數(shù)學(xué)建模炮彈射擊問題.doc

問題2：射擊問題作者： 摘要 本文就兩種不同的情況，建立了兩個炮彈的模型，利用了矢量分析和畫圖的方法求解得出了一致結(jié)果即最大射程和最佳發(fā)射角。 在模型一、二中，我們建立了炮彈發(fā)射的理想化的模型，用matlab軟件，分析得到：時，最大射程為，最佳發(fā)射角為；時，最大射程為，最佳發(fā)射角度為 問題重述設(shè)炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射初速度為，試研究：當(dāng)炮彈在高度為h時的最大射程和最佳發(fā)射角。考慮到炮彈發(fā)射時應(yīng)滿足以下條件：1、 發(fā)射角度最佳；2、 射程最大；3、 離地高度一定；由此我們?nèi)菀紫氲接脙?yōu)化理論解決問題。 題目假設(shè)1、本題以中國解放軍裝備的93式60毫米遠(yuǎn)射程迫擊炮為研究對象。據(jù)查相關(guān)資料【1】，中國解放軍93式60毫米遠(yuǎn)射程迫擊炮最大初速：329米/秒；最大射程：5564米；高低射界：45度-85度；圓周射界：360度。 2、炮彈發(fā)射時，是以炮彈在不同高度的最大射程和最佳發(fā)射角進(jìn)行發(fā)射； 3、在考慮不同高度發(fā)射時，發(fā)射角、發(fā)射程與初速度之間的關(guān)系一一對應(yīng)的； 4、假設(shè)炮彈發(fā)射時空氣阻力與推力相互抵消。 變量說明 模型建立與求解模型一：研究 根據(jù)炮彈斜拋運(yùn)動的規(guī)律： 炮彈斜上拋的仰角為，拋出的初速度為。我們先將正交分解為水平分速度和豎直分速度。根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系可以得出： 若把它看作是可忽略空氣影響的“理想拋體【2】”，則根據(jù)運(yùn)動分解的理論可知：斜上拋物體水平方向不受力，應(yīng)作勻速直線運(yùn)動，其速度為，其位移方程應(yīng)為： (1) 斜上拋物體豎直方向受向下的重力，與豎直向上的初速度的方向相反，應(yīng)作豎直上拋運(yùn)動，其位移方程應(yīng)為： (2)由上列的(1)式可以導(dǎo)出： (3)將(3)式代入(2)式： 導(dǎo)出： （4）這里稱導(dǎo)出的(4)式為“斜上拋物體運(yùn)動的軌道方程”。 “射程”是斜上拋物體運(yùn)動的最大水平位移。因?yàn)樾鄙蠏伵趶検窃谒矫嫔习l(fā)射的，所以它的拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上（這實(shí)際上是日常最常見的斜上拋情況），也就是說物體在豎直方向的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位移。 因此我們將代入前面導(dǎo)出的(4)式（即“軌道方程”），就可推導(dǎo)出最大水平位移（即“射程”）： (5)將(5)式兩邊約去 可得： (6)根據(jù)數(shù)學(xué)中的“三角學(xué)3”知識我們知道： (7)將(7)式代入(6)式： (8)若以表示“射程”（即最大水平位移） 則 （9）我們稱(9)式為斜上拋物體運(yùn)動的“射程公式”。現(xiàn)在我們根據(jù)“射程公式”討論前面所提出的問題：當(dāng)V0不變時，以多大的仰角斜上拋出的物體射程最遠(yuǎn)？據(jù)射程公式： 可以看出是常量，若不變，則決定大小的因素就只有的數(shù)值了。 用matlab軟件繪圖4，觀察其解：程序如下：a=0:0.1:pis=3292*sin(2*a)/9.8plot(a,s)Grid on則s最大時： 即： 當(dāng)拋物的初速度不變時，以 的仰角斜上拋出的物體射程最遠(yuǎn)。模型二：我們先將初速度V0進(jìn)行水平、豎直兩個方向的正交分解（如圖所示）為與之間的夾角： 再接斜下拋物體的運(yùn)動分解為：水平方向的勻速直線運(yùn)動；豎直方向的豎直下拋運(yùn)動。它們的運(yùn)動方程如下： ；（1） ； （2）將已知量代入豎直方向運(yùn)動方程(2)中： ；（3）又因?yàn)橛赡Ｐ鸵恢溃?；（4）由（1）知；（5）；（6）；即水平射程是：；令；所以對其求導(dǎo)，關(guān)于的方程： 令即即即又由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng) ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；即在時，S最大。 結(jié)果分析| 當(dāng)高度為h=0時， , 水平方向?yàn)榫嚯x靠角度來控制 ，要使盡可能的遠(yuǎn)， 則要保證拋射角為 | 當(dāng)高度為h0時： 可以通過此公式來計算水平位移 其中；小結(jié) 要控制炮彈的射程，在高度和速度一定時，可以通過控制角度來控制射程只要不超過最大射程，也就是說在炮彈任意射程以內(nèi)都可以打到。參考文獻(xiàn)1中國鐵血網(wǎng)(/post2_4834848_1.html)2普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修2 人民教育出版社3普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4