矩陣和行列式初步.doc

2008學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案第 九 章 矩陣和行列式初步 格致中學(xué) 王國(guó)偉第一課時(shí) 9.1 矩陣的概念（1）教學(xué)目標(biāo)1、了解矩陣的產(chǎn)生背景，并會(huì)用矩陣形式表示一些實(shí)際問(wèn)題；2、了解矩陣、行向量、列向量、方矩陣、零矩陣、單位矩陣等概念；3、理解同階矩陣、相等的矩陣等概念；4、理解線性方程組與系數(shù)矩陣及其增廣矩陣之間的轉(zhuǎn)化。教學(xué)重點(diǎn)1、與矩陣有關(guān)的概念；2、線性方程組的系數(shù)矩陣及增廣矩陣的概念。教學(xué)難點(diǎn)學(xué)習(xí)矩陣的目的。教學(xué)過(guò)程一、情境設(shè)置、引入：引例1：已知向量，如果把的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為；引例2：2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前三位成績(jī)?nèi)缦卤恚邯?jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯232128 我們可將上表獎(jiǎng)牌數(shù)簡(jiǎn)記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列，可簡(jiǎn)記為；若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去，則可簡(jiǎn)記為：。二、概念講解：1、上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個(gè)行向量與個(gè)列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時(shí)矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個(gè)數(shù)為。4、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為零矩陣。如為一個(gè)階零矩陣。5、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個(gè)階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對(duì)于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。三、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟與對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī)表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩形表示；（2）寫(xiě)出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。解：（1）（2）有兩個(gè)行向量，分別為：， 它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在決賽各階段各自成績(jī)； 有五個(gè)列向量，分別為 它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在每一個(gè)階段的成績(jī)。例2、已知矩陣且，求、的值及矩陣。解：由題意知：解得：，又由解得：， 例3、寫(xiě)出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）解：（1）； （2）例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的方程組：（1） （2）解：（1） （2）例5、已知矩陣為單位向量，且，求的值。解：由單位向量定義可知：， 。四、課堂練習(xí)：1、請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。解：2、奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國(guó)平新西蘭11 巴西勝比利時(shí)10 中國(guó)負(fù)比利時(shí)02巴西勝新西蘭50 中國(guó)負(fù)巴西03 比利時(shí)勝新西蘭01（1）試用一個(gè)4階方陣表示這4個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù)；（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，試寫(xiě)出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定各隊(duì)名次。解：（1）（2）（3）名次為巴西、比利時(shí)、中國(guó)、新西蘭。五、小結(jié)：本課學(xué)習(xí)了矩陣及與矩陣相關(guān)的一些概念。六、作業(yè)： 習(xí)題冊(cè)P45習(xí)題9.1A組1、2；P46 習(xí)題9.1B組1。第二課時(shí) 9.1 矩陣的概念（2）格致中學(xué) 王國(guó)偉教學(xué)目標(biāo)1、 掌握矩陣的三種基本變換；2、掌握運(yùn)用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學(xué)難點(diǎn)如何利用系數(shù)矩陣判斷線性方程組是否有解。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入：根據(jù)下列增廣矩陣，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；。這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。二、新課講解：通過(guò)上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過(guò)以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。三、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問(wèn)其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來(lái)自網(wǎng)上“新雞兔同籠問(wèn)題”）解：設(shè)一元硬幣有個(gè)，五角硬幣有個(gè)，則根據(jù)題意可得：加到不變 則該方程組的增廣矩陣為，設(shè)、分別表示矩陣的第1、2行，對(duì)矩陣進(jìn)行下列變換：不變不變 加到不變 由最后一個(gè)矩陣可知：答：一元硬幣有110個(gè)，五角硬幣有352個(gè)。例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換：加到加到不變 、不變加到加到不變 加到加到不變、不變 交換、不變， 此方程組的解為說(shuō)明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個(gè)行向量所對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)變量； 2、在變換過(guò)程中，實(shí)際為加減消元的過(guò)程，此過(guò)程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算。例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）加到不變解：此方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：，設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換： ）當(dāng)，即時(shí)，以上矩陣可作如下變換：加到不變不變 不變 ，此時(shí)方程有唯一解；）當(dāng)即時(shí)，若即時(shí)，方程組無(wú)解；）當(dāng)即時(shí)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，它們均符合。說(shuō)明：（1）符合情況）時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無(wú)解； （3）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。四、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問(wèn)題：（1）若方程組的解與相等，求的值。解： 解得，由題意知：求得：。（2）有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為、千克，則由題意知：通過(guò)矩陣變換解得：黑球每個(gè)3千克，白球每個(gè)1千克。（3）解方程組：解：即方程組的解為。五、小結(jié)：本課學(xué)習(xí)了