張齊華教學案例《圓的認識》.doc

圓的認識教學案例及反思 作者：張齊華 背景分析張齊華圓的認識課堂實錄及相關(guān)整理 “圓的認識”一課選自小學數(shù)學教材第11冊，是在學生認識了長方形、正方形、三角形等多種平面圖形的基礎(chǔ)上展開，也是小學階段認識的最后一種常見的平面圖形。教材的編排思路是先借助實物揭示出“圓”，讓學生感受到圓與現(xiàn)實的密切聯(lián)系，再引導學生借助“實物”、“圓規(guī)”等多種方式畫圓，初步感受圓的特征，并掌握用圓規(guī)畫圓的方法，在此基礎(chǔ)上，再引導學生通過折一折、畫一畫、量一量等活動，幫助學生認識直徑、半徑、圓心等概念，同時掌握圓的基本特征。這樣的編排，學生對于圓的相關(guān)概念及特征的理解和把握一般都是建立在教師的明確指引和調(diào)控之下，學生相對獨立的探索空間不夠，而與此同時，學生對于圓所內(nèi)涵的文化特性也無從感受、體驗，對于圓在歷史、文化、數(shù)學發(fā)展過程中與人類結(jié)下的不解之緣感受不深。 基于這樣的認識，我試圖對本課的教學思路進行重新調(diào)整：一方面，通過拓展空間，將學生進一步置身于探索者、發(fā)現(xiàn)者的角色，引導學生在認識完圓的一些基本概念后，自主展開對于圓的特征的發(fā)現(xiàn)，并在交流對話中完善相應的認知結(jié)構(gòu)；另一方面，我又借助媒體，將自然、社會、歷史、數(shù)學等各個領(lǐng)域中的“圓”有效整合進本課教學，充分放大圓所內(nèi)涵的文化特性，努力折射“冰冷”圖形背后所散發(fā)的獨特魅力。 想起美國學者澤布羅夫斯基，曾因為“在凝望波濤的時候”而產(chǎn)生了寫作圓的歷史這一迷人著作的沖動，而我一個普通的年輕教師，又是如何想起要在自己的課堂里打破常規(guī)、沖破樊籬，演繹“走進圓的世界”這一多少有些另類的教學案例的呢？如今回想起來，是平靜水面上漾起的一圈圈漣漪？是陽光下朵朵綻放的金色向日葵？是慈母心中那輪永恒的明月？是“長河落日圓”中夕陽下落日的余輝？是偉大思想家墨子筆下“圓，一中同長也”和數(shù)學巨著周髀算經(jīng)中“圓出于方，方出于矩”的召喚？是古老的陰陽太極圖所給予的神秘誘惑？是“沒有規(guī)矩，不成方圓”這一古訓背后的力量？還是西方數(shù)學哲學中“圓是最美的圖形”所帶來的無限誘惑？似乎都是，又不完全是。只是有一種莫明的沖動，一直縈繞心頭，那就是：怎樣讓數(shù)學課堂再厚重些、開闊些、深邃些、美麗些藉此，想到了圓，繼而，便有了“走進圓的世界”這一大膽嘗試。 過程描述 一 師：對于圓，同學們一定不會感到陌生吧？（是）生活中，你們在哪兒見到過圓形？ 生：鐘面上有圓。 生：輪胎上有圓。 生：有些鈕扣也是圓的。 師：今天，張老師也給大家?guī)硪恍?。見過平靜的水面嗎，（見過。）如果我們從上面往下丟進一顆小石子（播放動態(tài)的水紋，并配以石子入水的聲音），你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：（激動地）水紋、水紋、圓（聲音此起彼伏） 師：其實這樣的現(xiàn)象在大自然中隨處可見，讓我們一起來看看。（伴隨著優(yōu)美的音樂，陽光下綻放的向日葵、花叢中五顏六色的鮮花、光折射后形成的美妙光環(huán)、用特殊儀器拍攝到的電磁波、雷達波、月球上的環(huán)形山等畫面一一展現(xiàn)在學生的眼前，見圖）從這些現(xiàn)象中，你同樣找到圓了嗎？ 生：（驚異地，慨嘆地）找到了。 師：有人說，因為有了圓，我們的世界才變得如此美妙而神奇。今天這節(jié)課，就讓我們一起走進圓的世界，去探尋其中的奧秘，好嗎？ 生：（激動地）好！ 二 師：俗話說，“沒有規(guī)矩，不成方圓”。意思是說，如果沒有圓規(guī)，是 生：畫不出圓的。 師：同學們都準備了一把圓規(guī)，你能試著用它在白紙上畫出一個圓嗎？ 生：能。 （學生嘗試用圓規(guī)畫圓，交流，明確圓規(guī)畫圓的基本方法。） 師：可要是真沒有了圓規(guī)，比如在圓規(guī)發(fā)明之前，我們就真畫不出一個圓了嗎？ 生：不可能。 