉(zhuǎn)動，則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置的過程中 （ ） A. 系統(tǒng)的機械能守恒 B. 棒對 AB 兩球都不做功 C. A 球通過棒對 B 球做正功 D. B 球通過棒對 A 球做正功 【清北解析】 設(shè)棒轉(zhuǎn)過 90時 B 所在平面為零勢能面 系統(tǒng)從水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置的過程中 ， 由機械能守恒得 2211m 4 m242 22 2BB vvmg l l mg l () 解得 2 6gBvl ， 單獨 考慮球 B21g 2 W m2 Blv得 W mgl ， 故選 AC 四、 解答題 8、（ 7 分） 每逢佳節(jié)的夜晚 ， 一串串煙火凌空爆發(fā) ， 展現(xiàn)出一幅幅色彩艷麗的圖像 燃放煙花時往往先看到一個火球迅速 “膨脹 ”， 而后 “膨脹 ”減緩并慢慢散落下來 為什么爆發(fā)的煙花呈現(xiàn)球狀呢 ?請對此現(xiàn)象進行分析 【清北解析】 煙花爆發(fā)后 ,向四面八方各個方向的速度大小可以認為是相等的 ， 同時由于有重力的作用都有向下的重力加速度 ， 故在已向下加速度為 g 的參考系中看 (短時間內(nèi)下落距離很小 ，背景又暗 )， 煙火向各個方向勻速運動 ， 所以在短時間內(nèi)看到一個光球迅速 “膨脹 ”， 一段時間后回到地面參考系中看必然又會慢慢散落下來 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 9、（ 11 分） 在升降機的天花板上固定一擺長為 l 的單擺，當(dāng)升降機靜止時，讓擺球從 0 角度處擺下，試分析 (1)當(dāng)擺球擺到最高點時 ,升降機以加速度 g 下落 ,擺球相對于升降機作何運動 ? (2)當(dāng)擺球擺動到最低點時 ,升降機以加速度 g 下落 ,擺球相對于升降機作何運動 ? (3)若升降機以加速度 g 加速上升，則擺球相對于升降機作何運動 ? 【清北解析】 (1)擺球靜止不動 (2)擺球?qū)⒆鲃蛩賵A周運動，碰到天花板后反彈再做勻速圓周運動，以后重復(fù) (3)等效重力加速度為 2g，故擺球做周期 2 2lT g 的簡諧運動 10、（ 20 分） “頓牟綴芥 ”是兩千多年前我國古人對摩擦起電現(xiàn)象的觀察記錄，經(jīng)摩擦后帶電的琥珀能吸起小物體現(xiàn)用下述模型分析探究 如圖所示 在某處固定一個電荷量為 Q 的點電荷，在其正下方 h 處有一個原子在點電荷產(chǎn)生的電場（場強為 E ）作用下，原子的負電荷中心與正電荷中心會分開很小的距離 l ，形成電偶極子描述電偶極子特征的物理量稱為電偶極矩 p ， p ql ，這里 q 為原子核的電荷實驗顯示， pE ， 為原子的極化系數(shù)，反映其極化的難易程度被極化的原子與點電荷之間產(chǎn)生作用力 F 在一定條件下，原子會被點電荷 “綴 ”上去 （ 1） F 是吸引力還是排斥力？簡要說明理由； （ 2） 若固定點電荷的電荷量增加一倍，力 F 如何變化，即求 2FQFQ的值； （ 3） 若原子與點電荷間的距離減小一半，力 F 如何變化，即求 2hFFh的值 。 【清北解析】 此題為信息給予題，提供了 電偶極矩的定義式。使用小量近似處理方法推導(dǎo)點電荷對電偶極子的電場力是此題的關(guān)鍵。 （ 1） F 為吸引力 理由：當(dāng)原子極化時，與 Q 異性的電荷移向 Q ，而與 Q 同性的電荷被排斥而遠離 Q 這樣異性電荷之間的吸引力大于同性電荷的排斥力，總的效果是吸引 設(shè)電荷 Q 帶正電電荷 Q 與分離開距離 l 的一對異性電荷間的總作用力為 2222kQ q kQ qFllhh 22224hlkQqlh3322kQql kQphh 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程入學(xué)測試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 這里014k ，而 p ql 為原子極化形成的電偶極矩，式中負號表示吸引力 實驗顯示， pE ，而電荷 Q 在離它 h 處的原子所在地產(chǎn)生的電場大小為； 2kQE h 于是，電荷 Q 與極化原子之間的作用力為 : 2252 kQF h 它正比于固定電荷的平方，反比于距離的五次方，因此不管電荷 Q 的符號，均產(chǎn)生吸引力；電荷增加一倍，力變?yōu)?4 倍；距離縮短一半，則力變?yōu)?32 倍 （ 2） 2 4FQFQ （ 3） 52 2 32hFFh 11、（ 20 分） 固定在豎直平面內(nèi)的一個半圓形光滑軌道 ， 半圓軌道半徑為 R， 軌道兩端在同一水平高度上 ， 其中一段有一小定滑輪 (其大小可忽略 )， 兩小物體質(zhì)量分別為 1m 和 2m ， 用輕細繩跨過滑輪連接在一起 ， 如 圖 所示 ， 若要求小物體 1m 從光滑半圓軌道上端沿軌道由靜止開始下滑 ， 問 ： (1) 1m 滿足什么條件可以使它下滑到軌道最低點 C? (2) 1m 下滑到 C 點時速度為多大 ? 【清北解析】 小物體 1m 沿軌道下滑時 ， 2m 將豎直向上運動 ， 由于 1m 做圓周運動 ， 2m 做直線運動 ， 因此