師：今天，每個小組還準備了很多其他的材料。你能利用這些材料，試著畫出一個圓嗎？ 生：能。 （學生以小組為單位，利用手中的工具和材料畫圓。） 師：張老師發(fā)現(xiàn)，每個小組都有了各自精彩的創(chuàng)造。讓我們一起來分享。 生：我們組將圓形的瓶蓋按在白紙上，沿著瓶蓋的外框畫了一個圓。 師：那叫“拷貝不走樣”。（生笑） 生：我們手中的三角板中就有一個圓形窟窿，利用它，很方便地畫出了一個圓。 師：真可謂就地取材，挺好?。ㄐΓ?生：我們組在繩子的一端系一支鉛筆，另一端固定在白紙上，繩子繃緊，將鉛筆繞一圈，也畫出了一個圓。 師：看得出，你們組的創(chuàng)作已經(jīng)初步具備了圓規(guī)的雛形。 生：我們組在繩子的一端系上一塊橡皮，抓住繩子的另一端一甩，也同樣出現(xiàn)了一個圓。 師：盡管這一方法沒有能在白紙上最終“畫”出一個圓，但他們的創(chuàng)造仍然是十分美妙的，不是嗎？（生熱烈鼓掌） 師：可是，既然不用圓規(guī)，我們依然創(chuàng)造出了這么多畫圓的方法，那么俗語中為什么還會有“沒有規(guī)矩，不成方圓”的說法呢？ 生：我想，大概是古時候的人們沒想到這些方法吧？（生笑） 生：我覺得不是這樣，因為，或許一開始，“沒有規(guī)矩，不成方圓”指的是沒有圓規(guī)和“矩”畫不出方和圓，但是流傳到后來，它的意思已經(jīng)發(fā)生了改變，不再僅僅指原來的意思了，而是指很多事情，必須要講究規(guī)矩，遵循章法。（不少同學投以贊許的目光） 師：真沒想到，一條普通的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)過千年流傳，竟逐漸成為我們生活中一條重要的人生準則。當然，同學們能夠利用各自的智慧，成功演繹“沒有規(guī)矩，仍成方圓”，足以說明大家不凡的創(chuàng)造力了。 三 （通過自學，學生認識完半徑、直徑、圓心等概念后。） 師：學到現(xiàn)在，關(guān)于圓，該有的知識我們也探討得差不多了。那你們覺得還有沒有什么值得我們深入地去研究？ 生：有（自信地）。 師：說得好，其實不說別的，就圓心、直徑、半徑，還蘊藏著許多豐富的規(guī)律呢，同學們想不想自己動手來研究研究？（想?。┩瑢W們手中都有圓片、直尺、圓規(guī)等等，這就是咱們的研究工具。待會兒就請同學們動手折一折、量一量、比一比、畫一畫，相信大家一定會有新的發(fā)現(xiàn)。兩點小小的建議：第一，研究過程中，別忘了把你們組的結(jié)論，哪怕是任何細小的發(fā)現(xiàn)都記錄在學習紙上，到時候一起來交流。第二，實在沒啥研究了，別急，老師還為每一小組準備一份研究提示，到時候打開看看，或許對大家的研究會有所幫助。伴隨著優(yōu)美的音樂，學生們以小組為單位，展開研究，并將研究的成果記錄在教師提供的“研究發(fā)現(xiàn)單”上，并在小組內(nèi)先進行交流） 師：光顧著研究也不行，我們還得善于將自己的發(fā)現(xiàn)和大家一起交流、一起分享，你們說是嗎？（是）很多小組都向張老師推薦了他們剛才的研究發(fā)現(xiàn)，張老師從中選擇了一部分。下面，就讓我們一起來分享大家的發(fā)現(xiàn)吧！ 生：我們小組發(fā)現(xiàn)圓有無數(shù)條半徑。 師：能說說你們是怎么發(fā)現(xiàn)的嗎？ 生：我們組是通過折發(fā)現(xiàn)的。把一個圓先對折，再對折、對折，這樣一直對折下去，展開后就會發(fā)現(xiàn)圓上有許許多多的半徑。 生：我們組是通過畫得出這一發(fā)現(xiàn)的。只要你不停地畫，你會在圓里畫出無數(shù)條半徑。 生：我們組沒有折，也沒有畫，而是直接想出來的。 師：噢？能具體說說嗎？ 生：因為連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑，而圓上有無數(shù)個點（邊講邊用手在圓片上指），所以這樣的線段也有無數(shù)條，這不正好說明半徑有無數(shù)條嗎？ 師：看來，各個小組用不同的方法，都得出了同樣的發(fā)現(xiàn)。至少直徑有無數(shù)條，還需不需要再說說理由了？ 生：不需要了，因為道理是一樣的。 師：關(guān)于半徑或直徑，還有哪些新發(fā)現(xiàn)？ 生：我們小組還發(fā)現(xiàn)，所有的半徑或直徑長度都相等。 師：能說說你們的想法嗎？ 生：我們組是通過量發(fā)現(xiàn)的。先在圓里任意畫出幾條半徑，再量一量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們的長度都相等，直徑也是這樣。 生：我們組是折的。將一個圓連續(xù)對折，就會發(fā)現(xiàn)所有的半徑都重合在一起，這就說明所有的半徑都相等。直徑長度相等，道理應該是一樣的。 生：我認為，既然圓心在圓的正中間，那么圓心到圓上任意一點的距離應該都相等，而這同樣也說明了半徑處處都相等。 生：關(guān)于這一發(fā)現(xiàn)，我有一點補充。因為不同的圓，半徑其實是不一樣長的。所以應該加上“在同一圓內(nèi)”，這一發(fā)現(xiàn)才準確。 師：大家覺得他的這一補充怎么樣？ 生：有道理。 師：看來，只有大家互相交流、相互補充，我們才能使自己的發(fā)現(xiàn)更加準確、更加完善。還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？ 生：我們小組通過研究還發(fā)現(xiàn)，在同一個圓里，直徑的長度是半徑的兩倍。 師：你們是怎么發(fā)現(xiàn)的？ 生：我們是動手量出來的。 生：我們是動手折出來的。 生：我們還可以根據(jù)半徑和直徑的意義來想，既然叫“半徑”，自然應該是直徑長度的一半嘍 師：看來，大家的想象力還真豐富。 生：我們組還發(fā)現(xiàn)圓的大小和它的半徑有關(guān)，半徑越長，圓就越大，半徑越短，圓就越小。 師：圓的大小和它的半徑有關(guān)，那它的位置和什么有關(guān)呢？ 生：應該和圓心有關(guān)，圓心定哪兒，圓的位置就在哪兒了。 生：我們組還發(fā)現(xiàn)，圓是世界上最美的圖形。 師：能說說你們是怎樣想的嗎？ 生：生活中，我們到處都能找到圓。如果沒有了圓，我們生活的世界一定會缺乏生機 生：我們生活的世界需要圓，如果沒有了圓，車子就沒法自由的行駛 師：當然，張老師相信，同學們手中一定還有更多精彩的發(fā)現(xiàn)，沒來得及展示。沒關(guān)系，那就請大家下課后將剛才的發(fā)現(xiàn)剪下來，貼到教室后面的數(shù)學角上，讓全班同學一起來交流，一起來分享，好嗎？ 生：好。 四 師：其實，早在二千多年前，我國古代就有了關(guān)于圓的精確記載。墨子在他的著作中這樣描述道：“圓，一中同長也?！彼^一中，就是指一個 生：圓心。 師：那同長又指什么呢？大膽猜猜看。 生：半徑一樣長。 生：直徑一樣長。 師：這一發(fā)現(xiàn)，和剛才大家的發(fā)現(xiàn)怎么樣？ 生：完全一致。 師：更何況，我古代這一發(fā)現(xiàn)要比西方整整早一千多年。聽到這里，同學們感覺如何？ 生：特別的自豪。 生：特別的驕傲。 生：我覺得我國古代的人民非常有智慧。 師：其實，我國古代關(guān)于圓的研究和記載還遠不止這些。老師這兒還搜集到一份資料，周髀算經(jīng)中有這樣一個記載，說“圓出于方，方出于矩”，所謂圓出于方，就是說最初的圓形并不是用現(xiàn)在的這種圓規(guī)畫出來的，而是由正方形不斷地切割而來的（動畫演示：圓向方的漸變過程，如圖）?，F(xiàn)在，如果告訴你正方形的邊長是6厘米，你能獲得關(guān)于圓的哪些信息？ 生：圓的直徑是6厘米。 生：圓的半徑是3厘米。 師：說起中國古代的圓，下面的這幅圖案還真得介紹給大家（出示圖），認識嗎？ 生：陰陽太極圖。 師：想知道這幅圖是怎么構(gòu)成的嗎？（想?。┰瓉硭怯靡粋€大圓和兩個同樣大的小圓組合而成的（出示圖）。現(xiàn)在，如果告訴你小圓的半徑是3厘米，你又能知道什么呢？ 生：小圓的直徑是6厘米。 生：大圓的半徑是6厘米。 生：大圓的直徑是12厘米。 生：小圓的直徑相當于大圓的半徑。 師：看來，只要我們善于觀察，善于聯(lián)系，我們還能獲得更多有用的信息?，F(xiàn)在讓我們重新回到現(xiàn)實生活中來。平靜的水面丟進石子，蕩起的波紋為什么是一個個圓形？現(xiàn)在，你能從數(shù)學的角度簡單解釋這一現(xiàn)象了嗎？ 生：我覺得石子投下去的地方就是圓的圓心。 生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一個個圓。 生：這里似乎包含著半徑處處相等的道理呢。 師：瞧，簡單的自然現(xiàn)象中，有時也蘊含著豐富的數(shù)學規(guī)律呢。至于其他一些現(xiàn)象中又為何會出現(xiàn)圓，當中的原因，就留待同學們課后進一步去調(diào)查、去研究了。 師：其實，又何止是大自然對圓情有獨鐘呢，在我們?nèi)祟惿畹拿恳粋€角落，圓都扮演著重要的角色，并成為美的使者和化身。讓我們一起來欣賞 （伴隨著優(yōu)美的音樂，如下的畫面一一展現(xiàn)在學生眼前：生活中的圓形拱橋、世界著名的圓形建筑、中國著名的圓形景德鎮(zhèn)瓷器、中國民間的圓形中國節(jié)、中國傳統(tǒng)的圓形剪紙、世界著名的圓形標志設計等等，如圖。） 師：感覺怎么樣？ 生：我覺得圓真是太美了！ 生：我無法想象生活中如果沒有了圓，將會是什么樣子。 生：生活中因為有了圓而變得格外多姿多彩。 師：而這，不正是圓的魅力所在嗎？ 五 師：西方數(shù)學、哲學史上歷來有這么種說法，“上帝是按照數(shù)學原則創(chuàng)造這個世界的”。對此，我一直無從理解。而現(xiàn)在想來，石子入水后渾然天成的圓形波紋，陽光下肆意綻放的向日葵，天體運行時近似圓形的軌跡，甚至于遙遠天際懸掛的那輪明月、朝陽而所有這一切，給予我們的不正是一種微妙的啟示嗎？至于古老的東方，圓在我們身上遺留下的印痕又何嘗不是深刻而廣遠的呢。有的說，中國人特別重視中秋、除夕佳節(jié)；有人說，中國古典文學喜歡以大團圓作結(jié)局；有人說，中國人在表達美好祝愿時最喜歡用上的詞匯常常有“圓滿”“美滿”而所有這些，難道就和我們今天認識的圓沒有任何關(guān)聯(lián)嗎？那就讓我們從現(xiàn)在起，從今天起，真正走進歷史、走進文化、走進民俗、走進圓的美妙世界吧！ 自我反思 多少年來，在孩子們的心目中，在教師們的課堂里，數(shù)學一直與定理、法則、記憶、運算、冷峻、機械等聯(lián)系在一起，難學難教、枯燥乏味一直成為障礙學生數(shù)學學習的絆腳石。事實上，造成這一現(xiàn)象的原因是多方面的，而一味注重數(shù)學知識的傳遞、數(shù)學技能的訓練，漠視數(shù)學本身所內(nèi)涵的鮮活的文化背景，漠視浸潤在數(shù)學發(fā)展演變過程中的人類不斷探索、不斷發(fā)現(xiàn)的精神本質(zhì)、力量以及數(shù)學與人類社會（包括自然的、歷史的、人文的）千絲萬縷的聯(lián)系，顯然應看成造成這一現(xiàn)象的重要原因之一。 眾所周知，數(shù)學本質(zhì)上是一種文化，數(shù)學課程標準在前言中明確指出：數(shù)學的“內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分?！比绾卧谡n程實施過程中踐行并彰顯數(shù)學的文化本性，讓文化成為數(shù)學課堂的一種自然本色，我立足從過程與凝聚兩個角度進行探索?！皥A的認識”一課正是我所作的一次粗淺嘗試。 數(shù)學發(fā)展到今天，人們對于她的認識已經(jīng)歷了巨大的變化。如今，與其說數(shù)學是一些結(jié)論的組合，毋寧說她更是一種過程，一種不斷經(jīng)歷嘗試、反思、解釋、重構(gòu)的再創(chuàng)造過程。因而對于圓的特征的認識，我并沒有沿襲傳統(tǒng)的小步子教學，即在亦步亦趨的“師生問答”中展開，而是將諸多細小的認知活動統(tǒng)整在一個綜合性、探究性的數(shù)學研究活動中，通過學生的自主探索、合作交流、共同分享等，引領(lǐng)學生經(jīng)歷了一次“研究與發(fā)現(xiàn)”的完整過程。整堂課，“發(fā)現(xiàn)與分享”成為真正的主旋律，而知識、能力、方